斜坡平臺波浪破碎數值模擬

王紅川，劉華帥，楊 氾

(南京水利科學研究院 水文水資源與水利工程國家重點實驗室，江蘇 南京 210029)

波浪從深海向近岸的傳播過程中，由于受到復雜地形、障礙物和水流等因素的影響，將發生淺化、折射、繞射、反射、底摩阻能量耗散以及破碎等一系列復雜現象，采用數值模擬的方法推算海岸工程中的波浪要素，波浪傳播變形數學模型在理論和工程應用方面日趨成熟，已成為目前確定海岸工程設計波浪的主要手段。

近年來，隨著波浪數學模型的發展和海岸工程研究需要，近岸的波浪傳播至淺水區的破碎問題研究引起了很多學者的興趣。在破碎帶內，波浪能量迅速衰減，由于波浪破碎過程中的詳細機理尚未完全清楚，使用較多的方法是在破碎后的波高與當地水深之間建立一種關系，“0.78”準則(破碎波高和水深之比等于0.78)提供了一種既簡單、又實用的合理確定緩坡海底地形破碎波高的方法。Horikawa和Kuo[1]、Nakamura等[2]、Divoky等[3]研究認為這個準則與緩坡海岸帶實際波浪破碎指標相差不大。

實際上，臨界破碎波高不僅僅是波高與當地水深的簡單關系，還與海底坡度、波長等因素有關。Goda[4-6]通過模型試驗研究得到臨界破碎波高與海底坡度、波長有下列關系：

(1)

式中：db為當地水深，L0為波長，i為海底底坡，A、B為系數，通常取A=0.17，B=15，這一公式是波浪破碎的理論值，適用于任意坡度的斜坡。Svendsen[7]將波浪破碎的臨界波高與波陡、當地水深等建立了關系，得出斜坡上的波浪破碎的臨界波高判別標準，認為其破波公式對底坡坡度達1/3的斜坡也是適用的。

Dally等[8]總結前人的一些經驗，研究了波浪在淺灘上的破碎及波浪破碎后的衰減，從控制能量平衡方程出發，建立了平底海床、斜坡海床上波浪破碎及破碎后波浪能量的衰減，得出了波浪在淺灘上破碎后的波高與傳播距離之間的表達式。1978年Battjes等[9]從理論研究了斜坡海底上的隨機波波浪破碎，認為波浪在海灘上破碎時，并非所有通過某一點的波高都相等，這些破后波高也不一定都比非破波波高大。他從波浪破碎后的波高分布推導出隨機波在淺灘破碎時的破波概率(Qb)，建立了Qb與均方根波高Hrms的關系，進一步建立波浪在破波帶內的能量平衡方程，描述波浪破碎后的波高變化。Beltrami等[10]利用有限元法求解緩坡方程中的淺灘地形上的波浪破碎問題采用了這種方法，取得了較好的效果。王紅川等[11]對緩坡方程進行了改進，使之適用于較陡地形上的波浪折射繞射變形計算，在此基礎上自行開發研制了“波浪計算軟件”，并用于長江口地區復雜地形下的波浪數值模擬計算[12-13]。

波浪在復雜地形上傳播變形，在近岸淺水區斜坡地形上將發生波浪破碎，破碎后的波浪在平臺上會達到一個相對穩定的狀態。這里旨在從波浪破碎帶內能量變化機理對波浪計算軟件進行改進和完善，使之更好地應用于長江口灘槽交替等復雜地形上的波浪破碎數值模擬。

1 波浪破碎數學模型

近岸的波浪破碎是一種復雜而高度非線性的現象，緩坡方程的拋物型方程法僅限于線性或弱非線性的波浪傳播模型，它不能直接描述波浪破碎的物理過程。然而基于能量平衡的波動方程可以描述波浪傳播過程中的波能密度、波浪傳播方向，因而在破波區近似模擬波能的衰減在一定程度上也是可行的。 Kirby和Dalrymple[14]將Dally方法應用于拋物型緩坡方程模型中，通過對島嶼附近海岸帶波浪破碎現象的模擬，證明該方法是可行的。

在破波帶內，波能流衰減的平衡方程可用如下方程描述：

(2)

式中：d為水深；K為待定常數，與破波后波能衰減有關；(ECg)s為波浪破碎后“穩定”的能量流；E=1/8ρgH2，ρ為流體密度，H為波高；Cg=C(1+2kd/sinh2kd)/2，k、d滿足彌散關系，ω2=gktanh(kd)；ω=2π/T，T為波周期。這種波能耗散模型與在平底或斜坡地形上波浪傳播得到的波高衰減是一致的。Dally通過對眾多試驗數據資料比較，表明這種分析模型對描述破波帶內波浪的沿程衰減非常成功。

將式(2)改寫為：

(3)

假定Cgs=Cg，Wb可寫為：

(4)

式中：H=2|A|；A為波浪振幅。破浪破碎穩定波高指標采用(H/d)s=γ，則上式可寫成：

(5)

上式表達了波浪在淺灘破碎后能量流的衰減率，式中參數K、γ分別表示波浪破碎后破波帶內的波浪傳播衰減因子、波浪破碎后達到穩定狀態的波高，這兩個參數可通過模型試驗得出。

另一方面，如考慮波浪在淺灘上破碎后沿x方向繼續傳播時的波高衰減因子與Wb的關系，將緩坡方程寫為：

(6)

(7)

式中：Fb是波浪傳播中的衰減因子。令φ=Aeikcx，A為波幅。如果將kc表示為實部和虛部，即

kc=kr+iki(i2=-1)

于是φ的指數衰減形式為：

φ=Ae-kixeikrx(ki>0)

(8)

式(8)表明波浪破碎后沿x方向傳播過程中波高的衰減與傳播距離有關，同時上式將波高衰減率與參數ki建立了聯系。由以上關系可得出：

(9)

根據假定波浪破碎后波高的指數表達式，可以得出:

(10)

考慮到E=1/8ρgH2，在平底情況下上式可寫成：

(11)

比較上式與式(3)，可得：

(12)

Dally通過對眾多試驗數據資料比較，詳細分析了不同海底坡度情況下的破波后的衰減因子(K)和破波后的穩定波高因子(γ)，認為對于海底坡度變化較寬的范圍內可采用K=0.15，γ=0.40。

2 波浪傳播數學模型

如將波動方程寫成非線性、考慮破波能量衰減的緩坡方程[15]：

(CCgφx)x+k2CCgφ+Mφ=0

(13)

Mφ=(CCgφy)y+(-ω2k2D|A|2+iωFb)φ

(14)

式中：φ為波勢，k為波數，ω為圓頻率，C為波速，Cg為波群速度，Mφ為算子，Fb為考慮波浪破碎的能量衰減因子，可用前面破波模型計算得出。由此導出的描述波浪在復雜地形下高階非線性拋物型緩坡方程可寫成：

式(15)可采用有限差分方法求解。計算程序中每一步檢查波高是否超出臨界波高，當波高超出臨界波高，則波浪破碎，采用式(9)、(12)計算衰減系數Fb。采用式(15)考慮波浪破碎引起波能衰減的波浪傳播變形模型可進行數值模擬。

3 模型參數確定

關于斜坡或緩坡上的波浪破碎及波浪傳播變形的研究，國內外研究成果很多，Goda通過分析試驗資料，給出了波浪破碎指標的經驗式(1),這一公式是波浪破碎的理論值，適用于任意坡度的斜坡，其中A值的范圍通常為0.12～0.18，Goda的成果最早發表于1970年，后來又做了相關研究加以完善，他的成果目前在國際海岸工程界廣為使用，并被認識比較符合實際。

基于國內外斜坡地形上波浪破碎問題研究，在波浪水槽中開展了波浪在不同斜坡坡度潛堤上的傳播和破碎物理模型試驗[15]，并對波浪在斜坡上的波浪破碎位置、波浪破碎指標、波浪破碎后平臺上的破后穩定波高進行了研究，分別對規則波和不規則波在斜坡地形上的波浪傳播變形、破浪破碎、波浪在潛堤堤后平臺上的穩定波高進行了系列試驗。

試驗時，在斜坡坡腳與造波板之間布置波高儀，測量波浪要素作為深水入射波；當入射波要素滿足預定要求時，觀察斜坡上或平臺上波浪的破碎帶，并在破碎帶內加密布置波高儀，測量波浪破碎波高及波浪變形，從而得到破碎位置。在破碎帶之后布置波高儀，測量波浪破碎后的破后波。在破碎帶與用來測量入射波高的波高儀之間布置若干波高儀，測量波浪的沿程變化。

試驗采用固定水深變波高、周期進行試驗，水深采用60 cm，平臺水深為0.2 m。試驗波高：約10 cm、15 cm、20 cm(采用3種不同的波高梯度分別進行試驗，規則波采用平均波高，不規則波采用有效波高進行控制)；波周期：1.2 s、1.5 s、2.0 s、3.0 s、4.0 s。

試驗斜坡采用1/30、1/200及1/500三個坡度，斜坡末端布置40 cm高的平臺，平臺水深為0.2 m。試驗斷面如圖1所示。

圖1 模型試驗斷面布置Fig. 1 Arrangement of the section of the model test

通過對不同坡度上的規則波和不規則波浪在斜坡上的波浪破碎試驗，分別測量了破碎波高Hb，確定波浪破碎位置和破碎水深，測量了波浪破碎后平臺上的破后波高Ht。對試驗結果分析表明：

1) 對于規則波可以采用Goda公式中當A=0.17，B=15時來描述不同的斜坡上波浪破碎時db/L0～Hb/L0關系的破碎指標。

2) 不規則波在斜坡上破碎時如采用波列中的最大波高Hmax作為特征波高，波浪的破碎指標也可用Goda公式中當A=0.17，B=15時來描述，也就是說不規則波波列中的最大破碎波高和規則波波高相當。

3) 波浪在淺水區域破碎后，波能迅速衰減，波浪在破波帶內波高變化十分復雜，波浪在斜坡后平臺上達到穩定時的波高與平臺水深、斜坡坡度、波長等因素有一定的關系。破碎后的穩定波高為：

(16)

式中：dt為當地水深，參數At、Bt由試驗數據擬合得出。對于規則波，At=0.09、Bt=10；對于不規則波，At=0.10、Bt=10。

4 波浪破碎數值模擬

利用前面推導的波浪破碎數學模型以及斜坡堤上波浪破碎參數可以進行波浪在斜坡堤上的傳播變形數值模擬。文中數值計算采用物理模型試驗[15]條件下的地形和入射波要素進行。數值模擬計算地形底坡度為1/30，斜坡頂水深為0.2 m，斜坡底部平底水深0.6 m，斜坡長度為12 m。斜坡位置及坐標見圖2。起始波高分別采用22.62 cm、17.06 cm、10.48 cm，波周期為2 s。

圖2 數值驗證斜坡地形示意Fig. 2 The topography sketch map of the numerical test

圖3分別為不同起始波高條件計算的波浪在淺灘上的波高分布以及波浪爬過淺灘在上部平臺繼續傳播的波高沿程分布。

從圖3中可以看出，波浪進入斜坡上后波高增大，在淺灘上部近平臺位置或進入上部平臺波浪破碎，波浪破碎后波能迅速衰減，波浪繼續向前傳播，直至波高達到穩定狀態。幾種不同波高的波浪在傳播過程中，波浪破碎的位置是不一樣的：前2種波浪(H0=17.06～22.62 cm)入射波高相對大些，波浪破碎位置出現在淺灘上部，距離灘頂拐角一倍波長內；當波高較小時(H0=10.48 cm)，波浪在斜坡上波高增大，直至在平臺上波浪破碎。由于波浪破碎，波浪在平臺上傳播時波高迅速減小。從數值計算與試驗數據比較，前2組波浪破碎位置基本一致，破波前后的波高也十分接近，第3組的數值計算破波位置位于斜坡和平臺交界處(X=0)，試驗結果的破波位置在平臺上稍向后位置。波浪破碎后直至波高穩定的距離也較接近。

圖3 不同起始波高條件下波浪在斜坡上傳播波高分布Fig. 3 The wave height distribution under different start wave height

為比較波浪數值模擬的計算值和模型試驗值的差異，圖4給出了試驗測量位置的試驗波高值和計算值的比較。從圖中可以看出，兩者基本上是吻合的，統計表明，平均誤差為2%～8%，計算值略小于試驗值。

圖4 不同組次波高計算值和試驗值對比Fig. 4 Comparison of wave height between numerical value & experimental value

圖5是將上述3組試驗組次的數值計算無因次化結果與試驗結果比較。圖5中可知，由于底坡陡，當波浪發生破碎時，破碎波高與當地水深之比均大于0.78。

圖5 無因次化波高計算值與試驗值比較Fig. 5 Comparison of dimensionless wave height between numerical value & experimental value

從與試驗資料的比較，可以認為本文的波浪傳播變形數值計算模型可以對波浪在近岸破波帶水域的波浪傳播進行模擬，模擬結果是合理可信的。

5 結 語

波浪在斜坡地形上的傳播變形是一個十分復雜的過程，從能量流平衡方程推導了破波帶內波浪的破碎數學模型，分析了波浪在斜坡上的破碎指標和波浪破碎后在平臺上的穩定波浪參數，建立了拋物型緩坡方程中描述波浪在破波帶內能量衰減和波浪破碎系數之間關系，擴展波浪傳播模型在近岸斜坡地形和潛堤上的傳播變形數值計算。

通過數值計算和模型試驗實測數據比較，文中提出的方法可以較好地模擬波浪在地形上的波高變化、波浪破碎、以及斜坡后平臺上的穩定波高，計算結果和實測數據吻合較好。