從操作走向思維，積累數學活動經驗

楊莉莉

“操作活動”和“思維活動”的落實和培養是幫助學生有效積累數學經驗的教學途徑。在數學教學中，應以操作活動為基礎并提升操作活動的價值，鏈接學生的手和腦，讓學生積累起豐富的數學活動經驗，從而完成以思維發展為主要目標的教學活動任務。

一、操作中遞進，讓思維活動走向內隱

當前，許多教師意識到學生動手操作的重要性，能夠適時地引導學生調動多種感官參與學習活動，但只是讓操作活動作為一種獨立的存在，學生經歷了數學活動，卻缺乏有效的數學思考，特別是在低年級的教學中更經常存在操作與經驗、操作與思維“割裂”的現象。因此，提升操作層次，讓數學思考伴隨操作活動的全過程，搭建起操作與思維之間的橋梁，實現思維能力從淺層向本質屬性不斷行進。

如北師大版二上“分物游戲”的內容，要以操作活動為載體，在問題引領中逐步實現學生對“除法”中“平均分”意義的具體理解，可以通過以下幾個過程來實現：（1）實物操作中初識“平均分”。讓學生用小棒或圓片等學具來代替4個桃子分給2只猴子。引導學生獨立進行分類，從中初步建立“分到的一樣多叫平均分”的表象。（2）實物操作中運用“平均分”。讓學生帶著“怎么分，才能讓每只小兔分到的一樣多”的問題，繼續用小棒替代12根蘿卜公平分給3只小兔的分物活動，開始嘗試“平均分”方法的運用。在交流不同分法的過程中進一步感悟：分法可能不一樣，但結果相同，這就是數學中的“平均分”。（3）畫圖操作中深化“平均分”。通過“用小棒擺一擺的時候，我們只能看見最后的結果是一樣的，怎么才能夠看見不同分法的過程”的問題，驅動學生通過畫一畫的方式實現分物操作從實物到替代品的層次遞進，既提升了學生動手操作的豐富經驗，讓學生對除法的“平均分”思維活動從直觀走向抽象，也為后續的“分香蕉”中除法算式的抽象奠定了符號化思想的伏筆。

二、操作后反思，讓思維活動走向顯性

學生在操作活動中，能通過操作、觀察、體驗獲得對數學的感悟，但這種對數學對象形成的相關數學經驗帶有一定的個體性，需要通過及時的回顧、交流、反思，才能讓粗糙零散的個體活動經驗得到提煉和梳理，讓思維活動顯性化。

如教學“厘米的認識”時，教師都會讓學生經歷各種豐富的實踐操作活動，引導學生觀察“1厘米”在尺子上的起始與長度，發現或想象生活中長度大約是1厘米的物體，讓學生學會用尺子對物體的長度進行度量。但是這些操作活動只是對活動現象和過程的體驗，如果要讓學生對1厘米長度的表象建立清晰的認識，對利用尺子上的“段”和“點”進行測量的方法認知準確，將1厘米進行疊合和累加的測量經驗鞏固夯實，就應引導學生對整個活動過程“回頭看”：我們剛才是怎么認識1厘米的？生活中的哪些物體的長度差不多是1厘米？利用尺子進行測量時，我們應該怎么觀察物體的長度？還要幫助學生把方法進行總結：對于厘米的認識，可以采用的方式有找一找、認一認、估一估、量一量、看一看、數一數。經歷了操作活動，進行了反思總結，能夠幫助學生實現對活動經驗的數學化，讓學生的思維活動從零碎走向整體。同時，為后續學習分米積攢相關活動經驗。

三、操作里優化，讓思維活動走向清晰

隨著教學的深入，數學課堂中的操作活動往往會從實物操作演變為列表、畫圖等策略，這些學習方法和思維習慣需要教師在教學中持之以恒地培養和引導，才能讓學生在學習中不斷通過類似的操作活動領悟數學學習的重要方法。

如北師大版六下第41頁“正比例”的例3，從具體的情境中讓學生依據正比例的意義進行判斷，學生借助表格中的數字通過運算容易得出正確的判斷，但離開了具體數據，直接根據相關聯的量進行判斷，呈現出來的學習困難就顯而易見（如第43頁的練習第3題）。

這時，教師在列表方法上的指導就至關重要。首先，筆者幫助學生先從相關聯的兩個量中找到它們之間的數量關系式。要求學生從“每袋大米的質量一定，大米的總質量和袋數”這個文字表達中抽象出數量關系式：大米的總質量÷袋數=每袋大米的質量。在引導學生列表的同時，通過舉例子的方法尋找到兩組具體的相關聯數據：假設每袋大米的質量是10千克，當大米的總質量是50千克時，袋數是5袋;當大米的總質量是80千克時，袋數是8袋。最后通過計算兩組相關聯的數量的比值進行判斷。這樣的引導過程，立足于正比例意義，著眼于學生在理解上的關鍵處，能夠使學生思之有據，思之有理。在反復的操作中，學生能準確把握是否成正比例關系的一系列連續思考和操作過程，為“反比例”的學習做好了觸類旁通的活動經驗準備。

四、操作完歸納，讓思維活動走向通透

歸納思想是小學數學學習的基本思維方式，在教學中被廣泛地運用。畫線段圖的操作活動是高年級學生解決分數問題（刻畫問題、尋找思路、解決問題）的極好策略。借助線段圖，并對線段圖進行對比、分析、歸納，可以更好地研究對象之間的關系，突破知識間的隔閡、解決困惑與難點。

如北師大版六上“分數混合運算（三）”的教學，大多數教師在引導學生畫簡單的線段圖后，基本上就是采用下面的方式進行教學：（1）分析帶有分率的條件中哪個數量是單位“1”。（2）反復強化：如果表示單位“1”的數量是已知的，用乘法計算;如果表示單位“1”的數量是未知的，用除法計算。這種程序化的教學貌似簡捷高效，實際上并沒有從思維狀態中消弭學生對“分數混合運算（二）”這個已有認知的“前概念”帶來的干擾。因為在后續的練習中，仍有許多學生把圖2的解題方法，可見，這種“套路”式教學對學生解決問題思維的經驗起不到積極的改造作用。

此時，筆者通過變式引入、畫圖分析、歸納抽象來消除僵硬的思維定式，融化學生的認知“冰點”。（1）變式引入：通過復習圖1的線段圖引導學生畫出圖2的圖形。（2）觀察和對比：什么變了？什么不變？（3）歸納抽象：無論是圖1或是圖2，故事書與科技書之間的關系都可以用“故事書的本數+故事書=科技書的本數”這個同樣的等量關系式來表示。（4）強化方程思想：借助來體會化逆為順的思維方式。（5）結合解方程的過程提煉出“”的算術解法。

這樣的教學，借助操作活動，勾聯新舊，對比歸納，培養方程思想，在有效的融合中克服了“前概念”帶來的干擾，讓學生的數學學習從認知結構的融會走向經驗、思維的通融，擁有更多可發展的學習能力。