實變函數方法在經典微積分中的應用研究

摘要：作為大學數學專業的基礎性課程，實變函數論同數學各分支領域存在極為緊密的聯系，特別是在經典微積分中的應用，可以應對數學學科的抽象性特點，為學生奠定良好的學習基礎。本文結合實變函數方法的相關內容，探討了其在經典微積分中的具體應用，并分析了基于實變函數論的微積分教學策略，以期為推動實變函數在微積分中的進一步延伸提供參考。

關鍵詞：大學數學;實變函數方法;微積分;應用

實變函數是大學數學的一門專業核心課程，也是進入后續學習的基礎性課程，如果實變函數的學習存在缺陷，那么未來的專業課學習也必然會面臨著現實的阻礙。與基礎教育相比，高等教育階段的數學課程抽象性、系統性、理論性特點愈發突出，這也意味著學生的學習難度也隨之提升，將實變函數方法應用到各分支領域，特別是微積分這一基礎性領域，對于緩解學生的畏難情緒、幫助學生厘清數學思維脈絡具有重要價值。

一、實變函數方法概述

19世紀與20世紀之交，實變函數論作為一個新的數學分支產生，實變函數方法也應運而生，其是研究一般實變函數的數學方法。數學家勒貝格的測度、可測集、可測函數和積分的理論構成了實變函數論的最主要的內容。如果說微積分討論的函數都是性質“良好”的函數，則實變函數論是從連續性、可微性、勒貝格可積性三個方面討論最一般的函數，包括從微積分學來看性質不好的函數。

二、實變函數方法在經典微積分中的應用

（一）Riemann積分進行定義

實變函數本身來源于數學分析基本理論的延伸，是基于特定數學經驗的總結與發展，從這一點上來說，其是對Riemann積分的改進。Riemann的思想是對函數項[0，1]區間上的dirichlet函數不可積，其主要是一種分割定義域的方式，從而產生了lebesgue的測度理論以及積分理論。為解決此類問題，就需要實現實變函數方法同值域基本概念與理論的密切結合。

（二）在概率論及隨機分析中的應用

實變函數方法在概率論與隨機分析中的應用，也是由這兩門細分課程的具體情況決定的，概率論與隨機分析具有極強的抽象性，需要依托于實變函數方法這一橋梁，以實現更進一步、更細分地挖掘。例如，在lebesgue的授課中可以發現，學生對于該積分和Riemann的關系理解往往較為模糊，而如果引入實變函數方法則可以有效解決這一問題。最直觀的表現就是在對應測度的子集的可測問題上，實變函數方法的應用可以實現舉一反三的效果。

（三）在外測度lebesgue中的定義講解

在專業教學中，無法對lebesgue給出直接的概念性定義，往往只能借助極限理論實現對圓的面積公式的獲取，即由外切正多邊形外包、內接正多邊形的面積內填的極限推導圓的面積。在此期間可以對外包的個數進行統計，涉及的主要運算有并運算、差運算、余運算以及交運算，其對應的結果都可以進行預測。這種方法對數學微積分中的根源問題進行了有效分析，可以幫助學生解決理解上的困難。

三、基于實變函數論的微積分教學策略

（一）上好“第一堂課”

微積分本身具有較強的抽象性，尤其是對剛剛步入大學生活的學生來說，微積分課程同其在高中階段接觸到的數學課程在思想上、應用模式上均存在著顯著的差異，這也使得其很難在短時間內快速適應微積分的學習，甚至很多學生從此產生了對于數學學科的畏懼心理。因此，上好“第一堂課”，在大學伊始幫助學生奠定扎實的微積分學習基礎，具有極高的現實價值。這就要求教師應當積極思考實變函數論下的趣味性與引導性教學策略，以興趣激發為主，力求消除學生的畏懼與抵觸情緒。例如，微積分教學中較為常見的區域性問題，往往要求學生對無窮可微性進行深入理解，這種理解是一個遞進的過程，因此教師在講解過程中也應當注意梯度設置，做好各層次的有效銜接，實現環環相扣的引入教學。再例如，教師應當引導學生認識到實變函數論的基礎性作用，使得其理解實變函數論對于后續深入學習的重要性，在教學伊始就可以通過對有關數學史發展脈絡的介紹，激發學生進行系統化實變函數學習的熱情，為其主動將實變方法應用到微積分中打下堅實基礎。

（二）以優質的教學方案作為支持

微積分本身的抽象性與系統性較強，因此在基于實變函數論的微積分教學中，教師必須把握好可能出現的各種問題，將其納入到統一的教學方案中去，同時依照實際教學過程中對于學生狀態的觀察，及時審視該種教學方案是否存在應用價值、是否需要進行調整補充，從而形成動態化的方案支撐，以期實現最佳的教學效果。

（三）探究課的合理安排

實變函數方法與微積分均具有極強的應用型與探索性特點，從發現問題、提出問題，到訴諸于實變方法摸索解決方案、最終解決問題，這是一個持續性的探索過程，從本質上來說，這種探究也是數學學科的魅力所在。因此，在基于實變函數論的微積分教學中，教師可以設置一些針對性的探究討論課程。在正式進入教學環節之前，由學生通過自主學習，以文獻查閱、慕課學習等方式獲取關于基礎性微積分與實變函數方法的資料，并同本階段的教材內容進行結合，增強對于實變函數方法的理解。在課堂教學中，教師應當為學生設置引導性的探究問題，例如，根據lebesgue積分的操作步驟，思考應當如何簡化其計算過程。這一類問題緊扣教學主題，又具有極強的開放性，學生在已經擁有了一定的知識積累的基礎上，也能夠以較強的自主性去對lebesgue的積分操作進行辨證思考，實現對積分求和定理的靈活運用，取代過去不能用微分號的特點，了解lebesgue在何種情況下不可以取積分。這種探究的形式，可以使得學生保持長效的學習熱情，引導其在數學學習的過程中逐漸“登堂入室”

四、結束語

綜上，實變函數方法是高等數學的基礎性手段，對于學生的知識建構具有必要價值，將實變函數方法應用到微積分中，可以幫助學生理解數學各分支領域的密切聯系，形成更加系統的數學思維。對于高校教師來說，應當立足于實變函數論的基本特點，保證課堂教學的有效性，最大程度激發實變函數方法的應用價值。

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作者簡介：魏育飛（1972-），男，漢族，內蒙古巴彥淖爾人，內蒙古師范大學數學專業本科，內蒙古河套學院數學與計算機系，副教授。