高中數學函數解題思路多元化的方法

王光燦

（福建省寧德市高級中學，福建寧德 352100）

引 言

在當前高中數學教學中，教師應當轉變學生的單一解題思維，引導學生探究多元化的解題思路，以充分理解和靈活運用數學函數知識。

一、引導學生應用數形結合思想開展函數問題的分析

教師可以引導學生從數形結合角度，創新學生的函數解題思維，使其將抽象的函數概念轉為形象的圖形，從而有效地提升高中數學函數解題的效率和質量。

以下面這道高中數學函數題目為例：設奇函數f(x)的定義域為(-∞，0)∪(0，+∞)且在(0，+∞)上單調遞增，f(1)＝0，則不等式的解集是什么？

分析：在解答這道函數題目時，教師應該引導學生運用數形結合解題思維，結合相關的函數圖像來理解函數問題。這樣，學生可以有效地找到解題的突破口，以盡快地形成函數解題思路[1]。首先，根據這道函數例題，教師可以提醒學生從題目中的已知條件來找到數形結合的點。比如，從題目“奇函數f(x)的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞）且在（0，+∞）上單調遞增，f(1)＝0”這些描述中，學生可以畫出y=f(x)的圖像（見圖1）。

圖1

由上述圖像可知，當x∈（-1，0）∪（1，+∞）時f(x)＞0，當x∈（-∞，-1）∪（0，1）時f(x)＜0。然后，學生可以結合具體的函數圖像，回歸到函數的計算問題。比如，根據題目中的問題，不等式則有最后，學生可以根據具體的不等式，求出不等式的解集。

二、指導學生運用創新的構造解題思路解答數學函數問題

在眾多的解題思路中，構造思維方法也是一種很好的數學函數解題思路。它是在原有函數題目基礎之下，進行條件或者結論的假設，以利用數學函數題目中的相關信息，構造出滿足函數題目所需的條件和結論，促使復雜的函數問題簡單化，從而找到函數問題的解答方法[2]。

以下面這道數學函數問題為例：f(x)是定義在R 上的偶函數，當x＜0 時，f(x)+xf'(x＜0)，且f(-4)=0，則不等式xf'(x＞0)的解集是 。

分析：從函數題目中，教師可以引導學生觀察和尋找其中存在的函數關系。比如，題目中的f(x)+xf'(x＜0)，出現了“+”的符號，那么教師可以引導學生從構造的思維角度，優先構造出F(x)=xf(x)的函數關系。這樣可以將復雜的函數問題簡單化。然后，教師引導學生基于這個構造關系，快速利用函數的單調性、奇偶性解答問題。比如，從構造的F(x)=xf(x)出發，繼而構造F'(x)=f(x)+xf'(x)，那么，當x＜0 時，f(x)+xf'(x＜0），可以推出F'(x)＜0，F(x)在（-∞，0）上是單調遞減，又因為f(x)為偶函數，所以F(x)為奇函數。最后，根據f(-4)=0 可得F(-4)=0，則xf'(x＞0）的解集應為（-∞，-4）∪（0，4）。教師引導學生利用構造解題思路，可以有效地轉化復雜的函數問題，促使學生對題目進行大膽假設，從而找到解題的方法。

三、重視學生的轉化思維培養，從劃歸角度解答函數問題

轉化思維也是高中數學的一種重要解題思路。它可以使部分函數問題簡單化，同時也有助于學生產生豐富的聯想，進而將抽象的函數問題進行一一拆解[3]。比如，當學生拿到一道函數問題時，教師可以先引導學生應用轉化思維方法將函數問題簡單化；然后利用已經學習過的函數概念研究新函數問題的規律及特點。這有利于降低問題的難度，進而快速地解答出函數問題的答案。

分析：對于這道函數題目，學生可以運用等價轉化思維，將函數轉化為yx2-ax+y-b=0。然后，令△=a2-4y（y-b）≥0，即4y2-4by-a2≤0，已知題目中的不等式4y2-4by-a2≤0的解集為[-1,4]，那么-1 和4 就是關于y的方程4y2-4by-a2的兩個根，那么將這兩個根代入方程，可以得出a=±4，b=3。在整個解答過程中，這道題目既涉及了函數，又融入了不等式、方程等知識。學生可以運用等價轉化的思想，將函數、不等式與方程一步步地轉化，從而將復雜的函數問題轉化為簡單的函數分析，進而求得答案。

四、科學運用分類討論解題思路進行高中數學函數問題的解答

在解答高中數學函數問題時，學生也可以運用分類討論思維進行函數問題的解答。學生應該運用如下分類討論思維進行解題。首先，學生拿到一道函數問題時，必須明確需討論的對象及取值范圍；其次，要正確選擇好分類的標準，才能進行分類討論；再次，針對問題的分類進行逐類討論；最后，將討論的結果進行歸納，并進行總結與分析。學生只有嚴格按照分類討論的思考步驟，一步步對函數問題進行分類討論，才能有序、有效地解答出函數問題的答案。

以下面分段函數問題為例：已知函數f(x)=|x-3|+|x+1|，請作出函數f(x)的圖像。

分析：對于這道分段函數問題，教師可引導學生嘗試利用分類討論的解題思路，對函數進行分區間討論。首先，學生需要研究的是已知函數f(x)=|x-3|+|x+1|。其次，學生可以根據x的取值變化，對函數進行分段。比如，當x≤-1時，f(x)=-2x+2； 當-1 ＜x≤3 時，f(x)=4； 當x＞3 時，f(x)=2x-2。最后，學生根據討論的結果，可以畫出相關的函數圖像（見圖2）。

圖2

結 語

綜上所述，函數是高中數學教學的重要內容。在解答函數題目時，教師應該引導學生從數形結合、構造、轉化及分類討論等多元化的思維角度出發，探究相關函數題目，以從中不斷鍛煉學生的解題思維，并促使他們掌握這些有效的數學函數解題思維。