基于數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架理論的三維地震數(shù)據(jù)去噪與重建

陳 杰 牛 聰 李 勇*③ 黃 饒 陳力鑫 馬澤川

（①成都理工大學(xué)地球物理學(xué)院，四川成都610059；②中海油研究總院有限責(zé)任公司，北京100027；③油氣藏地質(zhì)及開發(fā)工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室（成都理工大學(xué)），四川成都610059）

0 引言

三維地震勘探是油氣勘探的主要技術(shù)，包括地震資料采集、處理及解釋流程。由于受經(jīng)濟(jì)成本、地質(zhì)條件等因素限制，地震采集數(shù)據(jù)一般為欠采樣數(shù)據(jù)且含有噪聲［1-2］，將對(duì)數(shù)據(jù)處理和地質(zhì)解釋產(chǎn)生嚴(yán)重影響。因此，三維地震數(shù)據(jù)去噪與重建是一個(gè)有重要意義的課題。

地震數(shù)據(jù)去噪方法很多，主要分為濾波法和數(shù)學(xué)變換法兩類。地震數(shù)據(jù)重建方法主要分為五類：預(yù)測(cè)濾波法、波動(dòng)方程法、相干傾角插值法、矩陣降秩法和數(shù)學(xué)變換法。其中數(shù)學(xué)變換法是基于壓縮感知理論的一類稀疏變換算法，是目前較為主流的地震數(shù)據(jù)重建和去噪算法，如傅里葉變換［3-4］、Radon變換［5-6］、小波變換［7-8］、曲波變換［9-10］等稀疏變換算法。

上述傳統(tǒng)的基于變換域的去噪和數(shù)據(jù)重建算法都是對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行某種變換，然后在變換域?qū)ο禂?shù)進(jìn)行閾值處理，從而恢復(fù)高精度數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)算法中稀疏變換的基函數(shù)一般是固定不變的，不同的稀疏變換局限于處理特定結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)，使這些算法無(wú)法適應(yīng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜的地震數(shù)據(jù)。塊匹配三維協(xié)同濾波（BM3D）和塊匹配四維協(xié)同濾波（BM4D）是一類利用數(shù)據(jù)局部相似性的算法［11-12］，近年來(lái)被用于地震信號(hào)恢復(fù)，這類算法可用于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的地震數(shù)據(jù)重建與去噪。為了獲得一種自適應(yīng)的稀疏變換基函數(shù)，人們提出了多種通過(guò)字典學(xué)習(xí)估計(jì)基函數(shù)的自適應(yīng)稀疏變換算法，這類算法能夠自適應(yīng)地從數(shù)據(jù)本身派生出模型，從而處理結(jié)構(gòu)復(fù)雜的數(shù)據(jù)。常用的具有代表性的字典學(xué)習(xí)算法有：①最優(yōu)方向法［13］，是一種較早提出的字典學(xué)習(xí)算法，用L0范數(shù)計(jì)算數(shù)據(jù)的稀疏性、用交替優(yōu)化方式求解學(xué)習(xí)模型；②K奇異值分解（K-singular value decomposition，K-SVD）算法［14-15］，是對(duì)K均值算法的拓展，通過(guò)字典更新和稀疏編碼兩個(gè)步驟的不斷迭代處理數(shù)據(jù)；③在線字典學(xué)習(xí)算法［16-17］，通過(guò)一次只處理一個(gè)樣本并結(jié)合最小角回歸算法進(jìn)行系數(shù)編碼獲得更快的字典學(xué)習(xí)收斂速度，實(shí)現(xiàn)大規(guī)模樣本的字典學(xué)習(xí)。此外，還有廣義主成分分析、組結(jié)構(gòu)字典學(xué)習(xí)等具有代表性的字典學(xué)習(xí)算法。

上述字典學(xué)習(xí)算法都對(duì)字典的自由度進(jìn)行一定控制，從而使算法穩(wěn)定。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)緊框架（datadriven tight frame，DDTF）理論［18］限定學(xué)習(xí)字典為一組平移不變的冗余小波緊框架，通過(guò)進(jìn)一步控制字典的自由度，使DDTF算法擁有良好的魯棒性，并且利用小波緊框架完美的重構(gòu)特性，可更好地保留數(shù)據(jù)的精細(xì)特征。

DDTF算法已廣泛用于圖像處理領(lǐng)域，近年來(lái)也嘗試處理二維地震數(shù)據(jù)［19］。本文將DDTF理論擴(kuò)展到處理三維地震數(shù)據(jù)，并通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)際數(shù)據(jù)處理，對(duì)比曲波變換、BM4D和DDTF的三維地震數(shù)據(jù)去噪與重建效果。數(shù)值試算結(jié)果表明，DDTF算法在地震數(shù)據(jù)去噪和重建方面更具優(yōu)勢(shì)。

1 基本原理

應(yīng)用DDTF算法實(shí)現(xiàn)三維地震數(shù)據(jù)去噪和重建包含兩個(gè)主要階段：第一階段是DDTF字典學(xué)習(xí)階段，以數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方式獲取地震數(shù)據(jù)的稀疏表示；第二階段是去噪和插值階段，通過(guò)對(duì)稀疏系數(shù)進(jìn)行閾值處理實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)去噪、重建。

1.1 DDTF

定義1 設(shè)｛fi｝i∈N∈H，其中｛fi｝i∈N是一個(gè)序列，N為自然數(shù)集或是自然數(shù)集的某一子集，H為希爾伯特（Hilbert）空間，如果存在兩個(gè)正常數(shù)A、B，且A≤B，有

則稱｛fi｝i∈N是H中的框架，其中A、B為框架的上、下界。當(dāng)A＝B時(shí)，｛fi｝i∈N稱為緊框架。對(duì)于緊框架，框架界的值稱為冗余比，若衡量冗余比的界值A(chǔ)＝B＝1，則緊框架是一組正交基，此時(shí)｛fi｝i∈N稱為正規(guī)化緊框架［20］，即

在緊框架上可以定義濾波器組（字典）矩陣W及其轉(zhuǎn)置WT

式中：L2（N）表示可測(cè)集為N的L2空間；ai為WT中的第i個(gè)列向量，｛ai｝為ai的向量集。利用W可以將原始數(shù)據(jù)變換為系數(shù)，利用WT又能把處理過(guò)的系數(shù)重構(gòu)為數(shù)據(jù)。

定義2 小波緊框架是將小波理論和框架理論相結(jié)合的產(chǎn)物，小波緊框架是正交小波基的一般變換，即在小波系統(tǒng)中引入冗余性。可測(cè)集為R的L2空間L2（R）中的小波框架是由有限母小波Ψ＝｛ψ1，…，ψm｝∈L2（R）集合的平移和放大產(chǎn)生的［21］，即

當(dāng)X（Ψ）是緊框架時(shí)，稱之為小波緊框架。本文使用小波緊框架初始化字典對(duì)字典進(jìn)行限定。

利用DDTF算法的去噪和重建問(wèn)題可以看作最優(yōu)化問(wèn)題，目標(biāo)函數(shù)為

式中：v為系數(shù)向量；g為數(shù)據(jù)向量；λ為拉格朗日常數(shù)，用于平衡重構(gòu)誤差‖v－Wg‖22和稀疏性‖v‖0的權(quán)重參數(shù)；I為單位矩陣。

通過(guò)以下迭代過(guò)程得到目標(biāo)函數(shù)。

（1）稀疏編碼階段。固定W，通過(guò)經(jīng)典的稀疏近似問(wèn)題求解系數(shù)向量v

通過(guò)硬閾值方法解決上述優(yōu)化問(wèn)題［18］。

（2）字典更新階段。固定v，求解W

Cai等［18］推出了上述問(wèn)題的顯式解，本文省略了推導(dǎo)過(guò)程

可以通過(guò)SVD法得出S和U

式中：U、S和D分別為將VGT通過(guò)SVD算法分解所得的兩個(gè)相互正交的矩陣和一個(gè)對(duì)角矩陣；V＝［v1，v2，…，vN］為gN在W下變換所得系數(shù)向量組合而成的矩陣；G＝［g1，g2，…，gN］為矢量形式的樣本組合矩陣。

圖1為DDTF初始字典與訓(xùn)練字典。由圖可見，對(duì)應(yīng)于初始字典（圖1a），在訓(xùn)練字典中可以看到明顯的結(jié)構(gòu)性特征（圖1b），故訓(xùn)練字典能更稀疏地表示原始數(shù)據(jù)。

1.2 數(shù)據(jù)分塊與塊聚合

字典訓(xùn)練的樣本由數(shù)據(jù)分塊策略獲取，且為了獲取更多的樣本，在分塊時(shí)保證塊之間具有一定的重疊度。由數(shù)據(jù)分塊策略得到的樣本不但可以獲取數(shù)據(jù)本身的先驗(yàn)信息，且基于數(shù)據(jù)塊之間的相似性，在保留數(shù)據(jù)有效信息的同時(shí)去除無(wú)用信息。本文將數(shù)據(jù)分塊后，然后將塊向量化，作為一個(gè)列向量得到樣本矩陣（圖2）。數(shù)據(jù)分塊時(shí)使用分塊算子B，塊聚合時(shí)使用合成算子BT。若將塊轉(zhuǎn)換為數(shù)據(jù)時(shí)，把每一個(gè)像素除以其重疊度，即可得到原始數(shù)據(jù)。

圖1 DDTF初始字典（a）與訓(xùn)練字典（b）

圖2 數(shù)據(jù)分塊

1.3 去噪與插值算法

從迭代中得到訓(xùn)練字典W后，采用稀疏促進(jìn)方法去噪和重建。優(yōu)化以下目標(biāo)函數(shù)

式中：g0為采樣數(shù)據(jù)；A為采樣矩陣。如果A＝I，上述目標(biāo)函數(shù)表示去噪問(wèn)題。如果A是一個(gè)稀疏采樣矩陣，則上述目標(biāo)函數(shù)表示插值問(wèn)題。

對(duì)于去噪問(wèn)題，使用單步閾值算法求解

式中Tθ為軟閾值算子，其中θ為閾值參數(shù)。

對(duì)于插值問(wèn)題，使用迭代收縮閾值（IST）算法求解

式中參數(shù)αk控制算法的穩(wěn)定性，迭代過(guò)程中αk從1減小到0。

1.4 算法實(shí)現(xiàn)流程

算法主要包含兩個(gè)階段（圖3）。

（1）字典學(xué)習(xí)，在此階段利用小波緊框架初始化字典，再通過(guò)稀疏編碼和字典更新得到訓(xùn)練后的字典。

（2）去噪或插值，由訓(xùn)練后的字典得到數(shù)據(jù)的稀疏表示。若輸入含噪地震數(shù)據(jù)，則使用單步閾值法處理稀疏系數(shù)，得到去噪后數(shù)據(jù)；若輸入預(yù)插值后的欠采樣地震數(shù)據(jù)，則使用迭代收縮閾值法處理稀疏系數(shù)，得到重建數(shù)據(jù)。

圖3 本文算法流程

2 仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)際應(yīng)用

對(duì)于三維地震數(shù)據(jù)去噪和重建，應(yīng)用DDTF算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，作為算法對(duì)比，選用固定基函數(shù)的典型稀疏變換方法（曲波變換）和基于塊匹配策略的協(xié)同濾波算法（BM4D）處理地震數(shù)據(jù)。利用三維合成地震數(shù)據(jù)和三維實(shí)際地震數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，原始數(shù)據(jù)尺寸為128×128×128，字典尺寸和樣本尺寸為8×8×8，并盡量選擇能達(dá)到最高信噪比（SNR）的其他參數(shù)，利用

初步判斷不同方法的數(shù)據(jù)處理效果。式中X*和X分別表示原始地震數(shù)據(jù)及去噪或重建后的地震數(shù)據(jù)。

2.1 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文算法的可行性和優(yōu)勢(shì)，合成了一個(gè)三維地震數(shù)據(jù)作為仿真實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ筒Ⅱ?yàn)證處理結(jié)果（圖4）。

2.1.1 合成數(shù)據(jù)去噪

對(duì)純凈的三維合成地震數(shù)據(jù)添加強(qiáng)隨機(jī)噪聲后，致使部分有效信號(hào)被強(qiáng)噪聲覆蓋，同相軸連續(xù)性變差、細(xì)節(jié)變模糊（圖5）。曲波變換具有多尺度、多方向性質(zhì)，適用于處理同相軸完整、連續(xù)的地震數(shù)據(jù)。BM4D通過(guò)相似匹配獲取數(shù)據(jù)先驗(yàn)信息，DDTF通過(guò)字典學(xué)習(xí)獲取數(shù)據(jù)先驗(yàn)信息。上述三種算法對(duì)含噪數(shù)據(jù)（圖5）的去噪結(jié)果（圖6）中均殘留少量噪聲，整體去噪效果較好，但DDTF的去噪效果更好（圖6c、圖6f），同相軸更完整。

圖4 三維合成地震數(shù)據(jù)（a）及其局部放大（b）

圖5 對(duì)圖4a數(shù)據(jù)添加20%隨機(jī)噪聲（SNR＝14.44dB）

2.1.2 合成數(shù)據(jù)重建

對(duì)圖4a數(shù)據(jù)隨機(jī)剔除50%的地震道得到欠采樣三維合成地震數(shù)據(jù)（圖7），其同相軸不連續(xù)、有效信號(hào)缺失嚴(yán)重。同樣使用曲波變換、BM4D、DDTF算法對(duì)圖7數(shù)據(jù)的重建結(jié)果表明：①整體上三種算法的重建效果較好，較完整地恢復(fù)了同相軸。②曲波變換重建效果較好，但是同相軸外的區(qū)域產(chǎn)生了少量噪聲，造成同相軸局部扭曲（圖8a、圖8d）；BM4D重建結(jié)果中存在同相軸局部輕微錯(cuò)動(dòng)（圖8b、圖8e）；DDTF重建結(jié)果中同相軸更完整且連續(xù)，重建數(shù)據(jù)的信噪比最高（圖8c、圖8f）。

圖6 合成數(shù)據(jù)去噪結(jié)果及其局部特征

2.2 實(shí)際應(yīng)用

為了驗(yàn)證DDTF算法的實(shí)際應(yīng)用效果，從新疆A區(qū)的三維實(shí)際地震數(shù)據(jù)中截取了尺寸為128×128×128的數(shù)據(jù)（圖9a）作為含噪數(shù)據(jù)或欠采樣數(shù)據(jù)的原始數(shù)據(jù)，并驗(yàn)證處理結(jié)果。

2.2.1 實(shí)際數(shù)據(jù)去噪

對(duì)實(shí)際三維地震數(shù)據(jù)添加20%的隨機(jī)噪聲，能量較強(qiáng)的噪聲幾乎將能量較弱的有效信號(hào)全部覆蓋，同相軸連續(xù)性很差、細(xì)節(jié)特征丟失嚴(yán)重（圖10）。應(yīng)用曲波變換、BM4D和DDTF三種算法對(duì)圖10數(shù)據(jù)的去噪結(jié)果表明：①由于實(shí)際地震數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，傳統(tǒng)的固定基函數(shù)的曲波變換算法的去噪效果較差，同相軸連續(xù)性差（圖11a、圖11d）。因此由固定的模型套用結(jié)構(gòu)復(fù)雜的數(shù)據(jù)是勉強(qiáng)的，須利用數(shù)據(jù)的先驗(yàn)信息自適應(yīng)構(gòu)建稀疏變換的基函數(shù)。②BM4D和DDTF能夠較好地利用數(shù)據(jù)的先驗(yàn)信息，去噪效果較好，但是BM4D的去噪結(jié)果過(guò)于平滑，缺失了數(shù)據(jù)本身的一些細(xì)節(jié)特征（圖11b、圖11e）；DDTF的去噪結(jié)果更多地保留了原始數(shù)據(jù)的精細(xì)特征，且信噪比更高（圖11c、圖11f）。

圖7 欠采樣合成三維地震數(shù)據(jù)（SNR＝3.29dB）

圖8 合成數(shù)據(jù)重建結(jié)果及其局部特征

圖9 三維實(shí)際地震數(shù)據(jù)（a）及其局部放大（b）

圖10 對(duì)圖9a數(shù)據(jù)添加20%的隨機(jī)噪聲（SNR＝14.56dB）

2.2.2 實(shí)際數(shù)據(jù)重建

對(duì)實(shí)際三維地震數(shù)據(jù)隨機(jī)剔除50%的地震道得到欠采樣數(shù)據(jù)（圖12），使用曲波變換、BM4D、DDTF算法對(duì)欠采樣數(shù)據(jù)的重建結(jié)果表明：①由于曲波變換固定基函數(shù)的局限性，重建結(jié)果不理想（圖13a、圖13d）；BM4D的重建結(jié)果過(guò)于平滑，細(xì)節(jié)特征缺失嚴(yán)重（圖13b、圖13e）；DDTF的重建結(jié)果信噪比更高，且盡量保留了原始數(shù)據(jù)的精細(xì)特征，從而驗(yàn)證了DDTF算法的實(shí)用性（圖13c、圖13f）。②曲波變換和BM4D在處理結(jié)構(gòu)更復(fù)雜的實(shí)際地震數(shù)據(jù)時(shí)，去噪和重建效果較仿真實(shí)驗(yàn)差，但是DDTF去噪和重建效果仍然較好。

2.3 計(jì)算效率分析

表1為不同方法的計(jì)算時(shí)間對(duì)比。由表可見，DDTF算法的計(jì)算時(shí)間是另外兩種算法的幾倍至幾十倍，原因?yàn)椋阂皇怯?jì)算機(jī)自身屬性；二是DDTF方法采用字典學(xué)習(xí)算法，大量的字典訓(xùn)練量會(huì)消耗較多的時(shí)間；三是DDTF算法進(jìn)行數(shù)據(jù)重建時(shí)進(jìn)行了多重迭代過(guò)程，同樣會(huì)消耗較多的時(shí)間。在實(shí)際工作中如果遇到數(shù)據(jù)量更大的三維地震數(shù)據(jù)，可以采用并行化算法，或在數(shù)據(jù)分塊時(shí)減少塊之間的重疊，減少訓(xùn)練樣本數(shù)量，從而提高DDTF算法的計(jì)算效率。

圖11 實(shí)際數(shù)據(jù)去噪結(jié)果及其局部特征

圖12 欠采樣實(shí)際三維地震數(shù)據(jù)（SNR＝3.01dB）

表1 不同方法的計(jì)算時(shí)間對(duì)比

圖13 實(shí)際數(shù)據(jù)重建結(jié)果及其局部特征

3 結(jié)論

本文基于DDTF理論，研究了三維地震數(shù)據(jù)去噪和重建問(wèn)題。DDTF算法通過(guò)字典學(xué)習(xí)，能從數(shù)據(jù)本身得到最優(yōu)的稀疏表示，從而適用于結(jié)構(gòu)復(fù)雜的地震數(shù)據(jù)，并且利用小波緊框架完美的重構(gòu)特性，可以很好地恢復(fù)原始數(shù)據(jù)的精細(xì)特征。仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)際數(shù)據(jù)應(yīng)用結(jié)果表明：DDTF算法對(duì)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的三維合成地震數(shù)據(jù)及結(jié)構(gòu)復(fù)雜的實(shí)際三維地震數(shù)據(jù)都具有良好的去噪和重建效果，但計(jì)算效率較低，還需進(jìn)一步改進(jìn)；曲波變換對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)的去噪和重建效果較差；BM4D的去噪和重建結(jié)果過(guò)于光滑，會(huì)丟失一些結(jié)構(gòu)特征。