纖維增強復合板中聲彈Lamb 波的波結構分析

劉宏業，劉 申，呂 炎，何存富，周麗紅

(1. 上海理工大學光電信息與計算機工程學院，上海 200093；2. 北京工業大學機械工程與應用電子技術學院，北京 100124)

纖維增強復合材料因其優異的力學性能，近些年被廣泛應用于航空航天、軍工、汽車、土木建筑等重要領域[1 ? 2]。由于纖維增強復合材料不同組分之間固有的熱學性能差異，復合材料部件自身固化成型工藝的限制和服役過程中環境、工況載荷的變化，使得該類材料結構中不可避免的會產生初應力。為實現纖維增強復合材料的出廠質量控制和結構健康監測，尋找一種可靠的無損檢測方法至關重要。Lamb 波因其傳播距離長、檢測快速、經濟高效等優勢被廣泛認為是適用于纖維增強復合材料無損檢測和結構健康監測的重要技術之一[3 ? 6]。因此，研究初應力效應對纖維增強復合材料中潛在Lamb 波傳播模態的影響具有十分重要的意義。

在利用Lamb 波對各向異性復合材料進行無損檢測和結構健康監測時，通常采用分布式傳感器陣列通過多點多傳播路徑對材料中的缺陷進行定位和成像。對于Lamb 波在各向同性材料中的傳播問題，由于各Lamb 波模態傳播特征的各向一致性，往往不涉及“沿非主對稱軸傳播”的問題。周正干等[7]推導了Lamb 波在鋁板中傳播的理論模型，通過對鋁板中Lamb 波波結構的分析實現了薄鋁板中缺陷的實驗檢測。張海燕等[8]將拓撲成像用于各向同性板中盲孔缺陷的蘭姆波檢測，提出的成像方法對板類結構中非對稱缺陷的Lamb 波檢測具有很強的適應能力。曹小杉等[9]采用冪級數法研究了材料性能參數沿厚度方向連續變化的橫觀各向同性板中Lamb 波的傳播問題。王國鋒等[10]通過利用數值法對頻散方程的求解，研究了圓管結構中縱向模態和周向Lamb 波的頻散曲線，對圓管中導波的傳播機理及特征進行了分析。

但對于各向異性的纖維增強復合材料而言，Lamb 波多沿其非主對稱軸方向傳播。Ng 等[11]采用三維有限元法對復合材料板中A0模態的頻散特性進行了分析。張海燕等[12]通過建立各向異性界面層的彈簧模型，研究了不同界面條件對層狀各向異性復合板中Lamb 波頻散特性以及位移分布的影響。徐春鈴和王鑫偉[13]采用譜有限元法，對復合材料板中對稱模式與反對稱模式下的Lamb 波傳播速度進行了求解，數值結果表明較好地模擬出Lamb 波在復合材料板結構中的傳播特性。何存富等[14 ? 15]關注沿非主對稱軸方向傳播的Lamb 波，研究了單層與多層正交各向異性板中耦合Lamb 波的傳播特性。

考慮初應力的影響，“聲彈”描述了彈性體中聲波波速隨初應力效應而改變的現象。Du 等[16]考慮在初應力作用下壓電材料中Love 波的傳播問題，通過對Love 波的相速度進行數值計算，分析了初應力對Love 波相速度的影響，研究結果亦表明初應力作用對波的傳播速度有重要影響。Navneet等[17]發展了聲彈Lamb 波的理論，研究了雙軸應力場作用下初應力效應對各向同性板中聲彈Lamb波傳播速度的影響。Yu 和Zhang[18]利用“增量變形力學”理論，研究在初應力作用下空心圓柱體中導波的傳播特性，發現初應力對扭轉波和縱向波的頻散特性和波結構特性的影響不同。同時，Yu 和Li[19]研究了由Si3N4和Zinc 構成的功能梯度板中類Lamb 波和SH 波的傳播問題，發現重力效應的影響可以忽略不計。

本文以線性三維彈性理論和“增量變形力學”理論為基礎，利用勒讓德正交多項式展開法對單層單向纖維增強復合材料板中沿非主對稱軸傳播的聲彈Lamb 波展開研究。通過分別考慮水平和垂直方向初應力的作用，研究了纖維鋪層方向的改變對Lamb 頻散特性的影響。最后，著重對聲彈Lamb 波的波結構特性進行了分析。

1 問題描述與基本方程

圖1 初應力作用下纖維增強復合板空間坐標示意圖Fig.1 Schematic diagram of space coordinates for fiber reinforced composite plate under initial stress

在O-x1x2x3坐標系下，單斜晶系材料的本構方程可表示為：

在小變形假設下，應變-位移關系為：

在無重力的影響下，施加初應力的纖維增強復合板中控制波傳播的方程為：

其中：

式(1)～式(5)中：Tij和εij分別代表應力和應變；ui是位移量；CIJ是介質彈性常數；ρ 代表物質密度。除非另行說明，本文中所有小寫下角標的取值為1，2，3，例如：i 和j；而所有大寫下角標的取值為1，2，···，6，例如：I 和J。

考慮復合材料板的應力自由邊界條件(即在x3=0和x3=h0處，T33=T13=T23=0)這里引入矩形窗函π(x3)：

因為材料特性參數受到位置的約束，故材料彈性常數CIJ、物質密度ρ、水平方向初應力S11和垂直方向初應力S33均可通過矩形窗函數表示為位置的函數，即：

對于纖維增強復合板，假定沿x2方向無限長，則滿足平面應變問題的條件，質點位移的自由諧波解可以表示為：

式中：U(x3)、V(x3)、W(x3)代表質點位移在x1、x2、x3方向上的振動幅度；k 是波數；ω 是角頻率。

將式(2)、式(3)、式(5)～式(7)代入式(4)中，得到單層纖維增強復合板中Lamb 波傳播的波動方程為：

此時的Lamb 波由準對稱模態、準反對稱模態和準SH 模態三種模式耦合而成。為得到式(8a)、式(8b)和式(8c)控制的耦合波動方程的解，把質點在x1、x2、x3方向上的振動幅度U(x3)、V(x3)和W(x3)用勒讓德正交多項式展開[20]，即：

式中，Pα代表第α 階勒讓德正交多項式，則Qα形成了一組完備的正交歸一的多項式組。就理論上而言，α 取從0 到無窮大值，但實際計算中α 取一有限值αΓ，更高階的項認為是高階小量，可以忽略不計。

式(11)的頻散方程可以化歸為一個特征值問題，即：

式(12)為聲彈Lamb 波沿纖維增強復合板任意方向傳播時的頻散方程。隨著αΓ值的增加，其特征值亦會相應增加，該問題只取隨著αΓ值的增加，數值上趨于收斂的解。

生產運行：供水調度SCADA系統（Supervisory Control And Data Acquisition)、數據采集與監視控制系統等。

2 數值算例

基于上述理論公式，利用Mathematica?軟件編寫程序對纖維增強復合板中沿任意方向傳播的聲彈Lamb 波的波動方程進行求解。為驗證計算結果的正確性，首先將程序應用于無初應力的各向同性材料中，并與Disperse?軟件(全局矩陣法)的計算結果進行比較。然后以碳纖維增強復合材料T300/914 單層板為例，計算了無初應力各向異性板的波結構應力曲線，驗證了應力分布曲線的連續性及邊界應力與初始條件的一致性。最后，分析了碳纖維增強復合材料T300/914 單層板中初應力效應和纖維鋪層方向改變時，對Lamb 波頻散特性和波結構特性的影響。

2.1 方法的驗證

為了驗證本文方法所編寫程序的正確性，首先計算了無初應力作用時，各向同性鋁板6061-T6 中Lamb 波的頻散曲線。所采用鋁板的厚度為1 mm，其它材料特性參數如下：密度ρ = 2700 kg/m3，彈性模量E=69 GPa，泊松比ν = 0.3。圖2 為本文方法所計算的鋁板相速度頻散曲線與Disperse?軟件計算結果對比圖，其中實心圓點為本文計算結果，實線為Disperse?計算結果。從圖2 可以看出，兩種方法計算結果吻合良好。

圖2 本文方法所計算的鋁板相速度頻散曲線與Disperse?軟件計算結果對比圖Fig.2 Comparison of phase velocity dispersion curves for aluminum plate by the authors’ program with available data calculated from Disperse?

進一步驗證本文方法對單斜晶系材料的適用性，以單層單向碳纖維增強復合材料T300/914 為例，圖3 計算了無初應力情況下纖維鋪層方向0°時，Lamb 波A0模態在300 kHz 頻率下的應力波結構曲線，算例中材料的密度 ρf= 1560 kg/m3，厚度 hf= 1 mm，彈性常數如表1 所示[15]。由圖3 可見，應力分布曲線呈現出較好的連續性，在上下表面處應力分量T33、T13、T23均與應力自由邊界條件一致。應力分量以T11為主，說明Lamb 波在傳播過程中A0模態能流主要沿x1方向傳播。

圖3 300 kHz 頻率下Lamb 波A0 模態的應力波結構曲線Fig.3 Stress distributions of Lamb wave A0 mode at 300 kHz

表1 碳纖維增強復合材料T300/914 的彈性常數CIJ /GPaTable1 Elastic constants of carbon-fiber reinforced composites T300/914

2.2 計算結果的收斂性

考慮到截止項αΓ對本文算例精確性的影響，圖4 給出了碳纖維增強復合材料T300/914 單層板在無初應力狀態時，截止項αΓ由3 變化到7 時各模態頻散曲線的收斂情況。從圖4 中可以看出，當截止項αΓ增大至5 時，各模態的頻散曲線漂移已基本趨于穩定。圖5 是S0模態頻散曲線收斂過程的放大圖。由圖5 可見，隨著截止項αΓ由3 到7 變化，S0模態頻散曲線的收斂過程存在著“跳躍”現象，即當截止項αΓ由3 變化到5 時，計算結果迅速收斂；而當截止項αΓ由5 變化到7 時，計算結果的收斂速度則十分緩慢。這主要是因為漸進求解方法計算結果的精度受截止項舍斷累計誤差的影響，其收斂過程呈現非線性變化的特性，當截止項取值較小時，計算結果與理論真值之間誤差較大。為保證本文所討論頻率范圍內計算結果的精度，下文算例中均取截止項αΓ= 7 進行計算。

圖4 截止項αΓ 由3 變化到7 時各模態頻散曲線的收斂Fig.4 Convergence of dispersion curves of all the modes with the change of cut-off term αΓ from 3 to 7

圖5 S0 模態頻散曲線收斂過程的放大圖Fig.5 Zoom-in graph of convergence process of the S0 mode

2.3 水平方向初應力效應

為研究水平方向上初應力對單層單向纖維增強復合板中沿任意(含非主對稱軸)方向傳播的耦合Lamb 波的影響，圖6 計算了沿水平方向施加±1 GPa 的初應力時，Lamb 波沿0°方向傳播的相速度頻散曲線。符號“+”表示在水平方向施加壓應力，符號“?”表示在水平方向施加拉應力。需要提及地是1 GPa 的拉應力粗略地相當于該材料所能承受極限強度的30%。由圖6中可以看出，對于低階模態而言，低頻段水平初應力對A0模態有著更為顯著的影響，SH0模態其次，對S0模態的影響最小。高頻段、高階模態的截止頻率在壓應力的影響下呈現增加趨勢(向右漂移)，在拉應力的影響下呈現減少趨勢(向左漂移)，壓應力與拉應力對高階模態截止頻率的影響效果相反。

上文分析已表明：A0模態在低頻段受水平初應力的影響更為明顯。鑒于A0模態的易激發性和工程適用的潛在可能性，下文著重對A0模態的波結構位移曲線在不同程度水平初應力作用時的變化情況進行分析。

圖6 ±1 GPa 初應力作用下，單層單向纖維增強復合材料板中沿0°方向傳播的Lamb 波相速度頻散曲線Fig.6 Phase velocity dispersion curves of Lamb waves propagating along 0° direction in fiber reinforced composite lamina under the initial stresses of ±1 GPa

進一步觀察圖7 可以發現，水平方向初應力效應對u2曲線的影響最為明顯，u1其次，對u3曲線的影響最弱。總體而言，Lamb 波A0模態對水平初應力的影響更為敏感，但由于Lamb 波沿非主軸方向傳播時各模態耦合效應的存在，水平初應力主要通過影響u2位移分量實現對A0模態的調控。如圖8 所示，當Lamb 波A0模態的傳播方向變為45°時，水平初應力的影響較15°時更加明顯。對比圖9 和圖7、圖8 則發現，隨著傳播方向角度超過45°逐漸增大到75°，位移波結構u3曲線發生了明顯的向下彎曲。同時，u2位移曲線在靠近上下表面處的幅度逐漸減小，u1位移曲線靠近上下表面處的幅度逐漸增大，表明此時耦合Lamb波的能量分布隨著傳播方向的改變而發生變化。考慮水平初應力的影響，當傳播方向超過45°角時，水平初應力效應對波結構位移曲線的整體影響趨弱，該結果表明對于實際的無損檢測和結構健康檢測而言，水平初應力對沿不同方向傳播的Lamb 波存在不同程度的影響。

圖7 傳播方向為15°時，頻率300 kHz 的A0 模態在不同水平初應力作用下的位移分布Fig.7 Displacement distributions of A0 mode at 300 kHz along 15° propagation direction under different horizontal initial stresses

圖8 傳播方向為45°時，頻率300 kHz 的A0 模態在不同水平初應力作用下的位移分布Fig.8 Displacement distributions of A0 mode at 300 kHz along 45° propagation direction under different horizontal initial stresses

圖9 傳播方向為75°時，頻率300 kHz 的A0 模態在不同水平初應力作用下的位移分布Fig.9 Displacement distributions of A0 mode at 300 kHz along 75° propagation direction under different horizontal initial stresses

2.4 垂直方向初應力效應

本小節繼續研究了垂直方向上初應力效應對單層單向纖維增強復合板中沿非主對稱軸方向傳播的耦合Lamb 波的影響。如圖10 所示，分別計算了纖維增強復合板當在垂直方向受到±1 GPa 初應力作用時的相速度頻散曲線。由圖10 的計算結果可見，對于低階模態而言，低頻段垂直初應力依然對A0模態有著最為明顯的影響，對SH0模態和S0模態的影響較小。高頻范圍內對高階模態的影響與圖6 的水平初應力效應相反。整體來看垂直初應力對高階模態的影響較水平初應力更大，表現為高頻段頻散曲線的漂移程度更大。此外，壓應力與拉應力的影響效果也完全相反。

圖10 ±1 GPa 垂直初應力作用下，單層單向纖維增強復合材料板中沿0°方向傳播的Lamb 波相速度頻散曲線Fig.10 Phase velocity dispersion curves of Lamb waves propagating along 0° direction in fiber reinforced composite lamina under the vertical initial stresses of ±1 GPa

同樣地，針對垂直方向初應力效應，圖11、圖12 和圖13 著重對A0模態在300 kHz 頻率下，沿不同方向傳播時在不同程度垂直初應力狀態下的波結構位移分布變化情況進行分析。由三幅圖的結果可見，當Lamb 波A0模態分別沿15°、45°和75°方向傳播時，隨著垂直初應力由0 GPa 向0.8 GPa 和1.6 GPa 變化，垂直初應力效應對A0模態整體波結構位移分布曲線的影響有限，其變化量較水平初應力的影響要小。相較于垂直初應力的影響，纖維鋪層方向的改變更能引起Lamb 波A0模態位移波結構曲線的改變，即此時Lamb 波A0模態波結構的變化主要由Lamb 波傳播方向的改變引起，而非垂直初應力的影響。相比較而言，當Lamb 波沿45°方向傳播時，垂直初應力效應對u1和u2的影響最為明顯，表明垂直初應力效應依然是通過耦合效應憑借影響u1和u2位移分量的大小，實現對A0模態沿板厚方向上的能量調控。

圖11 傳播方向為15°時，頻率300 kHz 的A0 模態在不同垂直初應力作用下的位移分布Fig.11 Displacement distributions of A0 mode at 300 kHz along 15° propagation direction under different vertical initial stresses

圖12 傳播方向為45°時，頻率300 kHz 的A0 模態在不同垂直初應力作用下的位移分布Fig.12 Displacement distributions of A0 mode at 300 kHz along 45° propagation direction under different vertical initial stresses

圖13 傳播方向為75°時，頻率300 kHz 的A0 模態在不同垂直初應力作用下的位移分布Fig.13 Displacement distributions of A0 mode at 300 kHz along 75° propagation direction under different vertical initial stresses

3 結論

采用勒讓德正交多項式展開法，研究了水平和垂直方向上施加初應力時，沿纖維增強復合板非主對稱軸方向傳播的聲彈Lamb 波。通過本文的研究發現，利用勒讓德正交多項式展開法的正交特性，可以把聲彈Lamb 波耦合波動方程的求解問題方便地轉化為特征值問題，合理的截止項取值使得對求解過程獲得了很快的收斂解。對于單層單向纖維增強復合板來說，在水平方向施加壓應力與拉應力的影響效果相反，但水平方向的拉應力與垂直方向壓應力的影響效果基本相同。對于低階的Lamb 波A0模態而言，初應力效應主要通過耦合效應影響波結構位移分量的大小來實現Lamb 波傳播能量的調控。相較于纖維鋪層方向的改變，即Lamb 波傳播方向的變化，Lamb 波高階模態的截止頻率對初應力效應有著更為敏感的變化。對于纖維增強復合板來講，初應力效應對沿不同方向傳播的Lamb 波模態亦有著不同程度的影響。因此，在無損檢測和結構健康監測中，應妥善考慮Lamb 波接收角度和初應力效應的影響，相關結論亦可進一步用于傳感器監測網絡的布局優化。