基于傅里葉定理的隔熱服溫度分布模型與最優厚度的計算

王齊悅

摘要：隨著社會進步，特殊環境工人的工作條件逐漸引起廣泛關注，對高溫作業專用服裝的研究逐年增多。為了更好的研究高溫作業專用服裝的性質，本文首先根據傅里葉導熱定律建立物理學熱傳導偏微分方程。利用熱阻與熱流平衡的方程求得在進入高溫環境前隔熱服上溫度的分布。然后在給定部分條件下求解工作服第二層最優厚度。最后成功確定了皮膚層的性質與參數，修正了物理模型。

關鍵詞：傅里葉定理;隔熱服;溫度分布

一、背景

近年來，特殊工人們的工作條件愈來愈受到廣泛關注，其中高溫環境工作最為普遍。現有的高溫作業防護服通常由三層構成，常見高溫作業服由三層織物材料，在測試工作防護服性質時，通過實驗室的高溫環境來模擬工作時的環境，建立數學模型解決人體表面溫度的變化問題。

二、實驗描述

將體內溫度控制在37℃的假人放置在實驗室75℃的高溫環境中，Ⅱ層厚度為6mm、Ⅳ層厚度為51mm、工作時間為90分鐘的情形開展實驗，測量得到假人皮膚外側的溫度。通過建立數學模型，計算溫度分布。更改環境溫度為65℃，第四層的厚度為5.5毫米，在確保工作60分鐘時，假人皮膚外側的溫度不超過47℃，并且超過44℃的時間不超過5分鐘。假設可以忽略高溫作業服的形狀以及不同部位差別，將溫度分布轉化為一維導熱模型。為保證溫度的連續變化，假設傳熱方式全部為熱傳導。由于體內為恒溫37℃，不會隨時間變化，假設皮膚表面與體內之間存在一層熱阻層。

三、物理模型

自然界中，傳熱的基本形式只有三種：熱傳導、熱對流和熱輻射。當不同溫度的物體進行相互接觸時進行的傳熱方式為熱傳導。對于一塊厚度為δ，橫截面積為A，導熱率為λ的平板，假設平板兩側溫度分別為：a，b，熱量的傳遞公式根據實驗得到為：

五、求解

由于偏微分方程很難解出，采用有限差分法來獲取其數值解。用有限個差分來近似表示溫度的微分，即將隔熱服分為許多個小薄層，認為在同一個時間下每層的溫度都是相同的。將原方程中微分利用差分代替，當某一厚度為△x的薄層左右兩邊為同一介質時：（T（k）表示第k時刻的第m層的溫度）（見公式3.1）

當某一厚度為△x的薄層左右兩邊為不同材料時（見公式3.2）

λ為第m-1層的熱導率，λ為第m層的熱導率。采用高斯-塞德爾迭代法進行計算。在計算時首先將題中的己知數據進行分析，觀察表皮溫度隨時間的變化：（見圖1）

在不到兩千秒時，整個隔熱服已經達到穩態。以2000秒為時間終止要求，可以保證在此之前達到穩態，以1000秒為圖形展示范圍，可以更直觀的看出圖形結果，前2000秒內每隔0.1mm、每隔1秒為一個節點的2000×152個的數據，截取不同面內的圖像。（見圖2）

最終每一層的溫度不隨時間發生變化了，且溫度不變化的時刻與皮膚外側溫度達到穩態的時刻相近。此算法得到的穩態溫度分布，與理論穩態溫度分布進行比較，可以對此訓算結果進行檢驗。

為了優化算法，更快的達到最優解，采用二分法對于滿足約束條件的最優厚度進行求解。可以認為皮膚層是一層厚度均勻，性質均勻的導熱物質由熱阻及復合壁導熱性質：

現將皮膚層的各個參數展示如表2：

隨著厚度的增加，工作服的總重量增加，舒適度會降低，材料消耗增多。所以目標即為最小的總重量，求第二層的最優厚度即為在滿足約束條件下的最優化問題：

采用二分法來求解滿足一定精度的第二層最優厚度。最終解得第二層的厚度為17.4mm時最優。此模型運算簡單，具一定推廣價值。但鑒于數據不完善，個別參數可能需要進一步確定。

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