一個非均勻液體中浮力題解法的探討

楊 玲

（蘇州新區一中，江蘇 蘇州 215000）

學生在學習了初中物理“浮力”部分知識后普遍反映這部分內容較難，究其原因就是這部分知識有幾個重要的計算公式①F浮＝F下表面－F上表面；②F浮＝G－F；③F浮＝G排液＝m排液g；④F浮＝ρ液V排g；⑤ 物體漂浮或懸浮時F浮＝G物.如果不能很好掌握這些公式的來龍去脈以及使用時要注意的條件，我們就不能很好判斷在具體題目中用哪個公式最合適.

有這樣一個題目：某溶液的密度ρ隨溶液深度h按照規律ρ＝ρ0＋kh變化，ρ0＝1g/cm3，k＝0.01g/cm4.用不可伸長，長度為5cm 的細線將A、B兩個立方塊連在一起并放進溶液內.已知VA＝VB＝1cm3，mA＝1.2g，mB＝1.4g，則平衡時立方塊A中心所在的深度為______cm，細線上的拉力為______N.（假設溶液足夠深）

提供的解題思路如下.

設A立方塊所處深度為hA，B立方塊所處深度為hB，由于mA＜mB，所以B立方塊應在A的下方.則hB＝hA＋0.06m，將A、B看作整體，根據物體的懸浮條件可得F浮A＋F浮B＝GA＋GB，可得

代入數據得2×1×103kg/m3×1×10－6m3＋0.01×105kg/m4×（hA＋hA＋0.06m）×1×10－6m3＝2.6×10－3kg.

解得hA＝0.27m＝27cm，hB＝hA＋0.06m＝0.27m＋0.06m＝0.33m；ρB＝ρ0＋khB＝1×103kg/m3＋0.01×105kg/m4×0.33m＝1.33×103kg/m3.

B球受到的浮力FB＝ρBgVB＝ρBgV＝1.33×103kg/m3×10N/kg×1×10－6m3＝0.0133N.

B球重GB＝mBg＝0.0014kg×10N/kg＝0.014N.

因為GB＝FB＋F拉，所以F拉＝GB－FB＝0.014N－0.0133N＝0.0007N.

故答案為27cm，0.0007N.

這一題考查了學生對重力公式，阿基米德原理，物體浮沉條件的掌握和應用.但筆者認為這樣的解法欠妥，因為這種解法忽略了浮力的產生條件：物體浸在液體中受液體對它上下表面的壓強差，對于如題中正方體等規則物體，浮力等于液體對它上下表面的壓力差.F＝（p下液－p上液）S.

筆者認為此題的正確解法如下.

圖1

由于mA＜mB，所以B立方塊應在A的下方.如圖1所示，設A立方塊上表面所處深度為hA，則A立方塊下表面所處深度為hA′＝hA＋0.01，B立方塊上表面所處深度為hB＝hA＋0.06，B立方塊下表面所處深度為hB′＝hA＋0.07.

由題可知：某溶液的密度ρ隨溶液深度h按照規律ρ＝ρ0＋kh，可得A立方塊上表面液體密度為ρA＝ρ0＋khA，A立方塊下表面液體密度為ρA′＝ρ0＋k（hA＋0.01），B立方塊上表面液體密度為ρB＝ρ0＋k（hA＋0.06），B立方塊下表面液體密度為ρB′＝ρ0＋k（hA＋0.07）.

因為A、B兩個立方塊體積均為1cm3，所以它們的上下表面面積SA＝SB＝S＝1cm2.

將A、B看作整體，根據物體的懸浮條件可得

其中F浮A＝ρA′ghA′S－ρAghAS，

代入可得

代入數據，經計算可得

A球受到浮力為

A球重力為GA＝mAg＝0.0012kg×10N/kg＝0.012N.

因為F浮A＝GA＋F拉，則F拉＝F浮A－GA＝0.0124N－0.012N＝0.0004N.

本題正確答案為11.5cm，0.0004N.

這一題中提供的解題思路忽略了溶液密度隨深度會發生變化這一條件，而筆者認為這是這一題最重要的條件.F浮＝ρ液V排g只是阿基米德原理（F浮＝G排液）的一個推導公式，只有當液體密度均勻時，G排液才能簡單用ρ液V排g來代替，此題中液體密度隨深度變化，那么需要用到微積分部分的知識G排液＝∫ρ液gSdh.這顯然超出了初中生的知識范圍，因此此處利用浮力產生條件來解題是最恰當的.