幾何問題中的圖形結構和數學運算

湖北省武漢市華中科技大學同濟附中(430030) 王凱旋 嚴翠

我們知道數學核心素養包括:數學抽象,邏輯推理,數學建模,運算能力,直觀想象,數據分析.六個核心與初中平面幾何的圖形研究:形狀,位置,大小三要素的有機結合,可以提煉出:以“圖形結構(數學抽象,數學建模,直觀想象和圖形的形狀,位置的融合)—數學運算(邏輯推理,運算能力與幾何圖形大小的融合)”為思維模式的問題解決方法.具體方法為:首先,明確“已知結構”及包含的“已知運算”;其次,解決問題時,其路徑為把“已知結構”轉化為“目標結構”;“已知運算”轉化為“目標運算”,從而達到問題的解決.

例1(2018年山東濱州中考第19 題) 如圖1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,點E,F分別在BC,CD上,若求AF的長.

圖1

圖2

解在對試題條件和結論進行分析時,我們不應僅僅關注45?角,還應該關注45?角所在的幾何圖形形狀.更需要關注幾何圖形的整體結構.這里和試題比較相近的一個圖形結構就是:正方形ABCD中含有以點A為角頂點的45?角(如圖3,4).這是我們在正方形問題中研究比較多的一個幾何圖形結構,這個結構對應的數學運算有很多,其中一個基本運算:BP+DF=PF僅僅通過全等就可以得到.如果利用這個幾何圖形結構相對應的數學運算來解答此問題,應該算一種比較自然的解法,同時解答過程比較簡單.

如圖2,把矩形ABCD補成正方形AMND,延長AE交MN于點P,連接EP.得到基本結構:正方形AMND中含有以點A為頂點的45?角; 從而有基本運算:MP+DF=PF,在正方形AMND中易得:?ABE?AMP,則又∵AB=2,AM=4,BE=1,∴MP=2,則MP=2,設DF=x,由基本運算得:PF=MP+DF=x+ 2,NF=4?x,在Rt?PNF中……