基于灰色-馬爾柯夫模型的心血管病死亡率預測研究

王梓寬，于海雯

(1. 南昌大學前湖學院，330031，南昌；2. 南昌大學信息工程學院，330031，南昌)

0 引言

隨著社會與經濟的發展，人們的生活水平和生活方式發生了深刻變化。人口老齡化及城鎮化的加速等，心血管病危險因素流行趨勢越發明顯，導致了心血管病的發病人數持續增加，且今后10 a心血管病患病人數仍將繼續增長[1]。根據2019年中國衛生健康統計年鑒[2]中的數據，心血管病(心臟病、腦血管病)死亡占城鄉居民總死亡原因的首位，2018年心血管病農村死亡率為322.31/(10萬)，其中心臟病死亡率為162.12/(10萬)，腦血管病死亡率為160.19/(10萬)；城市心血管病死亡率為275.22/(10萬)，其中心臟病死亡率為146.34/(10萬)，腦血管病死亡率為128.88/(10萬)；2018年農村、城市心血管病死亡占全部死因的比率分別為46.66%和43.8%。心血管病事件的發生主要歸因于血壓和總膽固醇水平升高等原因，在1958—1959年、1979—1980年、1991年、2002年進行過4次全國范圍內的高血壓抽樣調查[3]，≥15歲人群高血壓的患病粗率分別為5.1%、7.7%、13.6%、17.6%，總體呈上升趨勢。心血管病的疾病負擔日漸加重，已成為重大的公共衛生問題[1]。能否較準確地預測心血管病死亡率，有利于指導預防心血管病事件的發生和公共衛生事業的可持續發展。因此研究心血管死亡率的預測方法對引導我國公共衛生事業的健康發展是非常有意義的。

灰色預測理論的核心和基礎是GM(1,1)模型[4-6]，它適用于時間短、數據少、波動小、具有長期趨勢的預測對象。對隨機波動較大的對象，其預測值就會出現偏高或者偏低，擬合程度較差。馬爾柯夫預測模型則適合于一個隨機變化的動態系統，根據狀態間的轉移概率來預測系統未來發展趨勢。目前不少研究者把灰色GM(1,1)模型與馬爾柯夫預測模型相結合[7-10]，即灰色-馬爾柯夫預測模型。本文主要研究灰色-馬爾柯夫的心血管病死亡率預測模型，提出了一種改進的灰色-馬爾柯夫預測模型，并利用1991—2018年統計數據[2,11]進行數值模擬。數值模擬結果表明本文提出的改進的灰色-馬爾柯夫預測模型是有效的。

1 灰色-馬爾柯夫預測模型

1.1 灰色GM(1,1)模型

GM(1,1)模型是最簡單的灰色動態預測模型[4-6]，它的建模原理及過程如下所述。

(1)

其中a和u是需由x(1)來確定的參數。對式(1)中的方程兩邊在[k,k+1]上積分得

(2)

顯然，x(1)(k+1)-x(1)(k)=x(0)(k+1)，于是式(2)等價為

(3)

當k取從1到n-1時，則得超定方程組

(4)

(5)

于是，得到GM(1,1)預測模型為

(6)

1.2 馬爾柯夫預測模型

設{Yn,n=0,1,2,…}是一個離散型隨機變量序列，且Yn所可能取值屬于E，而E是個包含有限個元素的集合,在此即為有限個狀態的集合。如果Yn+1的條件概率只依賴于Yn的值，即P(Yn+1=in+1|Yn=in，Yn-1=in-1,…,Y0=i0)=P(Yn+1=in+1|Yn=in)，則稱該隨機過程是個有限狀態的馬爾柯夫鏈[7-8]。在描述馬爾柯夫鏈的概率分布時，最重要的是條件概率pij(k)=P(Yk+1=j|Yk=i)，它表示在時刻k時Yk取i值的條件下，在下一時刻Yk+1取j值的概率，一般稱pij(k)為k時刻的一步轉移概率。若隨機變量從i狀態轉移到j狀態的條件概率與時刻k無關，即pij(k)=P(Yk+1=j|Yk=i)pij，則稱其為齊次馬爾柯夫鏈。

設P為齊次馬爾柯夫鏈的一步轉移概率pij的矩陣，即

(7)

1.3 灰色-馬爾柯夫預測模型

(8)

1.4 改進的灰色-馬爾柯夫預測模型

為進一步提高預測精度，本文提出以下改進的灰色-馬爾柯夫預測模型，即取

(9)

為x(0)(k)的新擬合值和預測值，其中β0,β1,β2,β3,β4,β5為待定參數。在下面對心血管病死亡率的預測中，利用MATLAB軟件中函數regress直接計算出β0,β1,β2,β3,β4,β5，使用格式為：

b= regress(y,A,alpha)，

其中y為原始數據x(0)(k)，A為對應于回歸系數β0,β1,β2,β3,β4,β5的矩陣，alpha為置信水平α(缺省時α=0.05)；輸出b是一個六維列向量，它的分量分別是β0,β1,β2,β3,β4,β5的計算值。

1.5 狀態劃分的計算方法

為給出灰色-馬爾柯夫預測模型中狀態劃分，先給出中心趨勢曲線的定義。

成立，則稱F(k)為原始數據的中心趨勢曲線。

2 心血管病死亡率的灰色-馬爾柯夫預測

本文分別選取1991—2018年農村與城市心血管死亡率[2,11]作為預測對象，其中1991—2016年的數據作為原始數據來建立灰色-馬爾柯夫鏈預測模型，2017年、2018年的數據作為預測樣本數據，從而觀察預測效果。

首先，在方程組(4)中代入1991—2016年的數據，求得方程組(4)的最小二乘解。于是，得到農村、城市心血管病死亡率的灰色GM(1,1)預測模型分別為：

改進的灰色-馬爾柯夫模型的預測效果見圖1，其與GM(1,1)模型預測的對比以及精度檢驗見表1。

(a)農村心血管病死亡率 (b)城市心血管病死亡率

表1 改進的灰色-馬爾柯夫模型與GM(1,1)模型擬合結果以及精度檢驗

表1 (續)

根據表2[5]中的精度檢驗分級標準及表1、表3中的計算結果，可知本文提出的改進的灰色-馬爾柯夫與模型能很好地對心血管病死亡率進行預測，且對農村心血管病死亡率的預測具有更好的結果，其中原因可能是城市心血管病死亡率在2002年較其他年份非常低而導致模型的精度偏弱。

表2 精度檢驗分級標準

表3 改進的灰色-馬爾柯夫模型與GM(1,1)模型預測結果

3 結論

本文針對1991-2018年農村與城市心血管病死亡率的統計數據，選用灰色-馬爾柯夫模型來對其進行預測，提出了一種改進的灰色-馬爾柯夫心血管病死亡率預測模型，數值模擬結果表明改進的灰色-馬爾柯夫預測模型是有效的，特別是對當前農村心血管病死亡率的預測，這將有利于預防和指導心血管病防治公共衛生事業的發展。實際上，心血管病與高血壓、血脂異常、空氣污染等許多因素有關，如何建立心血管病事件與重要因素之間因果關系，從而建立更好的預測模型是需要繼續深入研究的。