用Excel求二元非理想體系精餾塔理論塔板數通用方法分析研究

王菁 楊智勇

摘 ? ? ?要：介紹了用Excel計算和圖表功能，是對二元非理想體系進行逐板計算法和圖解法相結合求精餾塔理論塔板數的一種新方法。對方法中的關鍵問題如曲線擬合和單變量求解等進行了具體分析和說明。計算方法簡單實用，無須編程。經實例驗證結果準確，具有實用性和一般性。

關 ?鍵 ?詞：精餾塔;理論塔板數;逐板計算法;圖解法;非理想體系

中圖分類號：TQ028.1 ? ? 文獻標識碼： A ? ? ? 文章編號： 1671-0460（2020）04-0704-07

Abstract： A new method for calculating the theoretical number of distillation columns in a binary non-ideal system by combining the plate-by-plate method and the graphic method with the Excel calculation and chart functions was introduced. The key problems in the method， such as curve fitting and univariate solving， were specifically analyzed and explained. The calculation method is simple and practical. The results of the examples have verified the accuracy， practicality and generality of the method.

Key words： Rectification tower; Theoretical plate number; Plate-by-plate calculation method; Graphical method; Non-ideal system

化工原理是過程工程類專業（包括化工、制藥、輕化工程等）的一門專業基礎課程和主干核心課程[1]。精餾是化工原理中最重要的傳質分離單元操作之一，也是化工生產中最普遍使用的分離工藝過程。主要用于液體均相混合物的高純度分離。具有概念多、公式多、計算過程復雜、工程概念強等特點。對培養學生運用理論知識解決實際工程問題的能力有重要作用。盡管目前分離液體混合物的新技術、新方法層出不窮。精餾過程仍是其最重要的手段，精餾理論、精餾塔的優化設計和迅速、準確、可靠地自動控制等問題仍然是化學工程領域研究的重點，也是化工原理教學中的重點和難點。

對精餾過程進行設計或操作計算，精餾塔理論塔板數的計算都十分重要[2]。

在傳統的教材[3-6]中，若物系符合恒摩爾流假定，操作線為直線，可用圖解法或逐板計算法求取理論板數及理論加料位置，如用圖解法，為了得到較準確的結果，應采取適當比例的圖。當分離要求較高時，應將平衡線的兩端局部放大，以減小作圖誤差。當分離物系的相對揮發度較小，或分離要求較高，操作線和平衡線就比較接近，所需的理論板數就較多。若用圖解法不易得到準確的結果，應用逐板計算法進行計算。在此種情況下應特別注意相平衡數據的精度，數據的微小差別也會造成理論板數的很大誤差。對于非恒摩爾流物系，求取精餾塔理論塔板數，需用焓濃圖進行求解。逐板計算法可以得到每一塊理論塔板上的氣液組成，為精餾塔的設計和控制提供準確、詳細的數據依據;計算結果準確度高，且能確定理論塔板數和加料板位置[7]。但手工逐板計算過程繁瑣，工作量大且復雜，容易出錯，操作十分不便。而且條件一旦改變，就只能重新計算。理論塔板數的求解法也可運用圖解法，此法非常簡單、直觀，但當塔板數較多時，計算結果誤差較大且不易準確[6]。雖然圖解法非常直觀、簡便，但當理論塔板數較多時，圖解則不易準確，誤差較大，而且圖解法提供的數據結果十分有限。手工圖解法準確性較差，采用手工計算只能解決小規模問題，難以達到較好的教學效果。

隨著計算和信息技術的發展，精餾計算已經擺脫了手工計算、圖解方法。許多研究者采用不同的計算機軟件進行精餾的計算、圖解研究。涉及逐板計算法的有從最初使用的Fortran[8]到Basic[9]、C++[10]、MathCAD[11]、MATLAB[1]、Mathematica[12]、Maple[13]、VB[6]、等，其中計算周期長、程序龐大、運行結果不直觀都是使用計算機程序存在的問題[1]。

涉及圖解法計算精餾塔理論塔板數的方法有：使用AutoCAD[14]、MATLAB[15]、Excel[2]、origin[16]以及自行設計軟件等，大多只能進行理想體系的圖解，只能得到較少的理論板數的信息，很少有將逐板和圖解兩者結合，既保留圖解法的直觀效果，可以在圖中查出每塊塔板上氣液相的組成，又可直觀的找到加料板位置和理論塔板數[17]。

1 ?原理和步驟

1.1 ?有關方程

在精餾塔計算中，對于設計型計算，需要氣液相平衡關系圖，其圖的準確性直接影響設計結果。一般情況下需在物性手冊里，查出某一溫度t下輕組分和重組分的飽和蒸汽壓，根據安托因公式算出氣液相組成，通過描點法得出氣液相關系圖。因此對非理想物系不論是逐板計算法還是圖解法，都必須首先得到氣液相平衡關系的具體的函數表達式即相平衡方程。

最好利用專門的非線性方程求解數值進行計算來解決這一問題，Excel中內嵌入的非線性方程求解的方法收斂迅速，但對初值要求較高。在單變量求解功能中給出。

1.3 ?圖解法求理論板數的過程

逐板計算氣液相組成可以在Excel工作表中完成，然后把計算結果，列入Excel中，用其圖表功能完成制圖。平衡線、操作線和階梯是圖解法求精餾塔理論板數到多步繪圖的關鍵[1]，圖表曲線有6個系列，分別為x-y氣液平衡線、對角線、精餾段操作線、提餾段操作線、q線和表示塔板的梯級線。在利用Excel進行非理想體系的精餾理論板數的求解過程，實際上是圖解過程和逐板計算過程交替進行，相互依賴。下面以乙醇-水混合液精餾過程理論板數計算和圖解為例進行具體說明。

設計任務或主要技術指標：在一常壓操作的連續精餾塔內分離乙醇-水混合液。年產0.8萬t，組成為40%（乙醇的摩爾分數，以下同），要求塔頂餾出液的組成為0.94，乙醇回收率為99%。進料溫度為30 ℃。操作壓力（塔頂常壓），進料熱狀況泡點進料，回流比自選。

1.3.1 ?氣液相平衡數據（見表1、表2）

1.3.2 ?具體操作步驟

（1）根據表一、表二的相平衡數據在Excel中繪制t-x-y散點圖和x-y散點圖。如圖1-2所示。

若已知回流比時，可以直接根據R和xD求出精餾段操作線，提餾段操作線。若回流比未知，應首先求出加料線與氣液平衡線交點的坐標，計算最小回流比Rmin[6，19]，根據實際回流比與最小回流比的比值計算出實際回流比。在本例中給出具體求非理想物系最小回流比的一種方法。

（2）對于理想物系的情況中，通過求解出進料方程與平衡關系方程的交點即挾點e（xe，ye）即可得到最小回流比。而非理想物系的情況中，平衡線出現明顯下凹時，在操作線與加料線的交點尚未落在平衡線上之前，精餾段操作線或提餾段操作線就有可能與平衡線在某點相切，這時切點即為挾緊點，其對應的回流比即為最小回流比Rmin。

因而，對于非理想物系求解最回流比，關鍵是找出挾緊點e（xe，ye）坐標[20]。在本例中，挾點在精餾段操作線與平衡線的切點上。求最小回流比Rmin的方法是在x-y圖上，過點（0.894，0.894）做相平衡曲線的切線，與y軸的交點為（0，0.210 85），則

如前所述方法逐板計算。由于相平衡曲線擬合為6次的多項式，由氣相組成計算液相平衡組成實際是解6次的非線性方程問題。該問題的難點在于初值的選擇很重要，否則很難收斂。許多研究者在編程解決此問題時，一般選擇一元三點插值多項式或選擇分段函數進行曲線擬合的方式，使最高冪次降低到3次。由于已有了相平衡的實驗點，對于氣液相組成我們已可以在較窄的區間范圍進行試差，使用Excel的單變量求解功能計算液相平衡組成。

a）在Excel中新建一個工作簿，在sheet1（工作表）中輸入表1乙醇-水氣液相平衡組成如A、B列數據所示，在C列列出對角線數據。D、E、F列分別輸入精餾段、提餾段、擬合的6次多項式氣液平衡方程，利用Excel填充柄功能可以快速完成此三條線的相關計算，為逐板計算和圖解理論板奠定基礎。具體結果如圖3所示的工作表格截圖。

b）以A、B列數據為基礎，在Excel菜單“插入”中選擇“圖表”中的散點圖如圖3（a）所示，選擇“帶光滑曲線和數據標記的散點圖”（b）所示，做如圖3所示的氣液相平衡圖，在圖中右鍵點擊氣相線，選擇“設置趨勢線格式”圖（c）所示，擬合出圖4所示的乙醇-水非理想體系氣液相平衡函數關系式。在此基礎上，在散點圖中點擊右鍵選擇“選擇數據”出現“選擇數據源”對話框，如圖d所示，按此操作即可在圖4上做出對角線。

將圖2中數據作圖得x-y曲線。在Excel中點擊該曲線選擇添加趨勢線，選擇多項式，當多項式次數選擇為6次時，擬合效果最好。該曲線擬合成下式表達：

y = -68.592x6+208.22x5-248.12x4+147.6x3

-45.865x2+7.448 9x+0.026 7

c）在完成圖5的各項計算基礎上，可以進行圖6的逐板計算。根據逐板計算的方法，首先若塔頂為全凝器，則xD=y1，代入擬合的氣液平衡方程中，用Excel單變量求解功能，進行非線性方程求解液相平衡組成x1。這里初值的選擇非常重要，否則會不收斂。

具體做法是選擇目標單元格和可變單元格，輸入擬合的6次多項式的函數式，在Excel工作表中菜單選擇“數據”中的“模擬分析”如圖所示，選擇單變量求解，輸入相關單元格和目標值，本例中目標單元格的目標值為xD=y1=0.859 7，確定后即可算出x1。代入精餾段操作線方程即可算出y2，再以下一組單元格作為目標單元格和可變單元格，輸入擬合的6次多項式的函數式：

=-68.42 A631+207.74 A531-247.64 A431+147.38 A3311-45.822 A231+7.446 7 A31+0.026 7

式中：A31 —A31單元格的變量輸入值。

目標值輸入y2的值，確定后即可算出x2，以此交替使用相平衡線和精餾段操作線，至入口進料濃度后轉向提餾段操作線和相平衡線進行計算。繼續重復計算，直到xN≤xW為止。計算過程如圖8（a、b、c）所示。

d）每個梯級包括一個水平線段和一個垂直線段。水平線段氣相線值相同，垂直線段是液相線的值相等。根據這個特點在完成圖6的逐板計算后，將每塊塔板的氣液相組成進行如圖7所示的排列，為進行畫梯級做準備。

e）在圖4上繼續點擊右鍵，選擇“選擇數據”出現“選擇數據源”對話框，按此操作選擇“添加”按鈕，完成精提餾段數據選定，即可在散點圖上畫出此兩條直線。至此已繪制完成了相平衡線、對角線、求最小回流比的切線、精餾段和提餾段的操作線。在圖7基礎上進行梯級的繪制過程。同樣重復在圖上點擊右鍵，選擇“選擇數據”出現“選擇數據源”對話框，按此操作選擇“添加”按鈕，如圖9所示，完成圖7所示的27組坐標點-線段選擇添加，即可完成整個圖解過程。結果如圖10所示。

通過逐板和圖解相結合，利用Excel的計算和圖表功能，最大的特點是不需要復雜的編程完成復雜和繁瑣的逐板迭代計算完成了非理想體系的理論板計算和圖解問題。該法具有一定的通用性。在本例中的具體計算結果如表3所示。

2 ?說明及結果討論

（1）對于理想的二元物系，有固定的相對揮發度，即有固定形式的相平衡方程對于非理想的二元物系，相對揮發度不再是定值，即沒有固定形式的相平衡方程，需要用若干個氣液平衡數據擬合平衡關系式。其實，二元理想物系的情況可以看成是二元非理想物系里的一種特殊情況。

對于非理想物系的情況在擬合氣液平衡數據關系時如果用多項式擬合，多項式的次數選擇很重要。從圖11可以看出，6次多項式擬合的效果最好。3次和4次誤差較大，時景榮等[2]給出用Excel圖解法求精餾塔理論塔板數的通用程序，用VBA編程的方法完成理論塔板數的計算。曾討論認為用5階多項式擬合將在x值低時震蕩而失敗，用4階多項式擬合也產生很大的偏差，梯級線與氣液平衡線產生一定的偏離，認為選擇一元三點插值多項式擬合編程效果較好。而本法不采用編程方式完成多項式方程的求根問題，采用圖5-6的計算數據可以縮小估計初值的區間，從而使求根區間在很小的范圍內搜索，不會造成發散情況的發生。

回流比是精餾的核心，因此，確定最小回流比Rmin有重要的意義。這在很多文獻中涉及到[6，21]。本例乙醇-水非理想體系平衡線的特點，采用切線方式解決Rmin的確定。用試差方法獲得切點（挾點）位置。因切點同時滿足切線方程和擬合多項式方程，試差的準切點（x1，y1）與（xD，xD）做直線方程，若y1值與x1代入擬合多項式（相平衡方程）計算值相等，即可確認挾點位置，所求直線則為切線。若不等，則另試取x2（根據x1的值確定搜索方向和步長）則根據多項式計算的值y2與直線方程計算的值比較后判定是否滿足條件。很容易確定此切線。

在進行理論板圖解過程中，非理想體系的相平衡線和對角線非常接近的情況下，繪制梯級非常困難，而通過Excel提供的放大功能，很容易對局部進行放大從而使繪制梯級變得簡單，提高了圖解的精度。

3 ?結論

利用Excel的計算功能，圖表功能，將逐板計算法和圖解法相結合，利用逐板計算法時充分利用Excel的計算擬合功能，避免繁瑣的編程問題，省事省力，方便快捷，計算精度高。同時在逐板計算的基礎上，獲得詳細的精餾塔板的氣液兩相的詳細信息，在此基礎上進行理論板圖解，方便直觀地將逐板計算的結果進行形象地表達，同時又提高了圖解法的精度。該方法具有一般性，能用于解決理想和非理想物系的二元組分的精餾理論塔板數的計算。Excel軟件的普遍應用，為課堂教學和工程計算提供了計算和制圖工具。

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