地鐵列車再生制動能量利用分析與時刻表優化方法研究

魏潤斌，杜 鵬，楊雍彬，胡 禮

(1. 北京交通大學 交通運輸學院，北京 100044；2. 清華大學 交通研究所，北京 100084)

城市軌道交通具有運量大、速度快、安全準點、節能環保等特點，但在運營過程中也會產生大量的能耗，在運輸組織方面通過優化列車時刻表達到節能的目的，已被證實可行并成為當下熱點。早在1988年，Gordon等[1]就利用當時在開發之中的先進的列車自動控制系統(AATC)，分析了使用該系統之后可以通過控制牽引、制動的順序，實現再生制動的利用。2007年，Miyatake等[2]提出了一種考慮直流線路的列車運行能耗優化算法，詳細介紹了再生制動能量的計算方法，并通過實例驗證將能耗降低了4.2%～17.9%。2017年，Liu等[3]分析了不同列車控制策略模式下利用再生制動節能的效果。

基于再生制動能量利用的計算，一些節能模型也得以建立，其中很大一部分是通過優化時刻表來實現的[4-5]。Yang等[6]提出了一種以發車間隔和停站時間為決策變量、最大化列車牽引制動重疊時間為目標的整數規劃模型，設計了遺傳算法求解，對北京亦莊線進行實例分析，分別對高峰小時和非高峰小時進行了對比，證明了該模型的節能效率。但文中僅提高了列車運行的重疊時間，未能計算具體的再生制動能量值。于是，在重疊時間的基礎上，很多學者對再生制動能量計算方法進行了深入研究，主要有三類：

第一類是通過工況重疊時間內的列車動能變化量來計算。馮瑜等[7]將單車節能與多車協同節能進行一體化設計，以發車間隔、列車運行時間、停站時間為控制變量，降低全線總能耗為目標，提出一種運行圖優化方法，利用北京地鐵數據進行了驗證。彭其淵等[8]提出了在保證旅客運輸任務的前提下優化列車開行策略提高再生制動能量利用的模型，使用懲罰函數法和解析方程方法進行求解。

第二類是通過取重疊時間內兩列車的機械功率較小值來計算。Li等[9]提出了聯合優化時刻表及列車速度操縱的列車綜合節能運行模式(IEEO)，利用亦莊線數據與文獻[10]提出的EEO模型、文獻[6]提出的協同調度(CS)模型進行對比，得到了更優的節能效果。柏赟等[11]提出了以列車凈能耗為目標的快慢車線路列車協同操縱節能優化模型。冉昕晨等[12]考慮斷面客流空間分布差異，建立了節能時刻表優化模型。

第三類是通過重疊時間內兩列車的機械功率的重疊面積來計算。Li等[13]在CS的基礎上提出了一種隨機協同調度(SCS)的方法，該方法考慮了列車運行時間和延誤時間的隨機性，估計了再生制動能量利用的轉化和傳輸損耗，建立了一個隨機期望值模型，利用二進制遺傳算法求解。步兵等[14]實現單車節能和多車協同利用再生制動能量策略的統一規劃，建立了節能時刻表模型并用北京地鐵昌平線數據進行驗證。Gupta等[15]提出了一種新的兩步線性優化模型來計算地鐵的節能時間表，最大化再生制動能量利用，降低列車消耗總能量，并利用到上海地鐵8號線進行了實例驗證。

近年來利用再生制動節能的部分文獻見表1。

表1 近年利用再生制動節能文獻

由表1可知，既有關于再生制動能量利用的影響因素的研究尚不全面，尤其是在再生制動能量利用率影響因素上，部分學者假設再生制動能量利用沒有損耗[6]，多數學者則是將一個固定系數定為再生制動能量轉換利用的損耗，用它乘以提供的再生制動能量得到實際使用的再生制動能量[9,13-14]。既有研究可以簡化的將再生制動能量利用不完全的因素考慮進去，但實際上再生制動能量利用的損耗受到多種因素的影響，并非是固定不變的，因此，固定系數法不能很好地體現出影響因素帶來的差異。本文在計算再生制動能量利用時考慮了牽引制動重疊時間分布以及前后車距離對其利用率的影響，得到了考慮因素更全面的再生制動能量計算方法，并且基于這一方法建立了以總能耗最低為目標的時刻表優化模型。

1 再生制動能量利用率影響因素

在計算再生制動能量利用的相關研究中，部分學者[13-14]通過列車牽引制動重疊時間下的牽引功率和制動功率來計算，在此基礎上，為探究重疊時間分布以及前后車距離對再生制動能量利用的影響規律，本文利用列車運行仿真軟件OpenTrack以及列車供電仿真軟件OpenPowerNet設計了對比實驗。

1.1 牽引制動重疊時間分布

列車利用再生制動能量的前提是前后兩車分別處于牽引和制動工況，并且兩工況在時間維度上有重合的部分。既有研究基本上都是利用重疊時間來計算利用再生制動能量，其中部分學者[6]將重疊時間直接等效為再生制動能量的利用，然而經多次仿真實驗發現，重疊時間和利用到的再生制動能量只是呈現正相關關系，但并非是線性相關，并且重疊時間分布的不同也會影響列車再生制動能量的利用。在此基礎上，通過控制前車制動時間，調節后車出發時間來改變重疊時間分布，得到了重疊時間分布不同情形下列車再生制動能量利用功率對比，見圖1。

圖1 重疊時間分布不同情形下列車再生制動能量利用功率圖

由圖1可知，利用再生制動能量的列車的牽引功率隨著列車速度的提高而上升，此為牽引列車所需的能量功率，提供再生制動能量的列車的制動功率隨著列車速度的降低而下降，此為制動列車提供的能量功率，所以兩條曲線重疊的陰影部分為最大能利用到的再生制動能量。在兩種情形下，列車工況重疊時長相同，但重疊時間分布不同，可利用到的再生制動能量也不同。而之所以重疊時間分布會影響到再生制動能量利用，是因為在任何時刻，再生制動利用功率均小于等于后車牽引功率和前車制動功率中的較小值，當圖1(b)中重疊時間處于前車制動的后半段時，前車制動功率下降明顯，成為了限制瓶頸。而圖1(a)中重疊時間處于前車制動的前半段，前車制動功率較高，再生制動能量利用的限制也較高，可利用到的再生制動能量也越高。

綜上所述，單純地用時間重疊來表示再生制動能量利用的多少是不夠完整的，只有考慮牽引和制動的瞬時功率才能更好地體現再生制動利用的效果。本文的再生制動能量利用是在基于時間重疊的前提下，考慮兩車牽引和制動功率的具體數值計算得到的。

1.2 前后車距離對再生制動能量利用率的影響

本文計算再生制動能量利用時，不僅考慮重疊時間下兩車機械功率的影響，同時也考慮了前后車距離的影響。當前后車距離增加時，由于電能傳輸損耗等原因，實際可利用到的再生制動能量小于根據前后車牽引制動功率計算得到的理想值。為體現前后車距離對再生制動能量利用率的影響，控制后車出發位置改變前后車距離，進行多次實驗，得到前后車距離不同情況下列車再生制動能量利用功率的對比，見圖2。

圖2 前后車距離不同情況下列車再生制動能量利用功率

圖2中實線表示利用到的再生制動能量的功率，由上至下分別對應了前后車距離從1.7 km以0.4 km的間隔遞增到5.3 km。此處的1.7 km是實驗設計的信號系統下兩車之間的最短距離，5.3 km是滿足最低服務水平的發車間隔下的兩車最長距離。由圖2可知，在前車制動功率及后車牽引功率不變的前提下，隨著前后車距離的增加，列車再生制動功率不斷下降，使用到的再生制動能量也隨之下降。基于這一情況，整理數據得到了前后車距離與再生制動利用率百分比的散點圖，見圖3。

圖3 前后車距離與再生制動利用率百分比關系圖

分析表明前后車距離與再生制動利用能耗具有明顯的相關性，散點圖擬合為二次多項式函數

f(s)=(-0.053 2s2+0.24s+0.635 1)×100%

(1)

式中：s為前后車距離，km；f(s)為再生制動利用率百分比。

該擬合函數決定系數R2達到0.992 9，符合度較高，本文利用該函數建立列車時刻表優化模型。

2 模型構建

2.1 模型假設

根據城市軌道交通系統的運行特點，結合既有研究，參考文獻[6-7]做出以下假設：

(1)再生制動能量利用只發生在同一供電分區內的牽引制動列車之間，由于地鐵供電分區的長度限制，不存在3輛車同時處于同一供電分區的情況。

(2)不考慮上下行之間的再生制動能量利用。

(3)所有列車在同一車站的停站時間相同。

(4)所有列車在同一區間內的操縱策略相同，意味著對每一輛列車而言，在同一區間內的加速工況、惰行工況、制動工況的時間、距離、速度是一樣的。

需要注意，本文假設不同于既有研究的地方是，不將再生制動能量的損耗和傳輸效率假設為定值，而是作為變量加入到模型計算當中。

2.2 參數及變量

本文模型所用參數、決策變量及中間變量見表2、表3。

表2 參數及決策變量

表3 中間變量

由于地鐵列車站間距較短，列車操縱策略一般有牽引—恒速—惰行—制動的四階段法和牽引—惰行—制動的三階段法，根據文獻[9]的列車操縱方式采用第二種運行策略，列車在區段n內的運行速度曲線見圖4。

圖4 列車在區段n內的速度曲線

對第i車而言，離開第m個車站的時刻

(2)

所有列車牽引運行所需能耗為

(3)

決策變量有兩類：一類為停站時間xn，從x2開始至xN-1，共有N-2個；另一類為發車間隔h，決策變量總計為N-1個。中間變量τ1、τ2、Δ均為便于計算和表示而設。

2.3 目標函數

根據列車牽引、制動特性，分別得到牽引功率和制動功率與時間的曲線，見圖5、圖6，列車功率分為低速時與速度正相關以及高速時恒定最大功率兩個階段，所以不同的制動時長提供的制動功率不同，從而影響列車再生制動能量利用的計算。本文全面考慮列車在區間運行中處于制動工況的時長，并根據時長的不同將再生制動能量利用情況分為5種類型，劃分方法為

(4)

并且在每一種類型中又根據兩車重疊時間不同劃分為若干個情況，匯總所有情況見表4，由于計算方法和公式重復性較大，故文中只以第一種類型為例進行詳細說明。同時，列車再生制動能量利用分為前車牽引后車制動和前車制動后車牽引兩個部分，兩部分計算方法相近，此處以前車牽引后車制動為例進行分析。

圖5 前車牽引功率-時間曲線

圖6 后車制動功率-時間曲線

表4 不同制動時間長短下的再生制動能量利用情況

表4中j=1類型根據兩車重疊時間不同可以劃分6種情況(2種不重疊的情況未在表中體現)，根據基于時間重疊的再生制動能量利用計算方法，可以得到

(5)

式中：τ1、τ2分別為不同情況下再生制動能量利用開始到峰值的時間段。

與E1,1的計算方法相似，可以求得其他情況下可利用的再生制動能量，用所有列車牽引運行所需能耗E0減去可以利用到的所有再生制動能量，得到所有列車運行凈能耗，即為目標函數E

(6)

2.4 約束條件

(1)列車發車間隔約束：由線路條件限制列車最小發車間隔hmin，由乘客服務水平決定最大發車間隔hmax，應滿足

hmin≤h≤hmax

(7)

(2)列車旅行時間約束：列車運行全程的旅行時間根據停站時間以及站間運行時間計算，結合具體的線路條件，上下限分別記做Tmin、Tmax，滿足

(8)

(3)列車停站時間約束：在滿足客流量需求的情況下有一定的波動空間，下限為xmin，上限為xmax，列車停站時間的下限需要滿足車站客流最大乘降時間，在此基礎上放寬停站時間約束的上限以此來達到通過調整停站時間進行列車運行節能的目的。列車停站時間需要滿足

xmin≤xn≤xmax

(9)

3 算法求解

第2節所建的模型為非線性整數規劃模型，針對此類時刻表優化問題，常用遺傳算法進行求解，本文繼承并使用了遺傳算法和Matlab語言編程進行求解，算法步驟如下：

Step1編碼

決策變量為停站時間xn和發車間隔h，使用二進制編碼方法對可行解進行編碼，一組可行解X=(x2,x3,…,xN-1,h)編碼為C=(c1,c2,…,cN-2,cN-1)，以X=(30,30,…,30,360)為例進行了編碼，見圖7。

圖7 染色體編碼

Step2生成初始種群

遺傳算法設計時種群規模選取過大會導致計算時間過長，選取過小又無法找到最優解，經過多次實驗發現，種群規模Nsizepop選取150次時可以最快的得到最優解。隨機生成符合約束的可行解并利用Step1中方法進行編碼，重復該過程150次，生成初始種群。

Step3計算適應度

Step4生成子代

②交叉：染色體兩兩配對，以交叉概率ppc交換隨機交叉點后染色體部分，進行可行性檢測，可行則代替上一代染色體，不可行則保持上一代不變。

③變異：隨機選擇染色體的變異位置，按變異概率ppm將0-1值互換形成新的個體，進行可行性檢測，可行則代替上一代染色體，不可行則保持上一代不變。

Step5終止條件

重復Step3～Step4，直到迭代次數達到預設最大值100，輸出當前種群中最優個體編碼及目標值，進行染色體解碼得到最優的停站時間與發車間隔方案。

4 案例分析

為驗證模型與算法的準確性，用北京地鐵某線路數據作案例分析[9]。該線路共14個車站，6個變電所，站間距及變電所覆蓋范圍見表5，現行的各站發車時刻表見表6。列車采用6節編組(3M3T)，總質量為287 080 kg，最大速度為80 km/h。根據發車間隔的不同，分為高峰時段(150～240 s)和平峰時段(240～360 s)兩種情況進行案例實驗。

表5 北京地鐵某線路數據

表6 北京地鐵某線路現行停站方案

4.1 仿真驗證

首先，本文模型在計算再生制動能量時考慮了列車牽引制動重疊時間的分布和列車前后距離的影響，為體現其與不考慮影響因素的計算方法相比擁有更高的精準度，以高峰小時為例將本文計算方法結果、不考慮影響因素的計算方法結果與軟件仿真結果進行了對比，利用4.2節高峰小時案例分析中的參數和數據進行計算，對比結果見圖8。圖中可以看出本文考慮多種影響因素的計算方法相比不考慮影響因素的計算方法更貼近于仿真軟件得到的仿真結果，尤其是在利用再生制動能量更大的發車間隔時，本文的計算方法有著明顯更高的契合度。本文計算方法結果與軟件仿真結果的相關系數達到了0.965，該方法擁有足夠的精準度并可用于實際案例進行分析。

圖8 高峰小時不同計算方法計算結果對比圖

4.2 高峰小時案例分析

根據北京地鐵某線路的實際運行時刻表及客流數據，將高峰小時的發車間隔定為150～240 s，平均1 h發車數量為20輛。在高峰小時的案例中，設車輛數I為20，交叉概率為ppc為0.6，變異概率ppm為0.5。通過計算得到最優的列車停站方案見表7，發車間隔為191 s，最小列車運行凈能耗為4 524.711 3 kW·h，根據實際運行時刻表計算所得凈能耗為4 776.726 7 kW·h，能耗降低5.28%。

表7 高峰小時優化后停站方案

為體現本文模型與算法通過優化停站時間來利用更大的再生制動能量的效果，設計實驗將發車間隔設為從150 s遞增至240 s的定量，得到了圖9所示的對比圖，從圖中可以明顯看出在不同的發車間隔條件下，優化后的時刻表相比現行時刻表普遍有著更低的總能耗。當發車間隔處于150 s和230 s的時候，兩種時刻表的列車能耗是相同的，說明此發車間隔下只存在處于同一區間內的前后車之間的再生制動能量利用，停站時間調整無法影響此種情況，而在160 s至220 s，優化后的時刻表較現行時刻表有著明顯的優化效率。

圖9 高峰小時列車運行總能耗對比圖

4.3 平峰小時案例分析

平峰小時的發車間隔為240～360 s，平均1 h發車數量為12輛。所以，在平峰小時的案例中，設車輛數I為12，交叉概率為ppc為0.6，變異概率ppm為0.5。通過計算得到最優的列車停站方案如表8所示，發車間隔為307 s，最小列車運行凈能耗為2 900.520 5 kW·h，根據實際運行時刻表計算所得凈能耗為3 066.635 kW·h，能耗降低5.42%。

表8 平峰小時優化后停站方案

與高峰小時案例同樣，設計實驗將發車間隔設為從240 s遞增至360 s的定量，得到對比圖，見圖10，從圖中可以明顯看出在不同的發車間隔條件下，優化后的時刻表較現行時刻表也同高峰小時案例一樣有著更好的優化效率，驗證了本文所提優化模型可以同時適用于高峰時段和平峰時段。

圖10 平峰小時列車運行總能耗對比圖

5 結 論

本文深入分析了前后車牽引制動重疊時間以及前后車距離對再生制動能量利用率的影響，建立了基于再生制動能量利用的列車時刻表優化模型，并設計遺傳算法進行求解。通過算例分析，首先驗證了本文考慮多因素的再生制動能量利用方法的準確性，并將該方法應用于北京地鐵某線路，與現行列車開行方案進行了對比，結果表明：本文建立的列車時刻表優化模型具有良好的優化效率，高峰時段和平峰時段均可提高節能效果。