基于遺傳算法的模糊內(nèi)模PID控制器優(yōu)化

余 哲 王志國 劉 飛

（江南大學(xué)輕工過程先進控制教育部重點實驗室）

模糊控制具有能夠適用于復(fù)雜工況等特性，在各個領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用［1］。 一個模糊控制系統(tǒng)的控制效果，在一定程度上取決于規(guī)則表的建立和隸屬度函數(shù)的選取，選取得好會使控制系統(tǒng)適應(yīng)復(fù)雜的工業(yè)過程［2］。 傳統(tǒng)選取規(guī)則表的方式，大多是根據(jù)工業(yè)知識、專家經(jīng)驗等，但因為經(jīng)驗的差異性使得規(guī)則表和隸屬度函數(shù)的選取大相徑庭，難以推廣，并且過程繁瑣。 因此，模糊控制領(lǐng)域?qū)W者關(guān)注的重點一般都在如何對模糊規(guī)則和隸屬度函數(shù)進行優(yōu)化上。

Karr C L和Gentry E J早在1993年就進行了隸屬度函數(shù)問題方面的研究，其主要的成果是采用SGA（簡單遺傳算法）對論域中語言變量的模糊集進行重新設(shè)定， 構(gòu)成了自適應(yīng)控制系統(tǒng)［3］。Buckley J J認為可以優(yōu)先確定隸屬度函數(shù)的形狀，如矩形、三角形等，然后對構(gòu)成這些形狀的參數(shù)進行尋優(yōu)［4］。此外，Thrift P則是在固定隸屬度函數(shù)的前提下，對整個模糊規(guī)則庫進行尋優(yōu)［5］。屈文忠和邱陽針對多變量模糊控制系統(tǒng)，提出采用遺傳算法來設(shè)計模糊規(guī)則，這種方法不但適合非常復(fù)雜的控制系統(tǒng)，同時也能提高模糊控制器的魯棒性［6］。張景元通過對遺傳算法的改進，使得模糊控制系統(tǒng)能夠在一定程度上實現(xiàn)規(guī)則表的自適應(yīng)，并且控制效果較理想［7］。董海鷹等的研究則側(cè)重于基于多種群的變論域方面，也實現(xiàn)了模糊規(guī)則的自整定［8］。 以上研究成果的不局限性是在優(yōu)化過程中分別對隸屬度函數(shù)和模糊控制規(guī)則進行單獨處理，沒有考慮到二者之間存在的內(nèi)在聯(lián)系， 割裂后的二者只能代表模糊控制器的一部分，因此上述方法通常只是做到了局部最優(yōu)。 與上述研究不同的是，Homaifar A和McCormick E首次同時考慮隸屬度函數(shù)和規(guī)則表［9］，但是卻沒有考慮到在進化進程中以及初始設(shè)置時可能出現(xiàn)的規(guī)則相互矛盾的問題，并且在整個整定過程中同時有可能出現(xiàn)某些值域沒有被覆蓋的現(xiàn)象，導(dǎo)致產(chǎn)生失控點。

筆者結(jié)合現(xiàn)有的研究成果，兼顧隸屬度函數(shù)和規(guī)則表，提出了一種新的尋優(yōu)算法。 其創(chuàng)新之處在于：將內(nèi)模思想引入模糊控制，僅調(diào)節(jié)濾波器參數(shù)就可以實現(xiàn)對控制回路P、I、D這3個參數(shù)的調(diào)節(jié)；沒有割裂隸屬度函數(shù)和規(guī)則表，在優(yōu)化過程中同時對兩者進行尋優(yōu)，從而實現(xiàn)控制器的整體優(yōu)化；以系統(tǒng)的累積絕對誤差作為算法的適應(yīng)度函數(shù)，與傳統(tǒng)指標(biāo)相比，能夠更好地反映系統(tǒng)的整體性能。

1 內(nèi)模PID控制器原理

考慮如圖1所示的單變量反饋控制回路。

圖1 單變量反饋控制回路結(jié)構(gòu)

圖1中，G（s）和C（s）分別為過程模型和PID控制器，r（t）、e（t）、u（t）和y（t）分別為設(shè)定值、控制誤差、控制輸入信號和輸出信號。

式中 τc1——期望的濾波器時間常數(shù)。

將式（4）中的e-θs用一階泰勒公式逼近，近似為e-θs≈1-θs。 再由圖1可知，當(dāng)期望閉環(huán)傳遞函數(shù)為Cc1（s）并且已知時，考慮過程對象G（s）的模型是二階時滯，則可得控制器C（s）為：

一般而言，τ應(yīng)該大于系統(tǒng)延遲時間θ， 因為當(dāng)τ<θ時，控制回路的響應(yīng)會十分激烈甚至振蕩；當(dāng)τ過大時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)過程會變得遲緩。 綜合考慮系統(tǒng)響應(yīng)的快速性、 魯棒性， 根據(jù)文獻［8］，當(dāng)τ=θ時，系統(tǒng)的性能最為理想。

2 模糊內(nèi)模PID控制器設(shè)計

2.1 控制器介紹

模糊內(nèi)模PID控制的主要思想是通過不同的規(guī)則得到不同的濾波器時間常數(shù)τ， 使得當(dāng)過程模型參數(shù)發(fā)生變化時也能得到較為滿意的控制效果。 其結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 模糊內(nèi)模PID控制回路結(jié)構(gòu)

圖2中，IMC-PID是控制器，F(xiàn)uzzy是模糊控制器，ec（t）是控制誤差的變化率。

筆者建立二維的模糊控制器，分別以控制誤差和控制誤差的變化率作為輸入，把模糊控制器輸出當(dāng)濾波器時間常數(shù)τ的變化， 從而實現(xiàn)對內(nèi)模PID控制器參數(shù)的在線整定。

2.2 控制器設(shè)計

模糊控制器的輸入是控制誤差e（t）和誤差的變化率ec（t），模糊控制器的輸出u（t）則定義為濾波器的增量Δτ。 則實際的濾波器時間常數(shù)為：

式中 τ0——濾波器時間常數(shù)初值。

內(nèi)模控制器的濾波器時間常數(shù)τ的選取決定了系統(tǒng)的魯棒性和動態(tài)穩(wěn)態(tài)特性，因此需要選定合適的值作為初始值，由前文可知，當(dāng)τ=θ時，系統(tǒng)性能最好。 此時對應(yīng)的PID參數(shù)分別為：

模糊控制器的輸入e（t）、ec（t）和輸出u（t）的語言變量分別表示為E、EC和U，它們相應(yīng)的模糊子集如下：

隸屬度函數(shù)是決定系統(tǒng)控制性能好壞的重要因素。 通常，如果在誤差值比較小的情況下，就選擇相對來說比較窄尖的隸屬度函數(shù)；如果誤差值比較大，那么就選擇相對來說比較寬胖的隸屬度函數(shù)。 筆者根據(jù)人為經(jīng)驗選取如圖3所示的初始隸屬度函數(shù)。

圖3 e（t）、ec（t）、u（t）的隸屬度函數(shù)

通過分析可知：τ越小， 系統(tǒng)響應(yīng)速度越快，上升時間越短，但會造成超調(diào)量增大；如果τ取適中，被控對象的響應(yīng)曲線穩(wěn)定平緩上升，不會出現(xiàn)超調(diào)；如果τ過大，則控制器起主要作用的是比例控制， 過強的比例作用使得系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，上升時間大幅增加。 筆者根據(jù)人為經(jīng)驗選定表1所示的模糊規(guī)則表。

表1 模糊內(nèi)模控制器初始模糊規(guī)則表

3 遺傳算法優(yōu)化模糊控制器

合理的規(guī)則表和隸屬度函數(shù)能使系統(tǒng)達到較好的控制效果。 僅僅只優(yōu)化前文所述的規(guī)則表，其解的空間高達55×5，這是一個非常龐大的數(shù)值。 顯然傳統(tǒng)的優(yōu)化方法很難解決解空間太大的問題，需要找到一種能適用于解空間龐大問題的算法。遺傳算法（GA）不失為一種優(yōu)秀的解決此類問題的算法，它是Holland根據(jù)自然界中適者生存的法則和基因遺傳的思想提出的一種優(yōu)化算法。GA算法十分適用于復(fù)雜且解空間巨大的一類問題。 因此筆者選用GA算法作為尋優(yōu)算法，對模糊控制器進行優(yōu)化，尋優(yōu)結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖4 基于GA算法的模糊控制器尋優(yōu)結(jié)構(gòu)

3.1 遺傳編碼

利用遺傳算法對模糊控制器進行整體優(yōu)化，就是要同時考慮隸屬度函數(shù)和規(guī)則表。 首先就是要將隸屬度函數(shù)和規(guī)則表數(shù)字化，從簡便、可操作性方面考慮，筆者直接使用十進制編碼對隸屬度函數(shù)和模糊控制規(guī)則表數(shù)字化。

由上文可知，筆者選取三角形為隸屬度函數(shù)的形狀，因此直接以三角形兩個底邊端點的坐標(biāo)作為編碼尋優(yōu)對象。 以誤差E為例：{NB（-1，an），NS（-1，an，0），ZO（an，0，ap），PS（0，ap，1），PB（ap，1）}，對語言變量誤差變化率EC和控制量U也進行同樣操作。 由以上分析可知，3個隸屬度函數(shù)的待優(yōu)化變量為6個，也就是3個三角形各自的底邊端點，它們的編碼表示為an、bn、cn、ap、bp、cp。

由上文可知， 筆者將模糊控制的效果分為5個等級， 因此首先選定5個整數(shù)來代表模糊語言的5個語言值（NB、NS、ZO、PS、PB）從而達到將模糊控制表數(shù)字化的先決條件。 表1所示的控制規(guī)則表， 其編碼為 {55443 54434 44344 43445 34455}。

將上述兩部分相加， 形成了最終的編碼，該編碼包括了模糊控制器的隸屬度函數(shù)選取和規(guī)則表的制定，示意如下：

可以看出， 該編碼串的前部分為規(guī)則表，由于筆者以二維控制器為例，因此規(guī)則共計5×5=25條，后部分為隸屬度函數(shù)，共計6位編碼，通過對以上共計31位編碼的尋優(yōu)就達到了對模糊控制器的優(yōu)化。

3.2 適應(yīng)度函數(shù)

適應(yīng)度值表示種群個體的優(yōu)劣程度，它是遺傳算法進行的關(guān)鍵點。 在尋優(yōu)過程中希望保存大量優(yōu)秀的個體，快速淘汰劣質(zhì)的個體，也就是適應(yīng)度高的存活概率大， 適應(yīng)度低的存活概率小。同時由實際經(jīng)驗得到，評估系統(tǒng)的性能應(yīng)當(dāng)充分考慮到動態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性， 也就是其響應(yīng)時間、調(diào)節(jié)時間、超調(diào)量及誤差等因素，因此需要找到一個滿足上述要求的性能指標(biāo)。 同時這個遺傳算法要求個體適應(yīng)度越大越好，所以筆者采用系統(tǒng)的累積絕對誤差（IAE）作為性能指標(biāo)，其表達式為：

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3.3 遺傳算子

在自然界中，生物的繁衍進化變異離不開基因的遺傳，遺傳算法很好地體現(xiàn)了這一點，遺傳算法主要通過3種方式——選擇、 交叉和變異來產(chǎn)生新的個體。

選擇。 選擇過程是模擬自然界適者生存的形式， 也就是個體按照他們的適應(yīng)度繁衍的方式。其過程是，通過個體對環(huán)境的不同適應(yīng)程度（由決定，其中n為種群規(guī)模，fi為群體中第i個個體的適應(yīng)度）決定被復(fù)制個體。 因此適應(yīng)度高的個體能夠有較大的概率保存并繁衍下去。

交叉。 與選擇不同，交叉不是將父代基因復(fù)制而是產(chǎn)生新個體的方式，它是通過某種結(jié)合的方式使兩條染色體相互交換某些基因，以此形成新的染色體。 具體可表示如下：變異。 與交叉類似，它也是產(chǎn)生新個體的方式，與交叉不同的是它是在原有染色體的基礎(chǔ)上畸變出原本沒有的基因，形成新的染色體。 具體可表示如下：

通過變異提高遺傳算法的局部搜索能力，同時維持群體的多樣性，也就是充分滿足解的多樣性和全局性，防止出現(xiàn)部分收斂的現(xiàn)象。

3.4 算法操作步驟

基于遺傳算法的模糊控制器尋優(yōu)過程如下：

a. 確定遺傳參數(shù)。 主要包括初始種群、迭代次數(shù)、染色體和變異概率。

b. 計算初始種群的適應(yīng)度總值、平均值和最大值。

c. 選擇。 根據(jù)達爾文的優(yōu)勝劣汰法則，計算出每個個體的適應(yīng)度值和平均適應(yīng)度值的比值，若小于1則拋棄，反之則保留。

d. 交叉。 從父代染色體隨機選取兩條染色體，在隨機位置進行染色體的交換。

e. 變異。產(chǎn)生0～1之間的隨機數(shù)，每次比較隨機數(shù)和設(shè)定的變異概率的大小，若隨機數(shù)小于變異概率，則進行變異操作；若隨機數(shù)大于變異概率，則跳過變異操作。

f. 判斷是否滿足終止條件。 若滿足條件則停止迭代，不滿足條件則繼續(xù)迭代。

g. 在最終的染色體種群中選取適應(yīng)度值最大的染色體，此時，將該染色體反編碼就得到了最優(yōu)的隸屬度函數(shù)和規(guī)則表。

4 仿真實例

對于給定的傳遞函數(shù)：

為驗證筆者所提算法的有效性，利用上述過程對象進行仿真實驗， 采用第3節(jié)所述模糊控制器對它進行控制，采用筆者所提算法對模糊控制器進行優(yōu)化。

初始種群規(guī)模n=10，遺傳代數(shù)P=40，采樣時間T=0.35s，比例因子Ku=Ke=Kec=1。 分別記錄迭代10、20、30次的實驗結(jié)果，其中仿真時間為200s，所有的適應(yīng)度值見表2。

表2 適應(yīng)度值

由表2可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，適應(yīng)度呈遞增狀態(tài)。 這說明，在經(jīng)過30次迭代后取得了較滿意的控制效果。

初始狀態(tài)（未進行優(yōu)化操作）和進化到第10、20、30代時的階躍響應(yīng)曲線如圖5所示。

圖5 不同迭代次數(shù)時系統(tǒng)的響應(yīng)曲線

由圖5可知，采用筆者所述算法優(yōu)化后，系統(tǒng)的控制效果得到明顯提升，超調(diào)量明顯下降，上升時間也減少， 由計算可得系統(tǒng)IAE值也大幅減小。優(yōu)化后的隸屬度函數(shù)如圖6～8所示，規(guī)則見表3。

圖6 優(yōu)化后e（t）的隸屬度函數(shù)

圖7 優(yōu)化后ec（t）的隸屬度函數(shù)

圖8 優(yōu)化后u（t）的隸屬度函數(shù)

表3 最優(yōu)模糊規(guī)則表

5 結(jié)束語

為了擺脫人為經(jīng)驗對模糊規(guī)則和隸屬度函數(shù)確定的局限性，筆者提出了一種基于遺傳算法的模糊內(nèi)模PID控制尋優(yōu)算法， 在缺乏甚至沒有人為經(jīng)驗時也能夠找到最優(yōu)的模糊規(guī)則表和相應(yīng)的隸屬度函數(shù)。 同時，結(jié)合模糊控制與內(nèi)模控制的優(yōu)化，在線整定系統(tǒng)濾波器參數(shù)，可使系統(tǒng)控制效果兼顧動態(tài)性、穩(wěn)態(tài)性和魯棒性。