不變的“尾巴”

薛慧珠

提起大名鼎鼎的“雷霆數”，大家應該不會陌生.比如：452 = 2025，把2025從中一分為二得到20和25，而20 + 25 = 45，又還原成平方數的底數;再比如：552 = 3025，把3025從中一分為二得到30和25，而30 + 25 = 55，仍還原成平方數的底數. 在此不一一枚舉.

現在的問題是：計算[a52]有沒有快捷的方法？回答是肯定的，先寫25，然后用a × （a + 1），得到的積放在25之前，就是平方數的結果. 比如652，先寫25，再計算6 × 7 = 42，結果就是4225;再比如852，先寫25，再計算8 × 9 = 72，結果就是7225.

其中的數學原理是：[a52] = （a × 10 + 5）2 = a2 × 100 + 100a + 25 = （a2 + a） × 100 + 25 = a × （a + 1） × 100 + 25.

瞧出來了嗎？速算的方法只不過是等式右邊的通俗說法而已，挺別出心裁吧！如果你已經領會理解，那么請回答：[a25200]的末兩位數字是什么？相信大多數人都會脫口而出“25”，事實的確如此，根據上面的結論簡單遞推就能斷定.

[a252]可以看作[A52]，不管前面的A如何變化，對末尾的25并無影響，即[A5][2]末兩位數字是25;而[A5][200] = （[A5][2]）100，類似的100次連續變化不會影響末兩位數字，即[a25200]末兩位數字仍是25. 而更一般的結論是：[a25] × [b25]的末兩位數字是25.

數學原理是：[a25] × [b25] = （100a + 25）（100b + 25） = 10000ab + 2500a + 2500b + 625 = 10000ab + 2500a + 2500b + 600 + 25 = ?（100ab + 25a + 25b + 6） × 100 + 25，乘積的末兩位數字顯然是25.

無獨有偶，美國第一任總統華盛頓于1776年宣布建國，1976年是建國200周年. 某中學的宣傳欄中出現了一道應時應景的趣題：1776200的最后兩位數字是什么？學生湯姆看到脫口而出：“這簡單，還是76！”

其他同學有些納悶，問其究竟，湯姆笑著解釋：762 = 5776，末兩位數字仍是76，沒有發生變化，這種數在數學上稱為“自守數”，取自乘（平方）后還能保守著某些原本特征之意. 了解這個前提，就能判斷[A762]末兩位數字仍為76.

數學原理是：[A762]=（A × 100 + 76）2 = A2 × 10000 + 15200A + 762 = （A2 × 100 + 152A） × 100 + 5776 = （A2 × 100 + 152A + 57） × 100 + 76.

不難看出，[A76]平方數的末兩位數字就是762的末兩位數字，仍然是76. [A76][200]= （[A76]2）100，類似的100次連續變化顯然不會影響最后的兩位數，即[A76200]最后兩位數字依舊是76，1776200當然也不例外. 而更一般的結論是：[a76] × [b76]的末兩位數字是76. 數學解釋并不復雜：[a76] × [b76] = （100a + 76）（100b + 76） = 10000ab + 7600a + 7600b + 5776 = 10000ab + 7600a + 7600b + 5700 + 76 = （100ab + 76a + 76b + 57） × 100 + 76，乘積的末兩位數字顯然是76.

怎么樣？從25到25，從76到76，變化之中保持本色，是不是讓你印象深刻？同學們對不變的“尾巴”中的數學緣由要做到心中有數喲！