“秩”在線性代數中關于分類的應用

曹貽鵬 陸軍裝甲兵學院基礎部

線性代數是代數學中的重要組成部分，矩陣、向量組、線性方程組、二次型等是線性代數研究的重要對象，如何從分類的角度把握這些基本概念是開展線性代數教學應注意的問題。“秩”具有秩序、分類、分組的含義，它是線性代數中的重要概念之一，最早由19世紀德國數學家發現，從“秩”的概念產生之初就在線性代數的研究中起到了重要作用。

一、秩的概念

定義1：設矩陣A為m×n階矩陣，若在A中存在一個r階非零子式，且所有的r+1階子式都為0，則稱矩陣A的秩為r，記作R（A）=r。

定義2：設有m維列向量組A，若在A中能選出r個向量a1，a2…ar，滿足

（1）向量組A0：a1，a2…ar線性無關，

（2）向量組A中的任意r+1個向量都線性相關,

定理1：矩陣A的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩.

定義1、定義2和定理1分別給出了矩陣的秩和向量組的秩的定義，以及這兩個秩的關系。

二、“秩”關于分類的應用

1.秩在矩陣中的分類應用

設矩陣A和矩陣B都是m×n階矩陣集合M中的矩陣，即兩者都為同型矩陣，不妨設m≤n。

定理2：若R（A）=R（B）=r，則有

即矩陣A與矩陣B具有相同的標準形.

由定理2的結論可知，若兩個同型矩陣具有相同的秩，則這兩個矩陣也具有相同的標準型。在所有的m×n階同型矩陣中，利用矩陣秩R（A）=0，1，2，…，m，可以把矩陣集合M中的元素分為m+1類，秩相同的矩陣等價于相同的標準型，即有相同的基本結構。

2.秩在向量組中的分類應用

設A：α1，α2，…，αn和B：β1，β2，…βl，均為m維列向量組。

定理3：若RA=RB=r，則向量組生成的線性空間同構，即VA≈VB。

由定理3可知，秩相同的兩個同維向量組生成的線性空間同構，即在同構意義下兩個向量組生成的空間是唯一的，兩個向量組具有完全相同的結構。

例，設向量組A：α1=（1,0,0）T，α2=（0,1,0）T，α3=（1,1,0）T和向量組B：β1=（0，1，0）T，β2=（0,0,1）T均為3維向量組.顯然，A和B均生成的空間VA和VB均為二維空間，α1，α2和β1，β2分別為兩個空間的一組基。

3.秩在方程組中的分類應用

設A為m×n階矩陣，x為n維未知向量，b為n維非零列向量，Ax=b為n個未知數m個方程的線性方程組，Ax=0為其導出組。

定理4：n元齊次線性方程組Ax=0

（1）方程組只有零解當且僅當R（A）=n；

（2）方程組有無窮解當且僅當R（A）＜n。

定理5：n元非齊次線性方程組Ax=b

（1）無解的充要條件是R（A）＜R（A,b）；

（2）有唯一解的充要條件是R（A）=R（A,b）；

（3）有無窮解的充要條件是R（A）=R（A,b）＜r。

由定理3和定理4可知，相同結構的線性方程組的解的存在性和唯一性均可由線性方程組的系數矩陣及增廣矩陣的秩所確定.因此，無論同型的方程組具體為何，只要其系數矩陣及增廣矩陣的秩是確定的，則這些方程組均屬于一類方程組，具有相同的解的存在性和唯一性。

定理6：設n元齊次線性方程組Ax=0的系數矩陣的秩R（A）=r，則其解集S的秩Rs=n-r。

定理6的結論說明了齊次線性方程組方程組的結構完全由其系數矩陣的秩所決定，在同構意義下這類線性方程組的解空間是唯一的。

例，解方程組

得解空間分別為

顯然，解空間S1和S2的維數都是2，解空間結構相同，在同構的意義下兩個方程組本質是一樣的。

三、結語

利用秩對線性代數中的代數結構進行分類在教學上具有實際意義。特別是通過橫向比較，利用秩對向量組、矩陣和線性方程組等進行分類，可以發現很多問題本質上是同一類問題，這對學生的數學歸納能力是一次很好的鍛煉。