兩類有趣的新數

王廣崇

數學大世界里有形形色色的數，它們已成為中考命題的新素材.下面就來介紹兩類新數.

例1（2019·重慶）《道德經》中的“道生一，一生二，二生三，三生萬物”道出自然數的特征. 在數的學習過程中，我們會對其中一些具有某種特性的數進行研究，如學習自然數時，我們研究了奇數、偶數、質數、合數等. 現在我們來研究另一種特殊自然數——“純數”.

定義：對于自然數n，在計算n+（n+1）+（n+2）時，各數位都不產生進位，則稱這個自然數n為“純數”，

例如：32是“純數”，因為計算32+33+34時，各數位都不產生進位;23不是“純數”，因為計算23+24+25時，個位產生了進位.

（1）判斷2019和2020是否是“純數”，請說明理由;

（2）求出不大于100的“純數”的個數.

分析：（1）根據題目中的新定義解答，注意各數位都不產生進位的自然數才是“純數”;（2）不大于100的數分為一位數、兩位數和三位數，可借助于不等式和列舉法求解.

解：（1）2019不是“純數”，2020是“純數”.

理由如下：因為在計算2019+2020+2021時，個位產生了進位，而計算2020+2021+2022時，各數位都不產生進位，所以2019不是“純數”，2020是“純數”.

（2）由題意：不大于100的“純數”包含一位數、兩位數和三位數100.

①若n為一位數，則有n + （n + 1） + （n + 2）<10，解得n<[73]，所以小于10的“純數”有0，1，2，共3個;

②兩位數須滿足：十位數可以是1，2，3，個位數可以是0，1，2，共有9個，分別是10，11，12，20，21，22，30，31，32.

③三位數為100，共1個.

所以不大于100的“純數”共有13個.

例2（2019·湖北·隨州）若一個兩位數十位、個位上的數字分別為m，n，我們可將這個兩位數記為[mn]，易知[mn]=10m + n，同理，一個三位數、四位數等均可以用此記法，如[abc]=100a + 10b + c.

【基礎訓練】

（1）解方程填空：①若[2x]+[x3]=45，則x=______;②若[7y]-[y8]=26，則y=______;③若[t93]+[5t8]=[13t1]，則t=______.

【能力提升】

（2）交換任意一個兩位數[mn]的個位數字與十位數字，可以得到一個新數[nm]，則[mn]+[nm]一定能被______整除，[mn]-[nm]一定能被______整除，[mn]·[nm] - mn一定能被______整除.（請從大于5的整數中選擇合適的數填空）

【探索發現】

（3）北京時間2019年4月10日21時，人類拍攝的首張黑洞照片問世，黑洞是一種引力極大的天體，連光都逃脫不了它的束縛，數學中也存在有趣的黑洞現象：任選一個三位數，要求個、十、百位的數字各不相同，把這個三位數的三個數字按大小重新排列，得出一個最大的數和一個最小的數，用得出的最大的數減去最小的數得到一個新數（例如若選的數為325，則用532-235=297），再將這個新數按上述方式重新排列，再相減，像這樣運算若干次后一定會得到同一個重復出現的數，這個數稱為“卡普雷卡爾黑洞數” .①該“卡普雷卡爾黑洞數”為_____;②設任選的三位數為[abc]（不妨設a>b>c），試說明其均可產生該黑洞數.

分析：（1）根據[mn]=10m + n，[abc]=100a + 10b + c，分別代換可得到關于x，y，t的一元一次方程，解方程即可分別得出結果;（2）將[mn]，[nm]分別根據定義寫成10m + n和10n + m，然后再依據整式運算性質便可看出一定能被誰整除;（3）①依據“卡普雷卡爾黑洞數”的定義反復推算可得出;②由a>b>c，[abc]=100a + 10b + c，重新排列得到最小的數為[cba]=100c + 10b + a，第一次運算可得到99（a-c），結果必為99的倍數，再依據a，b，c的大小關系，以及各數位上的數至少相差1的特點，可以得出a-c的取值范圍，從而寫出第一次運算后所有可能的結果，再將這些數字依據“卡普雷卡爾黑洞數”的定義進行推算，便可得到結果.

以后均重復運算，則都可以得到該“卡普雷卡爾”黑洞數為495.