北京大興國際機場的幾何探秘

曲線——建筑與數學

的“碰撞”

北京大興國際機場超越了迪拜世界中心（以阿勒馬克圖姆國際機場為中心的航空城計劃） ，成為世界上最大的單體航站樓，每年運送旅客多達1億人次，飛機起降80萬架次。從空中鳥瞰坐落于北京永定河北岸的機場航站樓，其造型瑰麗、氣勢恢宏，宛如一只耀眼的鳳凰，神秘而魔幻。當抵近航站樓的中心位置，呈現在人們眼前的是一個規模宏大的六芒星構型。

大興國際機場在建筑結構上有很多光滑的曲線，仰望穹頂，航站樓屋頂的鋼架結構，被兩簇彼此垂直的曲線結構剖分，和諧優雅，流暢靈動。如此優美的形態在幾何學中對應著一個非常深刻的數學幾何概念——黎曼葉狀結構。

北京大興國際機場的棚頂結構是六芒星（繪圖 / 顧險峰）

看那自由彎曲的曲面，肆意張揚的曲線，只要對建筑藝術稍有了解的人一眼就可以辨認出這是建筑界“女魔頭”扎哈·哈迪德的作品。沒錯，北京大興國際機場正是扎哈的遺世絕唱——天鵝之歌。

建筑設計的幾何分析

數學專業出身的扎哈·哈迪德創立了一個新的學派，這個學派最大的特點就是用黎曼幾何來取代歐幾里得幾何。在歐幾里得幾何理論中，地是平的，墻是直的，窗戶都是方正的，看起來非常中規中矩。而扎哈把一切變成了曲面，在曲面上設計非常復雜的曲線，她因此也被稱為“曲線之王”。扎哈的設計一次又一次顛覆人們想象的極限，讓我們認識到原來建筑也可以在大地上糾纏盤繞、奔騰流淌、破碎融合、蜷曲彌散。

扎哈徹底解構了傳統的建筑美學標準，大膽運用黎曼幾何結構來構造空間，其設計使得建筑掙脫了重力的羈絆，在空中自由翱翔，標志性的曲線更給她帶來了無數的贊美和爭議。

那么，從幾何學的角度如何來評價扎哈的設計作品呢？扎哈的本質突破在哪里？其作品是不切實際的產物嗎？還是歸結為幾何的必然？我們可以從現代拓撲（拓撲學是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀后還能保持不變的一些性質的學科）和幾何學角度來領略扎哈·哈迪德設計的精妙之處。

曲率突破

在傳統建筑行業，幾乎所有的作品都是橫梁、立柱、平墻、方窗，涇渭分明。換言之，幾乎所有的建筑表面都是平直的，高斯曲率幾乎處處為零。這意味著傳統建筑是基于歐幾里得幾何設計和建造的。只有極少數天才的設計突破了零曲率幾何，安東尼奧·高迪和扎哈·哈迪德便是這樣的特例。

在長達數千年的人類歷史長河中，人類一開始認為平直的歐幾里得幾何是天然的、唯一真實的幾何，直到愛因斯坦創建了廣義相對論，人類才意識到原來自然時空是彎曲的，黎曼幾何才是世界的真實圖景。扎哈肆無忌憚地使用黎曼幾何進行建筑設計，從這個角度而言，扎哈使人類明白了真實的建筑世界應該是彎曲的黎曼幾何。

拓撲突破

澳門新濠天地酒店的拓撲解釋，大樓的表面有3 個環柄（繪圖 / 顧險峰）

拓撲學又被稱為是橡皮膜的幾何學。假設曲面由橡皮膜制成，我們將曲面拉伸擠壓，扭轉撕扯，但是保證不撕破，不粘連，變形后的曲面保持拓撲不變。封閉曲面的拓撲復雜度主要是由所謂的“虧格”來決定。直觀而言，虧格就是“環柄”的個數。比如球面沒有環柄，因此虧格為0;輪胎表面有一個環柄，因而虧格為1。在傳統建筑中，幾乎所有的樓宇都是簡單的拓撲球面（即大樓的整體表面沒有環柄）。扎哈以睥睨天下的氣魄，將高虧格曲面大膽應用在建筑設計中。扎哈的另一件作品——澳門新濠天地酒店大樓的表面就是一張有著3個環柄的黎曼曲面。在三維歐幾里得空間中的曲線可以彼此纏繞，從而形成各種紐結。大興機場內部棧橋被設計成紐結結構。這些復雜的拓撲構型，在傳統建筑中極為罕見，這是扎哈在拓撲構型方面的突破。

同為扎哈作品的北京望京Soho 大樓表面被分解成彼此平行的圓圈，這些圓圈構成了曲面的一個黎曼葉狀結構

葉狀結構的美學價值

三個彼此不同的黎曼葉狀結構，在奇異點處，葉子形成三岔路口

身為曲線之王，曲面的葉狀結構成為扎哈的終身標志。扎哈設計的建筑物表面被分割成柔美流暢的一簇曲線，靈動而和諧。在幾何上這對應著黎曼葉狀結構這一概念。葉狀結構本有落葉層疊之意，本質上是具有美學價值的結構。實際上，扎哈設計的葉狀結構都是調和葉狀結構，也是最為自然的葉狀結構。將每片葉子在曲面上自由滑動，使得這些葉子的分布盡量流暢光滑，這種形變不會改變葉狀結構的整體拓撲性質，但是會增加葉狀結構的美學價值。

小貓曲面的黎曼葉狀結構，除了幾個奇異點之外，曲面整體被分解為封閉圓圈，局部上看，這些圓圈彼此平行（繪圖 / 顧險峰）

我們從幾何學角度對扎哈的建筑設計理念進行了分析，將北京大興國際機場整體設計思想歸結為共軛調和葉狀結構及奇異點。令人驚訝的是，扎哈僅僅憑借敏銳的審美，就從本質上深刻洞察到這些抽象的幾何理論，掌握了調和葉狀結構的精髓，并且用建筑言語來向世人傳達。

北京大興機場的設計結構具有極強的剛性，可以說是牽一發而動全身，這意味著扎哈貌似驚世駭俗、大膽狂放的設計實際上是基于嚴格精密的理性和深邃的思想。與其說扎哈顛覆了舊世界，不如說她使人們解放了思想，使得“橫平豎直”的僵硬設計更加貼近自然。這正是建筑藝術家與數學家無與倫比的偉大之處：對人世英勇無畏，對自然敬畏純真。

大興機場內部鋼架結構的調和葉狀結構和奇異點，完美地呈現了建筑藝術和數學的結合

延伸閱讀

關于黎曼葉狀結構的深入思考：

?為什么一定是六芒星？而不是五芒星或者七芒星？

具有不同度奇異點的葉狀結構（繪圖 / 顧險峰）

紅色和藍色的曲線是兩簇共軛調和葉狀結構，奇異點具有六芒星結構（繪圖 / 顧險峰）

仔細觀察左圖中的最左幀，沿著格線，我們的確能夠得到兩簇彼此共軛的調和葉狀結構。但是，圖中最右幀，沿著格線，我們得到的不止兩簇圓圈，并且每簇圓圈都無法覆蓋整個曲面。換言之，右幀的任意一簇局部彼此平行的圓圈都無法構成曲面的葉狀結構。理論上，曲面上的葉狀結構的奇異點通常是如圖左幀所示那樣，局部是一顆六芒星。左二幀中度為8的奇異點不穩定，經過微小擾動，可以分解成兩顆六芒星。因此，大興機場的六芒星構型本質上代表了調和葉狀結構的穩定奇異點（唯一）結構，這是幾何原理所限制的必然。扎哈的極端理性和審美導致了唯一的設計方案。扎哈天才地悟到了調和葉狀結構的唯一性和奇異點結構的唯一性。

?在一般曲面上，共軛調和葉狀結構的奇異點有怎樣的特點？?

調和葉狀結構具有很強的剛性，剛性意味著如果所有的奇異點位置確定下來，那么相應的葉狀結構也就確定下來。對于設計而言，要么不改，要么整體大改，局部微調是不可能的。并且所有的奇異點之間存在很強的約束，隨意給定幾個點，基本上不存在以這些點為奇異點的調和葉狀結構。