二慣量系統諧振在線抑制及相位補償

廖政斌, 王澤飛, 祝 珊

(1 湖北工業大學太陽能高效利用及儲能運行控制湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430068 2 國網湖北省咸寧市咸安區供電公司，湖北 咸寧 437000)

在交流伺服系統中，機械傳動裝置被用來將電機的力矩傳遞給負載，以實現負載跟隨電機同步轉動。在實際工程應用中，機械傳動裝置一般使用聯軸器、皮帶輪、滾珠絲杠等[1-2]，而這些傳動機構剛性較差，為柔性傳動機構，傳動效果沒有剛性機構理想，通常會在系統中引發機械諧振。針對交流伺服系統諧振抑制，文獻[3]提出極點配置法，通過對極點進行配置使系統的諧振頻率點和反諧振頻率點相互抵消來抑制系統諧振；文獻[4]提出轉速誤差補償法，通過設計狀態觀測器，觀測電機轉速并與電機反饋轉速作差，將得到的差值通過低通濾波器和高通濾波器處理后作為轉速補償，以此達到抑制系統諧振；文獻[5]提出負載轉矩觀測器，將負載轉矩觀測值反饋到系統中，相當于改變電機轉子側的轉動慣量，尋找合適的負載慣量比來達到抑制諧振的作用；這兩種方法對系統參數有一定要求。因此采用自適應陷波濾波器對系統諧振頻率點的幅值進行抑制，并針對相位滯后的問題采用一種相位補償的方法減小相位后，提高系統帶寬頻率，改善系統的響應速度。

1 交流伺服系統諧振產生原理

1.1 交流伺服系統二慣量模型建立

伺服系統由伺服電機、慣性負載和傳動軸組成。在實際應用中，電機與負載間的傳動軸并非總是剛性連接，系統中存在一定的非線性因素，考慮到彈性連接對系統的性能影響，將此時的機械系統等價于二慣性系統。圖1為二慣性系統的簡化模型[6-7]。

圖1 二慣量系統機械模型

圖1中Tm為電機電磁轉矩，Tl為負載轉矩，ωm為電機轉動慣量，ωl為負載的轉動慣量，Ks為傳動軸的耦合剛度系數，Bm為電機側阻尼系數，Bl為負載側阻尼系數，Ts為傳動軸的扭轉轉矩，Jm為電機的轉動慣量，Jl為負載的轉動慣量。

根據力學平衡關系，可以建立系統的微分方程組如下：

(1)

式(1)中，Ts為傳動軸形變扭矩，θm為電機轉軸的位置，θl為負載轉軸的位置。

對于簡化的二慣量系統，根據系統的微分方程組可以畫出系統的結構框圖[8](圖2)。

圖2 二慣量系統的結構圖

根據圖2可以推導出電機轉速ωm和負載轉速ωl到電磁轉矩Tm間的傳遞函數，傳遞函數如下：

(2)

(3)

系統中的阻尼系數很小，可以忽略不計，所以式(2)和式(3)中的Bl=Bm=0。可得：

從而可以得到考慮彈性傳動裝置的電流環和轉速環雙環閉環控制系統框圖(圖3)。

圖3 轉速環系統控制框圖

圖中外環為轉速環，對電機轉速ωm進行閉環控制。ASR為轉速環PI調節器，調節器輸出為電流指令；ACR為電流環調節器，輸出為電壓指令；Ks為逆變器的比例系數；Ts為時間常數。

1.2 機械諧振的產生原因

式(2)、(3)傳遞函數左邊項可以視為一個慣性環節，右邊項可以視為一個二階振蕩環節，也是引起系統振蕩的原因。

對比式(2)和式(3)可以發現其振蕩環節的不同，式(2)中的傳遞函數包含了一對共軛極點和一對共軛零點；式(3)中的傳遞函數中存在一對共軛極點。正是由于彈性負載接入系統后引入了共軛零極點，才對電機和負載的轉速響應有嚴重的影響，給控制帶來了麻煩。所以抑制伺服系統諧振的關鍵在于將共軛零極點的影響降到最低[8]。

由上式可以得出二慣量系統的反諧振頻率ωar和諧振頻率ωr分別為：

其中R=Jl/Jm，R為負載慣量比。由式(3)可知負載慣量比與電機和負載的轉動慣量有關，諧振頻率ωr與傳動軸的剛度系數和負載慣量比有關，減小慣量比R，使諧振頻率和反諧振頻率更加接近，有利于二慣量系統的諧振抑制。電機與負載側的諧振方程bode圖見圖4。

圖4 諧振方程bode圖

分析圖4，從幅頻特性可以看出系統在諧振頻率處的幅值增益最大，而在反諧振頻率處的幅值增益最小，有明顯的波峰和波谷。在諧振頻率處高增益的幅值會降低系統的穩定裕度，所以需要抑制諧振處的峰值。

2 機械諧振在線抑制及相位補償

由上文分析可知，二慣量系統的機械諧振發生在特定的頻率點上。在該頻率點上，系統的幅值增益會迅速上升出現一個峰值，為了抑制系統的諧振，則需在該頻率點處減小系統幅值[9]。本文采取自適應陷波濾波器對機械諧振頻率進行補償，抑制諧振的產生。

2.1 陷波濾波器設計

本文使用一種二階IIR陷波器設計方法，該陷波器的傳遞函數如下：

該陷波器形式簡單，參數少，只有ρ和α兩個參數。參數α決定陷波頻率α=-2cos(ω0)；參數ρ決定陷波器衰減帶寬BW=(1-ρ)π，ω0(rad)為歸一化的陷波頻率；BW(rad)為3dB的衰減帶寬；ρ(0<ρ<1)越接近1，陷波器的衰減帶寬就越窄，并且其陷波深度也越小。這兩個參數之間沒有耦合，互不影響。

圖5 陷波濾波器的頻率響應

圖5可以看出，只在陷波頻率點上的幅值頻率特性出現衰減，且在陷波頻率點處的相位出現滯后；陷波濾波器的帶寬越寬，引起的相位滯后越大，系統的響應越慢。

2.2 諧振點辨識

由上分析可知，陷波濾波器的設計需要知道系統的諧振頻率點，本文采用按頻率抽取法快速傅里葉變換，通過蝶形算法原理完成信號的分析，得到系統的頻率特性，從而可知系統的諧振頻率點[10]。具體方法如下：

圖6 蝶形算法運算單元

對于有限長非周期序列x[n]，序列x[n]與其傅里葉頻譜X[k]的關系如下：

由此得到單個快速傅里葉變換運算單元表達式為：

快速傅里葉運算的結果為信號序列x[n]的頻譜X[k]，但此時的頻譜序列需要倒序排列放置，根據香農采樣定理，如果信號的頻譜最高頻率為fmax，為了保證頻譜分析結果不發生頻譜混疊，采樣頻率fs應大于最高頻率fmax的2倍，變換后的頻譜X[k]點數為N，則X0至X[N/2]表示[0,fs/2]頻率區間內的信號離散頻譜。其中幅值增益最大對應的頻率點為系統的諧振頻率點。

加入諧振點在線檢測和陷波濾波器環節后，交流伺服系統的控制框圖見圖7。

圖7 自適應陷波濾波器抑制系統諧振框圖

圖7中，對轉速誤差進行快速傅里葉分析(FFT)得到系統的頻譜圖，在系統頻譜圖中找出系統的諧振頻率點，再將陷波濾波器串聯到速度環中，對速度調節器輸出的電流進行濾波處理，抑制電流波動，進而對電磁轉矩產生抑制，從而達到抑制系統諧振的效果。

2.3 相位滯后補償原理

由于陷波濾波器的串入會給系統帶來相位的滯后，為解決這一問題，本文考慮使用一種對速度指令重構的方法(圖8)。

圖8 相位滯后補償轉速環控制框圖

圖8中的虛線框內為相位滯后補償方法，通過加入一個補償環節，補償系數Kcpm，微分通過補償系數環節起作用，使得系統在瞬態過程加快速度響應；而在穩態過程中，由于微分不起作用，補償系數也失去了作用。為保證補償前后的速度給定無靜差，因此補償系數需滿足一定的條件。

由上式可知，速度誤差由陷波濾波器的參數決定。k1為陷波濾波器的陷波寬度；k2為陷波濾波器的陷波深度；ω0為陷波頻率。在系統穩定狀態下，即s=0，為保證速度誤差為0，可得下式：

3 仿真實驗

3.1 諧振抑制仿真結果

在Matlab/Simulink軟件中，對永磁同步電機伺服系統進行仿真實驗電機參數：電機額定電流為6 A；額定轉速為2000 r/min；額定轉矩為5 N·m；定子電阻為3.15 Ω、定子電感為0.0085 H；定子磁鏈為0.175 Wb；電機極對數為4對極、轉動慣量為0.008 kg·m2；傳動軸的彈性系數為50 N·m/rad；負載慣量為0.0008 kg·m2。

系統給定速度是周期為2 s, 幅值為1000 r/min的方波信號，在2.1 s時刻陷波濾波器起作用。得到波形見圖9。

圖9 系統諧振抑制仿真

圖9a為電機側轉速響應圖，在2.1 s時刻加入陷波濾波器系統轉速會產生跳動，隨后轉速波動幅度減小直至平穩；圖9b為負載側轉速響應圖，由于系統諧振的存在，濾波前負載側轉速響應波動較大，處于非正常運行狀態，2.1 s進行濾波，負載側轉速波動減小直至平穩狀態；圖9c為電磁轉矩響應圖，濾波后的電磁轉矩波動明顯減小。圖9a和圖9b中可以看出濾波后的轉速響應明顯變慢，速度環帶寬減小，嚴重影響系統的快速性；圖9d為陷波前后轉速誤差的頻譜圖，可以看出諧振點頻率為42 Hz，陷波前的諧振點幅值達到789 dB，經過陷波濾波后諧振點幅值降至78 dB。

3.2 相位補償仿真結果

在Simulink中，速度給定為1個周期幅值為1000 r/min的方波信號，在電機啟動時刻陷波濾波器開始作用。圖10為使用陷波濾波器帶來系統相位滯后的補償前后轉速波形圖。

圖10 相位補償后系統諧振抑制仿真

由圖10可知，加入相位補償環節后不僅對系統諧振有抑制作用，而且改進后的方法比單純使用陷波濾波器的相位滯后小，改善了系統的帶寬頻率，提高了其響應速度；改進后的轉速響應均提升了0.9 s左右。

以上仿真是從時域的角度分析系統相位滯后補償問題，從頻域的角度分析系統相位滯后，可以通過分析系統的閉環截止頻率大小，閉環截止頻率越大,系統的瞬態響應速度越快。向系統轉速給定幅值一定的正弦激勵，通過改變激勵的頻率，直至幅值衰減為最大值的0.707倍，此時激勵的頻率為系統電流環的帶寬頻率(亦稱截止頻率)。

在Simulink仿真軟件中，速度輸入幅值為1A的正弦激勵，通過改變激勵的頻率分別得到剛性系統、二慣量系統、加入自適應陷波濾波器的二慣量系統及相位補償后系統的帶寬頻率如圖11。

圖11 不同系統下的激勵與響應

圖11的a、b、c、d中轉速輸入正弦激勵的頻率分別為722 Hz、627 Hz、557 Hz、589 Hz，可知剛性系統的帶寬最大，系統響應最快；二慣量系統次之；加入陷波濾波器后的二慣量系統帶寬有所下降；經過相位補償后的系統帶寬在原有的基礎上有一定的增加。

4 結論

筆者對包含彈性裝置的伺服驅動系統進行研究，分析了系統諧振產生的原理及其對系統帶來的影響。介紹了一種自適應陷波濾波器的設計原理，通過設計合理的陷波濾波器對系統諧振進行抑制。仿真試驗表明，陷波濾波器能有效地抑制系統的機械諧振，但同時會給系統帶來相位滯后的問題。針對該問題，采用一種相位補償的方法，有效的減小了系統相位滯后，提高系統的帶寬，改善系統響應速度，并通過仿真驗證了其有效性。