GM(1,1)灰色模型在軟基沉降預測中的應用

胡其志，劉 恒，田 錕

(1 湖北工業大學土木建筑與環境學院，湖北 武漢 430068；2 湖北省橋梁安全監控技術與裝備技術工程中心，湖北 武漢430068)

在高速公路建設施工過程中，為避免造成經濟損失和人員傷亡，對軟土路基沉降提出了較高要求。因此，有效掌握軟基沉降的發展規律并準確預測分析最終沉降對于指導工程施工、降低工程成本、確保工程質量具有極為重要的實際意義。

軟土路基的沉降變形是一個影響因素眾多、變化漫長的過程，如何能在較短時間內得到較為準確的結果[1]，國內外學者對軟土路基沉降預測進行了大量的研究工作。目前常用的曲線擬合預測方法有理論計算法、擬合曲線法[2]、Asaoka法[3]、遺傳人工神經網絡法[4]等。黃廣軍[5]用數學方法對預測地基沉降的Asaoka法的表達式進行分析,探討其擬合參數的誤差對沉降預測結果的影響,提出了擬合參數誤差放大系數的概念,并對預測結果的可靠性進行分析和評估。楊濤[6]等基于雙曲線擬合法,推導出恒載下地基沉降速率與剩余沉降之間的關系式、剩余沉降與工后沉降之間的關系式,據此建立了超載預壓卸荷沉降速率標準的計算公式,并給出公式中相關參數的確定方法。萬臣[7]等基于組合預測思想,結合BP神經網絡和馬爾科夫鏈2種預測方法,構建了一種新維BP神經網絡-馬爾科夫鏈大壩沉降預測模型。但是，大部分預測方法未全面考慮軟土路基沉降的影響因素，或者算法冗繁不易實現，對預測精度產生影響。

灰色理論[7-10]具有理論性強、應用價值高等優點，是將復雜離散的非等時距實測沉降數據處理成以一定規律變化的等時距序列，建立微分方程對后期沉降進行數據預測，其算法簡潔明晰，且避免分析軟土路基沉降影響因素，提高了沉降預測精度。

由于受到施工環境和監測條件的限制，部分地基處理工程未能測取到足夠多的沉降數據。針對傳統的雙曲線法、三點法沉降預測模型的不足，將實測數據等時距化并采用灰色GM(1,1)模型建立微分方程對軟基沉降進行預測分析，并驗證灰色理論的適用性，最后將三種模型預測結果進行對比分析，為其他同類研究提供借鑒。

1 GM(1,1)灰色模型

灰色系統理論由我國學者鄧聚龍教授于1982年創立，以“部分信息已知，部分信息未知”的“小樣本”、“貧信息”不確定性系統為研究對象，主要通過對部分已知信息的生成、開發，提取有價值的信息，通過序列算子的作用實現對系統運行行為、演化規律的正確描述和有效監控。其特點是“少數據建模”，著重研究“外延明確，內涵不明確的對象”。由于灰色系統理論對實驗觀測數據沒有特殊的要求和限制，因此在工程建設、經濟管理、農業科學、控制科學、生命科學等領域得到廣泛應用。

1.1 建立模型

由于沉降監測受到現場施工條件、環境氣候等因素的影響，其實測沉降數據為非等時距序列，在建立模型之前利用三次樣條[11]插值法將其等時距。實測數據在等時距后的序列為X(0)={x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(N)}。對等時距的系列進行一次累加得：

X(1)={x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(N)}

(1)

假設式(1)中的X(1)滿足一階常微分方程：

其中：a是常數，稱為發展灰數；u稱為內生控制灰數，是對系統的常定輸入。

對等時距取樣的離散值表達(t0=1)為：

(2)

灰色建模途徑是將等時距后的序列進行一次累加，得到式(1)的累加系列，后采用最小二乘法來估計常數a與u。構造數據矩陣如下：

(3)

(4)

聯立式(3)和式(4)，用最小二乘法估計可得：

(5)

(6)

1.2 精度檢驗

采用后驗差檢驗，x(0)的方差

殘差的方差

后驗差比值

小誤差概率

以上所得后驗差比值C和小誤差概率P按表1對計算精度進行綜合評價。若C和P都在規定的范圍內，其中C越小越好(即原始序列方差大而殘方差小)，P越大越好(即殘差與殘差均值之差越小于給定值0.6745S1)。因此表1中P的數字大，C的數字小，那么預測的精度就好，反之就不合格，則所建立的灰色模型精度符合要求；否則，需對殘差進行修正，直到精度符合要求為止。

表1 預測精度對照表

2 工程應用

2.1 工程概況

武穴長江大橋北岸接線段軟土路段總長約5762 m，主要分布于K149+509-K152+504黃泥湖農場段及K155+820-K159+346長江北岸沖積平原段，占路線全長約31.2%。主要為淤泥、淤泥質土，間夾軟塑-流塑狀態的粘性土以及軟弱的粉土，靜力觸探PS值普遍≤0.75，埋深較淺，軟土厚度多在5～12 m之間。采用固結排水對軟土進行處理，軟土段路基采用挖除換填、水泥攪拌樁、水泥攪拌樁和欠載預壓及水泥攪拌樁和等載預壓四種處理措施，預壓期為4-6個月，并在堆載預壓的過程中進行沉降監測。

沉降監測按照設計要求埋設沉降板，采用二等水準測量對路基沉降進行觀測。本文選取K150+480典型斷面作為考查對象，其堆載預壓高度隨時間變化曲線和實測沉降量隨時間變化曲線如圖1所示。其實測沉降數據與時間間隔如表2所示。其中數據采集的頻率為：時間數據周期為4-6個月，現場總沉降量數據為：222.51～327.94 mm之間。

2.2 GM(1,1)灰色系統模型預測

根據圖1和表2中K150+480斷面的實測沉降數據，依次選取前10組、15組、20組實測沉降數據，并利用MATLAB對序列采用三次樣條插值方法進行等時距處理后，對該斷面的后期沉降進行預測。利用MATLAB軟件將三次樣條插值方法處理成等距離序列的具體過程為：1)輸入時間序列；2)輸入初始數值；3)進行循壞；4)程序得出函數的曲線；5)將依次得出的曲線連成一段完整曲線；6)超出時間序列終止程序、程序運行結束。

圖1 K150+480斷面總沉降量-填土高度-時間

表2 K150+480斷面實測沉降數據

2.2.1 選擇前10組數據進行預測將前10組數據利用MATLAB軟件采取三次樣條插值方法處理成等時距序列，三次樣條插值如圖2所示。

前10組數據序列預測公式：

St=-524.700e-0.0598t+375.369

圖2 K150+480斷面取10組數據三次樣條插值

2.2.2 選擇前15組數據進行預測將前15組數據利用MATLAB軟件采取三次樣條插值方法處理成等時距序列，三次樣條插值如圖3所示。

前15組數據序列預測公式：

St=-459.595e-0.0432t+412.407

圖3 K150+480斷面取15組數據三次樣條插值

2.2.3 選擇前20組數據進行預測將前15組數據利用MATLAB軟件采取三次樣條插值方法處理成等時距序列，三次樣條插值如圖4所示。

前15組數據序列預測公式：

St=-491.276e-0.0528t+389.086

圖4 K150+480斷面取20組數據三次樣條插值

2.2.4 計算時間參數當選取10組、15組、20組數據采用三次樣條插值法等時距處理進行灰色模型預測時，對應的時間序列分別為：

T10=5.2222d;T15=4.8571d

T20=5.0526d

其中d=1,2,3,…,n。時間序列如表3所示。

表3 時間序列

3 成果分析

選取10組、15組、20組采用GM(1,1)灰色模型預測曲線和實測沉降數據曲線對比如圖5所示。

圖5 K150+480斷面G(1,1)預測與實測沉降

由圖5可知，在選取實測數據組數較多的情況下，沉降預測曲線的變化趨勢就與實測沉降曲線越接近，預測結果就越精確。反之，在選取的實測數據組數較少的情況下，沉降預測曲線收斂速度較快，與實測沉降曲線的變化趨勢產生了較大的偏離，預測結果精確性較差，說明選取的實測數據序列維數對灰色理論預測有直接的影響。 第302～357 d預測沉降數據與實測沉降數據對比如表4所示。

表4 不同數據組數時灰色理論預測值與實測值分析

表4顯示，在利用灰色模型預測時，選取的實測沉降數據序列組數越多，預測結果的相對誤差就越小，反映出預測結果越精確。說明選取的實測數據序列組數越多，預測曲線的變化趨勢與實測沉降曲線越吻合，預測結果越可靠。

基于第302～357 d實測沉降數據，利用雙曲線法和三點法進行沉降預測。雙曲線法是一種基于純經驗的擬合方法，沉降量計算公式為：

三點法又稱為固結度對數配合法，是由曾國熙(1959)提出的一種采用實測荷載與沉降時間曲線來預測沉降的方法。沉降量計算公式為：

St=SdTe-Ut+S(1-Te-Ut)

根據雙曲線法和三點法所得沉降預測結果與GM(1,1)灰色模型預測結果對比分析如表5所示。

表5 GM(1,1)灰色理論與三點法、雙曲線法預測對比

表5顯示，采用GM(1,1)灰色理論模型預測結果要明顯精確于采用三點法、雙曲線法的預測結果。

4 結論

1)GM(1,1)灰色理論模型的本質是通過對原始數據進行一次累加生成，得到較強規律性的曲線后，再用指數曲線擬合得到生成模型。在利用灰色理論模型預測沉降時，采用的實測沉降數據序列組數越多和時間間隔越大，預測結果的精度就越可靠。

2)實測沉降數據的等時距處理對GM(1,1)灰色理論模型預測沉降有很大影響。相較于三點法和雙曲線法，GM(1,1)灰色理論模型預測結果更為可靠。

3)對于軟土路基沉降曲線的非線性特征，GM(1,1)灰色理論模型預測沉降結果可以較好地與實測沉降數據相符，該預測模型可為類似已知信息量少、不確定因素多的工程沉降預測研究提供借鑒。