a÷0=?

游詠松

問題：現(xiàn)在有一個剛剛清零的計算器，你最少要用幾步可使計算器的“E（ER?ROR，此指標指超出計數(shù)范圍）”亮起來？

如果你打算摁出一個很大的數(shù)，或是用乘法，那就不是最少步數(shù)了。答案是依次摁“÷”“=”。這樣就構(gòu)造出一個0÷0的式子。很明顯，這是個錯誤式（ERROR原義為錯誤），因為0不能作為除數(shù)。我們很早就知道，n÷0（n為實數(shù)）這樣的式子是無意義的。

那么，0為什么不能作為除數(shù)呢？n÷0（n為實數(shù)）這樣的式子為何無意義呢？要想解決這個問題，我們首先要明白除法的意義與實質(zhì)。

在四則運算中，乘法運算的一般形式為ab（a、b為實數(shù)），其含義為a個b的和。除法運算的一般形式為b（a、b為實數(shù)且b=?0），其含義就是a當中包含的b的個數(shù)。基于此原理，a不變時，b的值越小（b=?0），ab的值越大。現(xiàn)在，大家試想一下，假定b的值為10-1000，即b=101000，a的值為1，那么a的值就是101000。這是一個很大的數(shù)字，但作為除數(shù)（分母）的b（10-1000）是一個很小的數(shù)字，卻依然大于0。假如a的值不變（a=1），b真的等于0，那ab的值是多大？即1里包含了多少個0呢？應(yīng)該是大到無法表示吧？這也就足以解釋數(shù)字“0”作為除數(shù)時，計算器顯示“E”的現(xiàn)象——這個數(shù)很大，以至于無法表示。

這個道理也可以用函數(shù)來說明。我a們假定y=b，這就是一個反比例函數(shù)。我們來看它的圖像，如圖1。

觀察一下這個反比例函數(shù)圖像，我們不難發(fā)現(xiàn)，這個雙曲線永遠不會經(jīng)過坐標軸。也就是說，當|b（|x）無限接近0時，|y|便會因太大或太小以至于無法表示而失去意義。

0本身的意義就是“虛無”。但作為一個存在的數(shù)字，0的存在即表示存在的無。《道德經(jīng)》說：“故有無相生”“無名天地之始”，又說“道生一，一生二，二生三，三生萬物”“萬物負陰而抱陽，沖氣以為和”。簡單講，世間萬物，皆從無演化而來。而萬物都必須有一個對立面來與之相對，否則這個事物就沒有存在的意義。舉例而言，如果地球上只有白天沒有黑夜，就沒有晝夜的差別，如此一來，人們就不必將一天劃分為白天和黑夜，白天的概念也就沒有存在的意義。正是這兩個對立面相輔相成，互相排斥又互相包容，萬物才有了存在的意義。而如果有一個絕對存在的數(shù)a，除以一個虛無的0，那a÷0的結(jié)果還有存在的意義嗎？

總之，0是不能作為除數(shù)的，這點大家都知道。不過在學(xué)習中，面對問題，切莫知其然而不知其所以然。

教師點評

小游同學(xué)另辟蹊徑，對0作為除數(shù)的問題提出了自己的看法和主張，特別是從冪的運算和函數(shù)的角度，闡述了自己的認識，具有難能可貴的創(chuàng)新精神，值得同學(xué)們學(xué)習！

（指導(dǎo)教師：江蘇省特級教師、正高級教師 張衛(wèi)明）