基于L0范數和聯合全變分的圖像去模糊

盧 鵬，余 勤

(四川大學 電氣工程學院，四川 成都 610065)

0 引 言

圖像在成像過程中由于受到散焦、大氣湍流及相對運動等各種干擾因素的作用，使得最終得到的圖像質量嚴重退化。圖像退化降質過程可用數學表達式表示如下

f=k?x+n

(1)

式中：k為模糊核，n為附加的噪聲，?表示卷積運算，x為輸入的原始清晰圖像，f是降質圖像。圖像去模糊依據模糊核類型是否已知劃分為盲去模糊和非盲去模糊，本文用不同的方法對這兩方面分別進行了研究。圖像非盲去模糊本質上是一個病態逆問題，目前比較常用的非盲去模糊方法是基于正則化約束，即通過添加正則化約束項的方法來最小化目標函數。圖像盲去模糊的發展主要集中在模糊核估計方法的改變，目前，許多圖像去模糊算法對模糊核的估計都依據自然圖像的先驗知識如稀疏、平滑等特性。然而這些圖像先驗知識對于文本圖像的去模糊效果并不好，于是J.Pan等[1]提出了基于L0范數正則化強度和梯度先驗的文本圖像去模糊，并將其拓展到包含文本和低亮度自然圖像的去模糊。

在圖像非盲去模糊方面，綜合利用L0范數和非局部全變分(NLTV)[2]的優點，提出了一種基于以上兩種正則化約束的圖像非盲去模糊模型，相較于單一的正則化約束，該模型能更好地恢復圖像細節；在圖像盲去模糊方面，結合J.Pan等提出的文本圖像盲去模糊方法和聯合全變分方法，對圖像進行了更為精細的復原，有效減少了階梯效應和偽影。

1 基于L0正則化先驗和NLTV的非盲去模糊

1.1 L0正則化先驗

L0正則化先驗包含強度和梯度先驗知識，圖像的強度和梯度值都會因造成模糊的因素發生較大的改變，鑒于此可考慮將圖像的強度和梯度特征作為正則化先驗約束對模糊圖像進行去模糊處理。綜上，基于L0正則化強度和梯度先驗的模型可表示如下

(2)

1.2 圖像非盲去模糊模型構造與求解

利用全局梯度提取法(GGES)將退化后的圖像分解為平滑、邊緣和紋理3個部分，將邊緣和平滑區域設為xp，紋理區設為xw，將上文所涉及的先驗知識和NLTV均作為正則化項對目標函數進行約束，構造得到的模型如下

(3)

(4)

式中:第一項為保真項，α、β均為權重系數，w函數表示圖像塊間的相似性權重，其取值為0到1之間。對式(3)的求解，可將其轉化為以下兩個子問題

(5)

(6)

在對式(5)求解時，需保持xw不變，此時對式(5)求解便轉化成了對包含L0范數的式子求最優解，由于L0范數的求解是一個典型的非凸問題，借助半二次分解方法，對強度和梯度先驗部分分別添加一個輔助變量來求解，可表示如下

(7)

式中：I和g分別為和強度、梯度先驗相關的變量，當λ、γ趨近于無窮大時，對于式(7)的求解可通過固定其它變量，對xp、I和g進行交替求解。最終可得對xp的求解結果如下式

(8)

(9)

在給定xp的條件下，對I、g的求解結果如下式所示

(10)

(11)

(12)

第二年，表姐生下李嶠汝。秋里，喜上加喜，遂平全縣豐收。有人說，老天爺還算有眼啊，打了咱一耳光又給了個糖吃。

(13)

對上式采用交替方向乘子法求解如下：

(1)固定a和t1,對xw求解

(14)

因為上式可微，利用上式對xw求導可得

(15)

式中：divd(·)表示非局部的散度算子，Δd表示非局部拉普拉斯算子。為快速求解，可將其轉換到頻域利用快速傅里葉變換進行求解。

(2)固定xw和t1，用軟閾值算法對a求解

(16)

(3)固定xw和a,t1按如下方式更新

(17)

上述對NLTV約束部分xw的求解，現有算法已經較為成熟，只需輸入對應參數即可完成求解，但由于該方法需要對圖像進行分塊處理，所以計算量較大，程序運行時間較長。上述圖像非盲去模糊方法可總結見表1。

2 基于L0正則化先驗和聯合全變分的盲去模糊

2.1 基于L0正則化先驗約束模糊核估計

表1 基于L0范數和NLTV圖像非盲去模糊算法

(18)

對上式的求解，同樣可將其分解為以下兩個子問題

(19)

(20)

對式(19)的求解同非盲去模糊方法，對式(20)的求解，由于其滿足快速傅里葉變換求解條件，可利用文獻[3]中的方法對模糊核進行快速估計，對模糊核k的估計過程采用的是一種由粗略到精細預估的圖像金字塔的方式，在得到k后，需對其進行歸一化處理。通過上述一系列的求解，可得到對模糊核k的估計以及潛在圖像的輸出。

2.2 聯合全變分模型構造與求解

圖像非盲去模糊方法[2,4]經過長時間的發展,已經有很多成果可以加以利用，在基于正則化約束的求解方法中，常用的正則化方法有全變分(TV)、分數階全變分(FOTV)和非局部全變分(NLTV)等，為減少階梯效應同時更多地保留圖像的細節信息，采用FOTV和NLTV聯合全變分對預處理圖像進行進一步的去模糊處理。對預處理圖像先采用GGES算法，將其分解為平滑區和紋理區，再用FOTV和NLTV分別約束分解得到的平滑區和紋理區，建立聯合全變分非盲去模糊模型，可表示如下

(21)

(22)

對式(22)中xs部分采用交替方向乘子法，求解方法同1.2中式(13)，最終求得的結果如下

(23)

(24)

表2 基于L0范數和聯合全變分盲去模糊算法

3 實 驗

本文實驗所用計算機處理器為Intel-8100(3.60 GHZ),RAM為8 GB，實驗基于Matlab R2016a完成。實驗相關參數設置如下：β=4e-3、σ=1、τ=2，實驗選取了4幅大小為512(512像素的圖像，選用了和文獻[4]相同的4種模糊核。實驗結果就圖像非盲去模糊和圖像盲去模糊兩方面分別進行了展示。在圖像非盲去模糊方面，采用了非盲去模糊效果較好的FTVd[4]、TVd[4]以及FOTV[5]方法和本文方法進行了對比，實驗效果如圖1-圖3所示。

圖1 baboon對比實驗效果

圖2 lax對比實驗效果

圖3 lax細節

由圖1-圖3可以看出，本文算法在圖像細節和邊緣部分有較好的效果，能使恢復出的圖像更接近真實圖像，體現出良好的視覺效果，如圖3中細節放大圖的飛機輪廓和軌跡細節部分。

為更客觀地展現本文方法的有效性，采用PSNR作為性能指標對所選圖像在兩種噪聲下分別進行了實驗，結果見表3、表4。

由表中數據可以看出，相比于對比算法，本文算法對于在附加噪聲的影響下仍取得了較好的去模糊效果，對于大多數圖像，本文都有最高的PSNR值，體現了算法對于噪聲的魯棒性，進一步說明了本文算法的有效性。對于紋理細節較多的baboon圖像，由于紋理區域和平滑區域交叉嚴重，不利于圖像分區，導致結果并非最優。

表3 BSNR=40 dB時各算法非盲去模糊對比

表4 BSNR=30 dB時各算法非盲去模糊對比

在圖像盲去模糊方面，為體現本文算法的有效性，和J.Pan等提出的文本圖像去模糊算法、新提出的基于L0梯度先驗圖像盲去模糊算法進行了對比，實驗結果圖4、圖5所示。

圖4 文本圖像實驗效果對比

圖5 自然圖像實驗效果對比

從以上兩組圖像的對比中可以看出，無論是文本圖像還是自然圖像，本文方法相比兩種對比算法，盲去模糊效果更好，復原出的圖像銳化度更高，說明了本文算法采用的聯合全變分方法確實能保留更多的細節信息同時很好地去除了偽影。

為更為客觀地體現本文算法的優越性，和已有的方法進行了對比實驗，實驗結果見表5。

從表5可以看出，相較于對比算法，對選取的各種圖像本文算法大多都有最佳的PSNR值，充分表明了本文算法的有效性。

表5 各算法盲去模糊PSNR/dB對比

4 結束語

結合L0范數正則化強度和梯度先驗知識和典型的正則化約束方法，本文對圖像去模糊進行了研究，在圖像非盲去模糊方面，利用L0范數和NLTV算法各自的優點，構建了圖像非盲去模糊模型，相較于單一的正則化約束方法，該模型更好地利用了圖像本身的結構信息，對細節部分有更好地恢復效果；在圖像盲去模糊方面，基于L0正則化先驗估計出的模糊核和聯合全變分方法，提出了盲去模糊模型，實驗結果表明該模型復原出的圖像具有更高的銳化度和PSNR值，效果更好。由于本文涉及的參數眾多，導致程序運行時間較長，下一步研究可考慮對參數進行自適應選擇。另外，為提升模糊核估計的準確度，可考慮對模糊核采用多種方法進行聯合估計，以達到更好的圖像去模糊效果。