斜坡地基樁前土抗力的應變楔模型修正

彭文哲，趙明華，楊超煒，劉亞楠

(湖南大學巖土工程研究所，湖南長沙，410082)

樁基礎被廣泛應用于公路橋梁或半路半橋的建設，以減少橋面(路面)不均勻沉降，但橋梁樁基不可避免地承受車輛制動引起的水平荷載。此外，對山區的橋梁樁基[1-2]設計必須考慮陡坡效應即樁前土抗力的折減效應。對斜坡地基水平受荷樁的樁前土抗力的研究具有較強的理論價值和實用價值。目前，樁前土抗力最常用的理論分析方法主要有彈性地基反力法(BEF, beam on elastic foundation method)、地基土抗力p-水平位移y曲線法及應變楔方法(strain wedge technique)[3-9]。應變楔方法不依賴基于現場試驗的經驗參數，是一維BEF 法在三維空間的拓展，不但可以考慮土體的連續性，而且可以考慮樁頂約束條件、樁身材料、截面形狀及抗彎剛度等基樁特性。NORRIS[3]提出應變楔的概念，并假定基樁產生線性變形，將其用于分析水平受荷樁的樁前土抗力分布形式；ASHOUR 等[4-5]將應變楔方法用于分析成層土中水平受荷單樁及群樁的受力特性；李忠誠等[6-7]對應變楔方法進行了應用或修正；XU等[8]采用Duncan-Chang 模型而非Mohr-Coulomb 模型描述應變楔中的應力-應變關系；楊曉峰等[9]引入雙曲線描述砂土的應力-應變關系，研究基樁的非線性變形情況(本文亦可考慮基樁非線性變形)。然而，以上研究方法均針對平地上水平受荷樁進行分析，難以完全適用于斜坡地基樁前土抗力的分析。與平地地基相比，斜坡地基上的樁前土抗力需考慮折減效應，常用的折減方法一般是基于試驗及數值模擬對平地上的地基反力系數[10-13](國內)或p-y曲線[14-18](國外)進行一定折減。楊明輝[10]認為斜坡地基一定深度內土體僅能提供有限的抗力，在外力荷載作用下，邊坡極不穩定，因而，應對樁前土抗力進行一定程度折減或者忽略。我國JTG D63—2007[11]建議斜坡地基條件下地基比例系數m 應取相應平地地基m 的一半；劉茲勝等[12]基于室內模型試驗，提出了不同斜坡坡度下地基反力系數的修正公式；尹平保等[13]通過斜坡地基上剛性樁水平載荷模型試驗，研究了斜坡的空間效應。MEZAZIGH 等[14]通過離心試驗，探究了土體性質及邊坡坡度對干砂中p-y 曲線的影響。此后，基于足尺水平載荷試驗，MIRZOYAN 等[15-16]提出了相對于平地地基樁前土抗力的折減系數，以量化邊坡中p-y曲線的折減效應。CHAE等[17]基于原型及模型試驗，通過三維彈塑性有限元法分析了砂質邊坡對樁前土抗力的折減效應；LIYANAPATHIRANA 等[18]基于離心試驗，通過三維有限元方法研究了斜坡地基中退化的p-y曲線。目前，人們對斜坡地基樁前土抗力的理論方法研究較少，GABR等[19]基于靜力平衡條件推導了無黏性土與黏性土的斜坡地基上剛性墩水平承載力的理論解，但并不完全適用于柔性樁(或半柔性樁)。為此，本文作者提出一種分析斜坡地基樁前土抗力的理論分析方法，其思路為：1)借鑒斜坡地基水平極限承載力模型[19]，對平地地基應變楔模型[3-9]進行改進，提出斜坡地基樁前土體的三維土楔模型，并將其考慮為3個發展階段，以對應不同的水平荷載情況；2)將三維土楔模型分為上、下兩部分，針對不同的應力邊界條件，分別提出對應計算方法；3)在推導上部土楔的樁前土抗力計算公式的同時，討論斜坡地基下部修正應變楔與平地地基應變楔的區別，并通過模型試驗及工程實例進行驗證；4) 基于本文理論方法，分析斜坡地基樁前土抗力的影響因素，以期完善斜坡地基上樁基設計的理論研究。

1 斜坡地基樁前土楔模型

圖1及圖2所示分別為平地地基應變楔模型及修正后的斜坡地基樁前土楔模型。

圖1 平地地基應變楔模型Fig.1 Strain wedge model in level ground

圖1 及圖2 中：h 為應變楔深度；zi為土層深度；D為方樁邊長或圓樁截面內接正方形邊長；φm為應變楔傘角；βm為應變楔底角(βm=45°+φm/2)；θ為邊坡坡角。

圖2 斜坡地基樁前土楔Fig.2 Soil wedge in front of piles in sloping ground

如圖2所示，以B0C0所在水平面為界，將斜坡地基樁前土楔分為2部分，即上部土楔(B0C0水平面以上)及下部修正應變楔(B0C0水平面以下)。其中，下部修正應變楔的土抗力計算方法及應力-應變關系與平地地基應變楔模型相同[3-9]。本文討論下部修正應變楔與平地地基應變楔的區別。

在討論下部修正應變楔時，仍引入應力水平(SL, stress level)表征應變楔中土體強度的發揮程度[3]；討論上部土楔時，引入摩擦因數發揮值αSL表征上部土楔土體強度發揮程度。基于此，進行如下假定。

1)上部土楔在位移方向沒有水平支撐，使各土層滿足受力平衡的抗力主要由土層上、下表面摩擦力之差、側向摩擦力及樁側剪應力組成；上、下表面摩擦力與上部土體重力、摩擦因數及αSL呈線性相關；側向摩擦力與正壓力、摩擦因數及αSL呈線性相關，并認為正壓力可近似取靜止土壓力[19]。

2)下部修正應變楔的樁前土抗力計算方法與平地地基應變楔模型的主要區別在于：考慮應變楔土體應力狀態時，需將上部土體自重折算成均布荷載q(見圖3(b)及圖3(c))。

3) 斜坡地基樁前土楔存在如下3 個發展階段(見圖3)：當水平荷載較小時，只有一定深度內的上部土楔發揮作用，下部尚未形成應變楔(圖3(a))；隨著水平荷載逐漸增大，下部形成應變楔，且應變楔深度隨著荷載增大而增大(圖3(b))；當水平荷載增大至某一值時，上部土楔土體強度完全發揮，應變楔深度繼續增大，樁前土體會出現多層應變楔(圖3(c))。ASHOUR 等[5]考慮成層地基中土體性質的變化對應變楔模型進行分層，在不同土體分界面處分層，而斜坡地基中出現的多層應變楔通過幾何關系劃分在應變楔底面與坡面相交處分層，如圖3(c)所示。圖3 中：Z0和Z1分別為各層下部修正應變楔頂面到樁頂的垂直距離；Y0為下部修正應變楔與坡面相交線到基樁的水平距離；γ為樁周土體重度；q為上部土體自重折算出的均布荷載。

4)對于下部修正應變楔，采用的土體破壞準則為Mohr-Coulomb 準則，黏聚力將在計算內摩擦角發揮值時予以考慮[20]，見圖4；對于上部土楔，不單獨考慮其內摩擦角及黏聚力，而是視斜坡土質情況，引入摩擦因數μ[21]。圖4中，c和φ分別為土體黏聚力及內摩擦角；cm為圖4(a)中內摩擦角未充分發揮時抗剪強度包絡線與豎軸交點處的黏聚力；σv0及σ′v0分別為最小主應力及對應的有效應力；Δu為孔隙水壓力。

圖3 斜坡地基樁前土楔的3個發展階段Fig.3 Three development stages of soil wedge in front of piles in sloping ground

圖4 摩爾庫侖破壞準則及內摩擦角發揮值φmFig.4 Mohr-Coulomb failure criterion and mobilized effective friction angle φm

2 樁前土抗力計算

2.1 下部修正應變楔

下部修正應變楔的受力分析如圖5 所示，其中，dz 為各土層厚度，σvi為第i 層土的豎向應力，Δσi為水平應力增量。

各土層的應力狀態見圖6，下部修正應變楔任意土層i 均滿足平衡方程式(1)。需注意的是，圖6中φm實際為樁側壓力擴散角，因應變楔方法假定其與內摩擦角發揮值在數值上相等，故二者均采用φm來表示。

式中：p(zi)為zi深度處的樁前土抗力；Li為土層i的應變楔邊界BC的長度，可根據應變楔的三維幾何關系求得；τ 為樁側剪應力[8]；S1和S2為樁形系數，當樁界面為方形時，S1和S2均為1.0，當樁截面為圓形時，S1和S2分別為0.75和0.50[22]。

Δσi與其深度zi及內摩擦角發揮值φm有關：

圖5 下部修正應變楔受力分析Fig.5 Force analysis for modified lower strain wedge

豎向應力σvi的計算需要分情況討論：1)僅有1層應變楔(第二階段)；2) 出現多層應變楔(第三階段)。

在第一種情況下，σvi的計算公式為

圖6 各土層的應力狀態Fig.6 Stress state of sublayers

在第二種情況下，σvi的計算公式為

式中：Zi及Zi-1分別為深度zi對應楔層的頂部及底部深度。

為便于計算式(1)中非極限狀態下樁側剪應力τ，NORRIS等[3-9]給出如下計算式：

式中：φs和Cs分別為樁-土界面摩擦角及黏聚力。當樁周土體為砂土時，選用式(5)中第一個公式計算；當樁周土體為一般黏性土時，選用式(5)中第二個公式計算。

2.2 上部土楔

采用水平條分法分析上部土楔的受力情況，如圖7 所示。圖7 中，τ(zi)為土層i 的下表面摩擦力，τ(zi-1)為土層i的上表面摩擦力。

圖7 上部土楔Fig.7 Upper soil wedge

2.2.1 上、下表面摩擦力

自樁頂至B0C0面，取深度zi處土層分析其上下表面摩擦力，如圖8所示。

基于假定3)，深度zi處土層上表面摩擦力合力ViU可寫為

式中：μ 為摩擦因數，可根據斜坡土質情況取值[21]；摩擦因數發揮值αSL在0～1 之間取值(當αSL=0，表明土體尚未承受荷載；當αSL=1，表明上部土楔處于極限平衡狀態)。同理，深度zi處土層下表面摩擦力合力ViD可寫為

2.2.2 側向摩擦力

上部土楔的側向摩擦力τ1及樁側剪應力τ 如圖9所示。其中，σ1為上部土楔側面的法向應力。

圖9 側向摩擦力及樁側剪應力Fig.9 Side friction in upper soil wedge and pile side friction

基于假定4)，可推導上部土楔中i層土的側向摩擦力τi1及法向摩擦力σi1為：

式中：K0為靜止土壓力系數。結合式(8)及式(9)，可推導側向摩擦力合力Vi1為

2.2.3 樁側剪應力

樁側剪應力合力Vi2為[4-7]

2.2.4 上部土楔樁前土抗力的確定

由假定2) 可知，上部土楔樁前土抗力pi主要由土層上、下表面摩擦力之差、側向摩擦力及樁側剪應力組成，即

將式(6)，(7)，(10)和(11)代入式(12)，略去二階微分，可簡化得

考慮到樁前土抗力沿樁身分布是連續的，故摩擦因數發揮值αSL可通過聯立式(1)和式(13)求解：

式中：Zn-1為下部修正應變楔與上部土楔的分界面所處深度；n 為應變楔層數；p(Zn-1)lower為通過下部修正應變楔計算得到的Zn-1處樁前土抗力；pn-1,upper為通過上部土楔計算得到的Zn-1處樁前土抗力。

3 算例驗證

3.1 模型試驗

為驗證本文理論的正確性，引入BEGUM等[23]的模型試驗。模型實驗尺寸如圖10 所示。模型樁為的鋁合金管樁，外徑為25.4 mm，壁厚為1.00 mm，樁身入土深度6.87 m，高出地面0.75 m；砂土為中密狀態(密實度Dr=45%)。采用有限元軟件ABAQUS 分別建立水平地面及斜坡(1V:2H，即斜坡垂直方向投影長度與水平方向長度之比為1:2)這2種情況下的三維模型。樁體混凝土采用線彈性模型模擬，土體采用Mohr-Coulomb 彈塑性模型模擬。網格劃分時，樁體與土體均采用C3D8R 單元模擬，樁土摩擦因數取tan(0.75φ)。樁土基本參數如表1所示。

圖11 所示為水平地面及斜坡(1V:2H)這2 種情況下的水平荷載-樁頂位移曲線。

圖10 模型試驗尺寸Fig.10 Dimensions of model test

表1 模型試驗樁-土基本參數Table 1 Parameters of the soil and piles in model test

圖11 模型試驗實測值與ABAQUS及本文模型計算值對比Fig.11 Comparison of measured value and predicted results from ABAQUS and the proposed model

由圖11 可知：本文有限元分析得出的樁頂水平位移變化曲線及本文理論計算值與模型試驗實測值具有相同的變化趨勢，且吻合較好，說明采用本文有限元分析方法及斜坡地基修正應變楔模型分析斜坡地基水平受荷樁是可行的。

3.2 數值驗證

為進一步驗證本文理論的合理性，引入湖南省張花(張家界—花垣)高速公路泗溪河一橋某岸坡基樁建立數值模型進行驗證。基樁所處邊坡坡度為40°～50°，該基樁底部嵌入穩定基巖，上覆土體為碎石、卵石及強風化—中風化砂巖。根據尹平保等[13]提供的模型試驗尺寸及相似比建立對應的三維有限元分析模型，如圖12所示。基本參數如下：樁徑D=2 m，樁長L=18 m，考慮嵌入穩定基巖段長度為3.6 m，邊坡坡度取為45°。樁體混凝土采用線彈性模擬，土體采用Mohr-Coulomb 模型模擬，網格劃分時，樁體與土體均采用C3D8R單元模擬，樁土摩擦因數取tan(0.75φ)。建模時采用的樁土基本參數如表2所示。

圖12 原型試驗示意圖Fig.12 Schematic diagrams of prototype test

表2 樁土基本參數Table 2 Parameters of soil and pile

本文擬通過樁頂水平位移來簡化區分樁前土楔的發展階段，根據有限元模擬結果，樁頂承受的水平荷載如下：較小荷載為50，75，100 和125 kN，對應樁頂水平位移小于1 mm；較大荷載為200，400，600，800 和1 000 kN，對應樁頂水平位移為1～10 mm。

根據前面推導公式，計算不同水平荷載H 的斜坡地基樁前土抗力，將本文理論計算結果與有限元模型模擬值進行對比，對比結果分別如圖13和圖14所示。

圖13 較小水平荷載下數值模擬值與本文理論計算值對比Fig.13 Comparisons of the predicted results calculated by ABAQUS and the suggested model under small lateral loads

由圖13 可知：當水平荷載較小時，數值模型中一定深度內的斜坡地基土抗力與本文計算值較吻合，與圖3(a)中第一階段的計算模型計算結果相符。

由圖14 可知：當水平荷載較大時，由本文土楔模型試算得出的樁前土抗力與有限元計算值具有相同的變化趨勢，且吻合程度較高；同時，隨著水平荷載增大，應變楔深度不斷增大。由圖14及樁-坡幾何位置可知：當荷載由200 kN 增加到1 000 kN 時，應變楔層數也不斷增加；當荷載為1 000 kN時，已出現4層應變楔，與第二和第三階段的計算模型相符，說明本文計算模型用于分析斜坡地基樁前土抗力是合理的。綜上可知，通過樁頂水平位移簡化區分樁前土楔的發展階段是可行的。

圖14 較大水平荷載下數值模擬值與本文理論計算值對比Fig.14 Comparisons of the predicted results calculated by ABAQUS and the suggested model under large lateral loads

4 影響因素分析

上部土楔摩擦因數發揮值αSL及下部修正應變楔內摩擦角發揮值φm隨樁頂水平荷載的變化趨勢見圖15和圖16。其中，圖15所示為第一階段的上部土楔摩擦因數發揮值αSL的變化趨勢，圖16所示為第二、三階段的下部修正應變楔內摩擦角發揮值φm的變化趨勢。

圖15 摩擦因數發揮值αSL與水平荷載H的關系Fig.15 Relationship between extent of friction coefficient αSLand lateral loads H

圖16 內摩擦角發揮值φm與水平荷載H的關系Fig.16 Relationship between extent of internal friction angle φmand lateral loads H

由圖15 可知：隨著水平荷載H 不斷增大，摩擦因數發揮值αSL也隨之增大，近似呈非線性增大，增大速度逐漸加快。其主要是：上部土楔沒有側向支撐，在水平荷載作用下易處于不穩定狀態。

由圖16 可知：隨著水平荷載H 不斷增大，斜坡地基樁前土抗力在不斷增大的同時，內摩擦角發揮值φm不斷增大，近似呈非線性增大，增長速度逐漸變慢。其原因主要是：下部修正應變楔有坡體支撐，水平荷載在增大的同時，應變楔深度增大，參與發揮作用的土體增多。

為在后續研究中，不必通過數值模擬或理論計算便可以直接預估摩擦因數發揮值αSL和內摩擦角發揮值φm的參考值，以期為樁土參數相似的同類工程下土抗力的確定提供參考。本文通過對圖15 和圖16 進行擬合，以定量分析內摩擦因素揮發值和內摩擦角發揮值兩者與水平荷載H的關系。

摩擦因數發揮值αSL與水平荷載H 之間的擬合關系如下：

內摩擦角發揮值φm與水平荷載H 之間的擬合關系如下：

式(15)及(16)中，H 的適用范圍分別為0～200 kN 與200～1 000 kN。通過綜合考慮以上擬合公式，可在樁土參數相似的同類工程下預估摩擦因數發揮值αSL和內摩擦角發揮值φm的參考值。

5 結論

1) 斜坡地基上水平受荷樁的三維土楔模型，可以考慮為3 個發展階段；通過修正應變楔理論，提出了適用于斜坡地基的應變楔計算方法，并引入模型試驗及工程實例，分別驗證了本文有限元分析及理論計算模型的合理性。

2) 在樁前土楔發展的第一階段，水平荷載H不斷增大，摩擦因數發揮值αSL近似呈非線性增大。在第二和第三階段，內摩擦角發揮值φm近似呈非線性增大。

3)為在后續研究中，不必通過數值模擬或理論計算而可以直接預估摩擦因數發揮值αSL和內摩擦角發揮值φm的參考值，通過擬合曲線二者與水平荷載H 的關系，可為樁土參數相似的同類工程下土抗力的確定提供參考。