方塊電阻階梯分布的模式控制液晶透鏡的仿真

鞏偉興，于 濤，王偉郅，張嘉倫，黃志宇

(大連海事大學 理學院，遼寧 大連 116026)

1 引 言

液晶透鏡通過在液晶層中形成梯度分布的電場，使液晶指向矢呈現出梯度分布，液晶的折射率也呈現梯度變化而形成梯度折射率透鏡。形成梯度電場的方法主要有模式控制[1]、球形電極[2]、同心多環電極[3-5]和帶孔的電極[6]等。模式控制液晶透鏡在低電阻的圓孔電極上制作透明的高電阻薄膜，通過高電阻薄膜與液晶電容間阻容降壓作用，形成連續變化的梯度電場，從而形成梯度折射率分布。具有制作工藝簡單、驅動電壓低，成像質量較高的優點，具有較大的應用價值。

根據梯度折射率透鏡的理論，液晶透鏡的折射率分布符合拋物面分布，液晶透鏡的像差較小，成像質量較高。文獻[7]研究了傳統的模式控制液晶透鏡的折射率分布，發現其折射率分布偏離理想的拋物面分布，會產生較大的像差。在該研究中采用在模式控制電極基礎上加浮動電極的方法，降低了透鏡中心波前的平坦度，從而使折射率分布更接近于拋物面分布。這種方法不能在整個圓孔范圍精確調節。

模式控制液晶透鏡的高電阻薄膜的方塊電阻以一定的規律漸變，將能實現液晶透鏡折射率分布逼近拋物面分布。方塊電阻的漸變可以利用透明氧化物半導體薄膜的紫外光電導特性[8]實現，通過控制照射在高阻薄膜上的紫外光的光強分布，得到期望的方塊電阻分布。如果把控制照射在高電阻薄膜上的紫外光強的變化設計為階梯變化方式，能夠降低紫外光照系統的復雜程度和成本，進而降低液晶透鏡的成本，將有利于液晶透鏡的推廣應用。

本文提出了方塊電阻階梯分布的模式控制液晶透鏡的設計，模式控制電極的方塊電阻分段階梯變化，從而使液晶透鏡的折射率分布逼近拋物面分布。應用液晶連續體理論與液晶透鏡電阻-電容等效電路相結合，仿真研究了不同分段時液晶透鏡折射率分布與拋物面分布的偏差。并研究了分段數量對折射率逼近偏差的影響規律，尋找滿足折射率偏差的較少的分段，為制作低像差、低成本液晶透鏡提供理論依據。

當前噴墨打印技術制備微電子器件已在制備TFT等領域取得成功，具有制造成本低、器件設計靈活和節約材料的優點。通過噴墨打印的方式，將不同電阻率的高電阻材料以同心圓環的方式打印在模式控制液晶透鏡的電極圓孔內，能夠實現方塊電阻的階梯分布，可以獲得結構簡單和像差較小的液晶透鏡。但這種液晶透鏡的高電阻膜的方塊電阻在制備后將保持固定，液晶透鏡的焦距要通過調節驅動電壓和驅動頻率實現。研究在這一條件下，液晶透鏡折射率分布與理想分布的偏差隨焦距的變化規律，進而得出最佳調焦范圍，對噴墨打印技術制備模式控制液晶透鏡具有重要意義。

2 液晶透鏡仿真模型

模式控制液晶透鏡的結構如圖1所示，涂覆有氧化銦錫(ITO)膜的上下玻璃基板。上基板為圓孔電極，直徑為2 mm，其上分別為透明高電阻層以及聚酰亞胺取向層。下基板是公共電極，其上方是聚酰亞胺取向層,兩基板之間夾有液晶層,液晶分子平行取向。液晶層厚度為25 μm，為避免在液晶層中出現向錯缺陷，液晶分子的初始預傾角取為較高的9°。

圖1 液晶透鏡結構Fig.1 Liquid crystal lens structure

當液晶透鏡施加電壓時，高電阻層的電阻與液晶電容組成如圖2的等效電路，外加驅動電壓在液晶不同位置上的電場形成梯度分布，液晶分子的偏轉角度隨之梯度分布，液晶折射率形成梯度分布，形成梯度折射率透鏡。在本文中，方塊電阻階梯分布可變的液晶透鏡的仿真研究中，液晶透鏡的驅動電壓設定為10 V，驅動頻率20 kHz；方塊電阻階梯分布固定的液晶透鏡的仿真研究中，驅動電壓幅值和頻率隨焦距變化。使用的液晶為E7液晶，參數[9]如下：Δε=14.07，ε⊥=5.21，K11=11.1 pN，K22=5.9 pN，K33=17.1 pN，no=1.741，Δn=0.22。

圖2 模式控制液晶透鏡等效電路Fig.2 Mode control liquid crystal lens equivalent circuit

結合液晶透鏡電阻-電容等效模型和液晶連續體理論計算電壓分布，并用MATLAB編程進而得到折射率分布[10]，步驟如下:

(1)結合液晶材料參數計算不同電壓下滿足Euler-Lagrange方程的液晶指向矢排列、有效介電常數及非尋常光的光程。

(2)將半圓孔(1 mm)等距離分成1 000份，并將高阻材料的方塊電阻等距離分成N個階梯計算各個環的電阻，對應于R1～Rn。

(3)當液晶透鏡加電時，先將液晶的介電常數初始化為x(ε⊥

(4)用平板電容公式計算出每個環狀電極的電容，對應等效電路中的C1～Cn。運用節點電壓方法計算各個環上的電壓值。

(5)根據式(1)中計算得出的有效介電常數與電壓值的對應關系，用式(4)中得到的各個圓環電壓值用插值的方法計算出該環處的液晶等效介電常數，帶入式(4)中繼續計算，迭代多次直到計算的電壓值與前一次誤差小于0.1 mV時，終止計算，得到各個環上的電壓值，根據各個環上的電壓值通過式(1)插值得出對應的光程分布。

通過光程分布由式(1)得到由圓孔中心到邊緣的折射率分布：

(1)

其中LOP(r)為圓孔內一點非尋常光的光程，d為液晶層厚度，r為距圓孔中心的距離。

3 優化液晶透鏡折射率分布

3.1 方塊電阻階梯分布可變的液晶透鏡的仿真

本文選取液晶透鏡中心的等效折射率為預傾角9°時的等效折射率1.734，液晶透鏡焦距為理想拋物面的折射率分布方程為：

n(r)=1.734-Δn×r2，

(2)

其中n(r)為折射率，r為距圓孔中心的距離。Δn為圓孔邊緣到中心折射率變化量。液晶透鏡焦距計算公式為：

(3)

其中:f為焦距，r為液晶透鏡半徑，Δn為圓孔邊緣到中心折射率變化量，d為液晶層厚度。

仿真研究中，將圓孔的方塊電阻分成5，6，8，9，10，20，50，100個階梯分別設定方塊電阻初值，初值設定使得折射率分布接近理想拋物面分布，以各段方塊電阻作為變量，構建折射率分布偏差平方和的函數，運用MATLAB中的fminsearch函數對構建的函數進行尋優，尋優過程中循環次數為200次時，得到其偏差平方和變化量小于1×10-4。用該尋優結果得到的方塊電阻分布計算液晶透鏡的折射率分布，與理想折射率分布的進行對比，并計算最大折射率偏差。

根據工程光學理論，當波面最大光程差小于1/10λ時可完善成像，選取波長為人眼最敏感波長555 nm，得到本文中研究的液晶透鏡對應的折射率最大偏差為2×10-3，仿真研究中以此作為最大折射率偏差的標準。分別仿真計算了焦距為400，300，200，150，100 mm處的折射率誤差與分段數量的變化規律如圖3(a)～(e)所示。由仿真結果可見，隨著階梯數量增加，折射率偏差將會降低，但當階梯數量增加到某一數值后，折射率偏差的降低幅度將會減小，繼續增加階梯數量對折射率偏差的改善效果不明顯。再結合上文給出的最大折射率偏差的標準，可以確定出不同焦距的最小階梯數量，最小階梯數量和相應的折射率偏差如表1所示。

表1 不同焦距的最少階梯數量Tab.1 Minimum number of segments with different focal lengths

圖3 不同焦距液晶透鏡折射率偏差與階梯數量的變化規律Fig.3 Variation of refractive index deviation and number of steps of liquid crystal lenses with different focal lengths

對應的方塊電阻分布如圖4(a)～(e)所示。由圖4可以看出不同焦距情況下方塊電阻分布差異較大，長焦距時，方塊電阻從圓孔中心向外單調減小，短焦距時，變化規律轉變為先降低然后小幅增大，方塊電阻的調節方式隨著焦距的變化而變化。

圖4 不同焦距最少階梯數量時的方塊電阻分布Fig.4 Sheet resistance distribution with minimum number of steps at different focal lengths

3.2 方塊電阻階梯分布不變的液晶透鏡的仿真

以前文仿真計算獲得的對應不同焦距的最少階梯數量的方塊電阻分布為固定的方塊電阻階梯分布方式(圖4(a)～(e))，改變液晶透鏡的驅動電壓幅值和頻率的方法調節液晶透鏡的焦距，升高電壓幅度和頻率減小焦距，降低電壓和頻率增大焦距。分別仿真研究了不同方塊電阻分布情況下焦距與折射率偏差的規律，仿真結果如圖5，滿足最大折射率偏差的焦距調節范圍如表2所示。從仿真結果可見隨著最短焦距減小，調焦范圍逐漸減小，當最短焦距小于200 mm時，液晶透鏡的調焦范圍比較狹窄，在實際應用中會受到較大的限制。由表2可知，在圖4(b)方塊電阻分布的情況下液晶透鏡焦距能夠在280 mm 到無窮遠范圍變化，相應的折射率最大偏差小于2×10-3，焦距調節范圍較大，折射率分布誤差較小。在用噴墨打印技術制備模式控制液晶透鏡時應優先選用這一方塊電阻分布。

圖5 焦距與折射率偏差規律Fig.5 Law of focal distance and refractive index deviation

表2 焦距變化范圍Tab.2 Focal length change range

4 結 論

本文仿真研究了高電阻薄膜的方塊電阻階梯分布的模式控制液晶透鏡的折射率偏差與階梯數量的變化規律。結果顯示，焦距越短滿足相同折射率偏差的階梯數量越大。不同焦距都有一個最小階梯數量，階梯數量大于該數值時，折射率偏差變化緩慢，應用中對不同焦距采用這一最小的階梯數量的方塊電阻可簡化控制系統的復雜性。在方塊電阻階梯分布保持固定條件下，滿足折射率偏差標準的最短焦距較大時，最短焦距到無窮遠能滿足折射率偏差標準；最短焦距較小時，將會導致長焦距時的折射率偏差增大。采用焦距300 mm處的10個階梯的方塊電阻分布，能夠實現液晶透鏡焦距變化范圍為280 mm至無窮遠。研究結果可為噴墨打印技術制備模式控制液晶透鏡提供借鑒。