關于哥德巴赫猜想的探討

程 潔

(中國建筑設計研究院，北京 100044)

0 引言

1742年，哥德巴赫給歐拉的信中曾提出“任意大的一個偶數可寫成為兩個素數之和”的猜想，但他自己不能證明。當時有名的數學家歐拉回信說他也不能證明。后人把此猜想譽為“數學皇冠上的明珠”，成為了歷屆國際數學大會上討論的熱點之一。現在對于哥德巴赫猜想的論證仍然是數學領域未解決的一個難題。

我國著名數學家華羅庚和陳景潤先生都對哥德巴赫猜想進行過論證。陳景潤先生為此付出了一生的心血，得出了“一個偶數可表述為一個素數及一個不超過兩個素數乘積之和”的論證，即“1+2”的論證，這被后世稱為陳氏定理。后來，陳景潤又證明了任何一個足夠大的偶數都可表示成一個素數和一個半素數的和，但最終真正的兩個素數之和的分割公式并未找到。

現有人在4×1018的數值范圍內驗證了哥德巴赫猜想，但并沒有做出更廣泛的論證，也未提出完整的驗證方法。若在數軸上取無窮大值的話，它是奇數？偶數？素數？非素數？這都是不確定的。在不確定的情況下，已無從研究“一個偶數可化為兩個素數之和”這一論證，這時的哥德巴赫猜想已經無意義了，只有在有限值范圍內哥德巴赫猜想才能成立。過去對哥德巴赫猜想的許多論證工作都沒有注意到這一點，現在的論證工作應該考慮猜想的前提條件和適用范圍，如果只從猜想的結論出發，泛泛論證，很難得到一個滿意的答案。每一個真理都有它的前提條件和適用范圍，決不可忽視這一點。

把一個偶數分割成兩個素數之和時，會有多種分法。以48為例，可分割為1+47，也可分割為5+43、7+41、11+37、17+31、19+29等等，但這會為把一個偶數分割為兩個素數之和的工作增加許多困擾，而且用一個分割公式來表達其多解也是不嚴密的。

過去傳統的論證方法墨守成規，多年沒有突破和進展。現在，我國一些著名數學家都認為哥德巴赫猜想是無解的，并作為定理提出來，這是不符合事實的。需解放思想，從多方面考慮思索，另辟蹊徑，尋求新的論證方法。哥德巴赫猜想不是一個不可證的難題，本研究試圖提出一種新的論證方法。

1 新論證方法

哥德巴赫猜想不是在任何情況下都是正確的，只有在有限值內才能成立。因此，先把無窮域的論證排除在外，使論證工作從無界域轉變為有界域。另外，把數的分割工作轉變為數的合成，把復雜高深的數學運算轉變為極簡單的加法運算。

在有限值之內，素數的個數是確定的，其值也是確定的。把這些確定的素數按兩個為一組進行相加，會得到一系列偶數。把所得的全部偶數按其大小排列在一段數軸上，若它們能占滿這段數軸上的全部偶數位置，那么這段數軸上的每個偶數都一一對應了兩個素數之和。所以，在這段數軸上的每個偶數都可以毫無例外地化為兩個素數之和，這說明哥德巴赫猜想是正確的。如果這些偶數不能占滿這段數軸上的全部偶數位置，還有空缺的偶數位置，那么對應于此空缺位置的偶數就不能化為兩個素數之和了，這說明哥德巴赫猜想是不全面的，不能成立的。

2 例題

現取有限值1000來進行研究。

第一步，確定在此定值內的素數，共有167個，分別為：

1，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，127，131，137，139，149，151，157，163，167，173，179，181，191，193，197，199，211，223，227，229，233，239，241，251，257，263，269，271，277，281，283，293，307，311，313，317，331，337，347，349，353，359，367，373，379，383，389，397，401，409，419，421，431，433，439，443，449，457，461，463，467，469，479，487，491，499，503，509，521，541，547，557，563，569，571，577，587，593，599，601，613，617，619，631，641，643，647，653，659，661，673，677，683，691，701，709，719，727，733，739，743，751，757，761，769，773，787，797，809，811，821，823，827，829，839，853，857，859，863，877，881，883，887，907，911，919，929，937，941，947，953，967，971，977，983，991，997。

第二步，把上述素數兩兩相加，簡化成表格：

+135711131719 23…977983991997124681214182024…9789849929983468101416202226…98098699410005810121618222428…982988996712141820242630…98499099811182224283034…988994132426303236…9909961730343640…994100019363842…996234246…………9771000983991997

以上所得的偶數中在1000以內的只有500個。

第三步，把以上所得的500個偶數排列在1000以內的一段數軸上，驗證它們是否占滿了這段數軸上的所有偶數位置。

3 驗證結果

驗證結果表明，這些偶數占滿了這段數軸上的所有偶數位置，沒有空缺。這段數軸上的所有偶數都對應著兩個素數之和，也就是這些偶數都能夠化為兩個素數之和，哥德巴赫猜想得以證實。

4 結語

上述只是一個數值很小的算例，僅用以說明論證方法的思路和步驟，取的有限值越大，素數就會越多，確定素數的工程量也就越大，把這些素數兩兩相加的工作量也會越大，但計算十分簡單，就是加法計算，特別是在具有高速計算機的前提下，無論取的有限值多大，都是可以完成的。此次對哥德巴赫猜想的驗證既滿足數學上的必要條件，又滿足充分條件，從理論上來看是正確的。