致密油藏長縫壓裂直井基質-裂縫耦合流動模型

任允鵬

中國石化勝利油田分公司勘探開發研究院

致密油藏具有滲透率低、滲流阻力大、存在啟動壓力梯度等特點，傳統的開發方式難以實現高效開發［1-2］。水平井、長縫壓裂技術的發展，促進了致密油藏的進一步開發。長縫壓裂技術通過油、水井的大型壓裂制造長縫，使裂縫在井排方向上延伸，進而形成一種類似于水平井開發的定向、定量造長縫的壓裂完井技術。通過長縫壓裂，可以形成較大面積的滲流通道，大幅提高致密油藏產能和開發效果［3-4］。

朱維耀等人［5］的研究結果表明致密油藏壓裂裂縫中流體的流動存在高速非達西滲流。蘇玉亮等人［6-7］的室內實驗及現場研究表明，當裂縫內流體的滲流速度較大時，會呈現出高速非達西滲流，達西定律將無法準確地描述其滲流規律。Holditch(1976)等人［8］最早將裂縫中流體的高速非達西滲流的影響考慮到現場壓裂設計中。Mcdaniel(1989)和Vincent(2000)等人［9-10］的研究結果表明，裂縫內的高速非達西滲流將嚴重的影響油藏最終的采收率及經濟效益。Gil(2003)及Hernandez(2004)等人［11-12］在前人研究的基礎上分析得出，高速非達西系數的閾值為0.1，即高速非達西滲流引起的壓力降小于或等于總壓降的10%，則高速非達西滲流的影響可以忽略不計且高速非達西系數隨著采油速度和裂縫半長的增加而增加。目前國內外致密油藏長縫壓裂滲流規律和產能模型研究中，沒有綜合考慮致密油藏的儲層特征及裂縫中高速非達西滲流的特點，具有較大的局限性。因此，在致密油藏存在啟動壓力梯度的基礎上考慮了裂縫中高速非達西滲流的影響，建立了長縫壓裂直井基質-裂縫復合流動模型，并計算分析了壓力動態和最佳裂縫半長變化規律。

1 基質-裂縫耦合流動模型

1.1 致密油藏基質-裂縫滲流規律

致密油藏液體的流動規律不符合常規的達西定律，在滲流時除粘滯力外，還要克服吸附層的阻力。當外加壓力梯度大于啟動壓力梯度時，液體才開始流動。故可以應用運動方程描述致密油藏基質中流體的流動為

式中，v為流體流動速度，m/s;k為基質滲透率，10?3μm2；μ為原油黏度為壓力梯度，MPa/m；G為啟動壓力梯度，MPa/m。

長縫壓裂技術是致密油藏油井增加產量、提高經濟效益的有效措施。致密油藏經過水力壓裂后，裂縫滲透率大大提高。此時，流體首先從儲層基質流向裂縫，再沿著裂縫流向井底。當裂縫的面積較小時，裂縫內的液體流速較大。對于高速流動的液體，其流動規律遵循的是Forchheimer二項式方程，如式(2)所示［13］。分析二項式可以看出，當滲流速度很小時，平方項可以忽略不計，下式就轉化為達西滲流公式。由此可以看出式(2)中的第一項表示黏滯阻力引起的壓力損失，第二項則表示由慣性力而引起的壓力損失。當滲流速度較小時，第一項占優勢；當滲流速度較大時，第二項占優勢。

式中，ρ為流體密度，kg/m3；β為慣性因子，為平均流體流動速度，m/s。

1.2 物理模型及基本假設

致密油藏基質-裂縫耦合流動模型的基本假設：無限、均質地層中心1口垂直裂縫井；有限導流能力雙翼對稱裂縫，裂縫半長xf，縫寬wf，裂縫垂向完全穿透儲層，裂縫滲透率kf為常數；流體首先從基質流到裂縫，進而從裂縫流到井筒，模型分為基質系統和裂縫系統，為了簡化計算將裂縫均分n段；基質中流體流動考慮啟動壓力梯度，裂縫中流體流動考慮非達西滲流系數的影響。

1.2.1 無因次參數

式中，pD為無因次地層壓力，下標D表示無因次屬性；k為基質滲透率，10?3μm；h為地層厚度，m；pi為第i個網格的地層壓力，MPa；p為地層壓力，MPa;Q為井底流量，cm3/s；Bo為原油體積系數，m3/m3；pfD為無因次裂縫壓力；pf為裂縫壓力，MPa；F為無因次裂縫非達西滲流系數；wf為裂縫寬度，m；qfD為無因次裂縫流量；qf為裂縫流量，cm3/s；xf為裂縫半長，m；tD為無因次時間；t為真實時間，s；φ為地層孔隙度；ct為綜合壓縮系數，MPa?1；xD為無因次長度；cfD為無因次裂縫導流系數；cη為無因次裂縫擴散系數；GD為無因次啟動壓力梯度。

1.2.2 數學模型建立

(1)基質系統。由式(1)得考慮啟動壓力梯度的基質系統流體流動的無因次滲流方程為

(2)裂縫系統。由式(2)得考慮裂縫中非達西滲流系數的裂縫系統流動的無因次滲流方程為

式中，cf為裂縫導流系數；qnD為無因次節點流量。

進一步得到裂縫系統中任意一個網格i的無因次滲流方程為

1.2.3 模型求解

對上述基質及裂縫的滲流方程進行Laplace變換并應用點源函數求解［14］，可得拉式空間內基質系統、裂縫系統的解為

式(15)、(16)中，

這一瞬間，宴姝似乎觸碰到了現代與過去、渺小與偉大之間一條淡淡光影。也許，偉大的建筑庇蔭過一個個王朝，也經歷過更迭、興衰和破敗。但無論歷史的晨鐘暮鼓帶來多少斑駁滄桑，在每個渺小個體的守護之下，它們終能一如初見、一如往常。

式中，Ko為零階貝塞爾函數；u為拉普拉斯變量；下標i表示節點序號或者網格序號。

式中，

通過編程求解以上線性方程組，得出裂縫內的流量分布及每1節點的流量。代入裂縫的第1個網格方程求解得到拉普拉斯域的井底壓力為

Van Everdingen等人［15］給出了拉式空間內定產條件下井底流動壓力和定壓條件下井底產量之間的關系為

對式(25)、(26)進行stehfest數值反演［16］，可以得到實時域空間的無因次井底壓力及無因次井底產量。

1.3 模型驗證

為驗證解析模型的可靠性，利用COMSOL有限元模擬器，建立一個致密油藏長縫壓裂數值模型，設定模型邊界為10 000 m，通過偏微分方程系數進行非達西滲流系數定義，數值模型中其他致密油儲層的相關參數與解析模型所用參數保持一致，具體參數見表1。數值模擬結果顯示，當生產時間為6 000 d時，滲流所波及的半徑遠小于模型邊界，這時可以認為模型是無限大的。結果對比如圖1所示，研究建立的解析模型與數值模型擬合度較好。同時相對于

表1致密油藏儲層參數Table 1 Reservoir parameters of tight oil reservoir

圖1解析模型與數值模型Fig.1 Analytical model and numerical model

2 模型應用

2.1 啟動壓力梯度對壓力動態影響

根據儲層參數(表1)，計算定產條件不同無因次啟動壓力梯度下無因次井底壓力及壓力導數隨無因次時間變化曲線如圖2所示。無因次井底壓力及壓力導數隨無因次啟動壓力梯度增大而增大，但啟動壓力梯度對生產動態的后期影響較大，這是因為生產后期，壓降傳播的范圍增大，隨啟動壓力梯度增加，地層中消耗的能量增大，因而生產壓差較大。

圖2不同啟動壓力下壓力及壓力導數曲線Fig.2 Pressure and pressure derivative at different threshold pressures

2.2 非達西滲流系數對壓力動態影響

根據儲層參數(表1)，計算定產條件不同無因次非達西滲流系數F下無因次井底壓力及壓力導數隨無因次時間變化曲線如圖3所示。由圖可以看出，無因次井底壓力及壓力導數隨著非達西滲流系數的增大而增大，且無因次非達西滲流系數對生產動態的前期影響較大。這是因為生產前期，裂縫中流體的滲流速度較大，由式(2)可知，Forchheimer滲流方程的第二項不可忽略，相當于增加了流體流動的滲流阻力，故此時非達西滲流對壓力及壓力導數的影響很大；而生產后期，生產壓差擴大，裂縫中流體的滲流速度較小，Forchheimer滲流方程第二項可以忽略，因此非達西滲流對壓力曲線的影響較小。

圖3不同非達西滲流系數下壓力及壓力導數曲線Fig.3 Pressure and pressure derivative at different non-Darcy flow coefficient

2.3 非達西滲流系數對最佳裂縫半長影響

圖4不同非達西滲流系數下累積產量隨裂縫半長的變化曲線Fig.4 Variation of cumulative production with half fracture length at different non-Darcy flow coefficient

定壓生產條件下，計算生產時間為10年時不同非達西滲流系數下累積產油量隨裂縫半長的變化曲線如圖4所示。由圖可以看出，累積產油量隨非達西滲流系數F的增大而減小；累積產油量隨裂縫半長的增大而增大，但增大幅度越來越小，即存在最佳裂縫半長。由圖4得出致密油藏長縫壓裂的最佳裂縫半長隨裂縫中非達西滲流系數的變化曲線如圖5所示。由圖可以看出，致密油藏水力壓裂直井的最佳裂縫半長隨裂縫中非達西滲流系數的增大而減小。這是因為高速非達西滲流在裂縫中產生的附加壓降，增加了流體的滲流阻力，從而需要的裂縫半長越短。

圖5最佳裂縫半長隨非達西滲流系數的變化曲線Fig.5 Variation of optimal half fracture length with non-Darcy flow coefficient

3 結論

(1)考慮致密油藏中啟動壓力梯度及裂縫中非達西滲流的影響，建立了致密油藏基質-裂縫復合流動半解析模型，通過拉普拉斯變換，應用點源函數和Stehest數值反演計算了真實空間域內的井底壓力及井底產量。

(2)通過分析啟動壓力梯度、非達西滲流系數對生產動態的影響發現，無因次壓力及壓力導數隨著啟動壓力梯度、非達西滲流系數的增大而增大，且啟動壓力梯度對生產后期的壓力曲線影響較大，而非達西滲流系數對生產前期的壓力曲線影響較大。

(3)對不同非達西滲流系數下致密油藏長縫壓裂的裂縫半長進行優化分析，結果表明裂縫中非達西滲流越嚴重，累積井底產量越低，最佳裂縫半長越短。研究成果為致密油藏長縫壓裂方案設計、試井分析提供理論指導。