基于改進灰色模型GM(1,1)的生活用水量預(yù)測研究

袁 旦，劉 獻，張小麗

（華北水利水電大學(xué)水利學(xué)院，河南 鄭州 450046）

1 研究背景

隨著中國城市化進程的速度加快、經(jīng)濟水平的快速增長，全國居民用水量呈現(xiàn)不斷增長的趨勢。生活用水是區(qū)域生產(chǎn)活動用水的重要組成部分，需水量的預(yù)測作為供水決策、投資的重要參考指標，是制定供水和排水規(guī)劃以及國民經(jīng)濟計劃的基礎(chǔ)和依據(jù)，在水資源規(guī)劃和管理中起著非常重要的作用，對城市現(xiàn)代化建設(shè)具有重要的意義[1]。

目前，由于生活用水量受到包括人口、水價、經(jīng)濟發(fā)展等多個因素的綜合影響，是一個非線性變化過程。很多學(xué)者對城市的生活用水量預(yù)測做了一些研究。李靖[2]等建立了用于城市用水量長期預(yù)測的小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)耦合模型，并利用此模型對昆明市年用水量進行預(yù)測。結(jié)果表明，該模型應(yīng)用于城市用水量的長期預(yù)測具有較高的預(yù)測精度和良好的推廣能力。梁學(xué)玉[3]等基于灰色預(yù)測理論，建立了殘差灰色預(yù)測模型與等維遞補預(yù)測模型兩者相結(jié)合的組合灰色預(yù)測模型，并應(yīng)用于青海省西寧市用水量預(yù)測，結(jié)果表明組合模型的預(yù)測精度高于單一模型的預(yù)測精度。李黎武[4]等基于支持向量機（SVM）和小波框架理論,建立了城市用水量非線性組合預(yù)測模型，并采用SMO算法對模型進行求解，結(jié)果表明該模型具有很強的泛化能力與適應(yīng)數(shù)據(jù)和函數(shù)變化的能力,能夠有效提高預(yù)測精度,可用于供水系統(tǒng)調(diào)度的用水量預(yù)測。針對這個問題，本文采用背景值改進的灰色預(yù)測模型對河南省居民生活用水量進行預(yù)測，并與傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型進行對比，尋找改進模型的優(yōu)點，以期通過本文研究，能夠更好地預(yù)測生活用水量。

2 研究區(qū)概況

河南省域總面積16.7萬km2，東接安徽、山東，北界河北、山西，西連山西，南臨湖北，是全國重要的綜合交通樞紐和人流物流信息流中心。河南省下轄17個地級市、一個省直轄縣級市，21個縣級市，83個縣，53個市轄區(qū)。河南省作為全國人口大省，2018年常住人口9605萬，地區(qū)生產(chǎn)總值為48055.86億元，第一、二、三產(chǎn)業(yè)占比分別為8.1%、39.3%、52.6%，GDP增速為7.6%。2018年全省水資源總量339.8億m3，人均水資源量為354.62 m3，人均水資源量不足全國人均水資源量的五分之一（2018年全國人均水資源量為1971.85 m3/人），遠低于國際公認的人均500 m3的“極度缺水標準”，為典型的水資源嚴重短缺地區(qū)，嚴重影響著居民生活水平的提高，同時也嚴重阻礙著當?shù)亟?jīng)濟的發(fā)展。

3 研究方法

3.1 傳統(tǒng)GM(1.1)預(yù)測模型

灰色系統(tǒng)理論由我國學(xué)者鄧聚龍教授于1982年首次提出[5]，是一種用于研究數(shù)據(jù)少、信息量少的不確定性問題的理論方法。灰色預(yù)測是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分，而又尤以GM（1,1）為其常見模型。該模型通過對原始數(shù)據(jù)的累加生成，采用最小二乘法對其累加生成進行擬合，再進行累減處理，得到原始序列的預(yù)測值。

設(shè)已知參考數(shù)據(jù)列為x(0)=（x(0)（1），x(0)（2），…，x(0)（n）），做一次累加AGO生成數(shù)列：

式中：x(1)（k）=∑x(0)（i）（k=1，2，…，n）。

將累加生成的數(shù)列，按每兩個相鄰數(shù)據(jù)求平均值的方法，得到其均值數(shù)列：

于是建立灰微分方程：

相應(yīng)的白化微分方程：

式中：x(0)（k）稱為灰導(dǎo)數(shù)；a稱為發(fā)展系數(shù)；z(1)（k）稱為白化背景值；b稱為灰作用量。

由最小二乘法并求式（4）得：

經(jīng)累減還原可得原數(shù)據(jù)序列的估計值：

即：

3.2 改進背景值的灰色預(yù)測模型

傳統(tǒng)灰色模型的實質(zhì)是，如果x(0)系列數(shù)據(jù)點的值均大于0，將數(shù)據(jù)系列累加生成后能在很大程度上消除數(shù)據(jù)的波動性，形狀近似為指數(shù)函數(shù)；并用指數(shù)函數(shù)擬合，延展該擬合函數(shù)，再經(jīng)過累減還原處理便可得到原始數(shù)據(jù)的預(yù)測值。

但在式（2）中，在定義背景值時認為在Δt=1的很短時間內(nèi)，x（t）→x（t+Δt）不會發(fā)生突變，因此取它們的平均值為背景值，但是在實際應(yīng)用過程中不可避免的會出現(xiàn)突變的情況，因此傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型的背景值賦值并不是很合理[6]。而由于灰色預(yù)測模型的擬合效果主要由背景值決定，這就為傳統(tǒng)的灰色預(yù)測模型加入了更多的誤差。

王鐘羨等[7]認為背景值的構(gòu)造用曲邊梯形面積更加合理，采用積分法重構(gòu)背景值，理論推導(dǎo)如下：

前提條件與傳統(tǒng)模型一致，將式（2）在區(qū)間[k，k+1]上積分，有：

當設(shè)z(1)（k+1）為在區(qū)間[k，k+1]上的背景值時，則有：

此背景值即為x(1)（t）在區(qū)間[k，k+1]上的定積分。

用如下指數(shù)函數(shù)曲線近似表示：

假設(shè)該曲線過x(1)（t）=cebt和x(1)（k），則：

由式（11）、式（12）可得：

推出背景值為：

即：

式(16)即為改進后背景值的取值。之后，根據(jù)灰色模型預(yù)測的方法，經(jīng)過累減還原便可得到x(0)（k）的估計值：

3.3 精度評價方法

灰色預(yù)測模型檢驗一般有殘差檢驗、關(guān)聯(lián)度檢驗和后驗方差檢驗。本文采用后驗方差檢驗，即通過均方差比值C和小誤差概率P共同評定[8～9]。步驟如下：

（1）計算原始數(shù)據(jù)的平均值和方差：

（2）計算殘差均值和殘差方差:

（3）計算后驗方差比值C和最小概率誤差P的值：

（4）根據(jù)C和P的值，對照灰色預(yù)測模型精度等級表來確定該模型精度，見表1。

表1 后驗方差檢驗標準指數(shù)

4 應(yīng)用實例

河南省2012年～2018年居民生活用水量數(shù)據(jù)（《國家統(tǒng)計年鑒》）見表 2。

表2 河南省2012年～2018年居民生活用水量

利用Matlab軟件運行程序求解，由傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型，求解得其發(fā)展指數(shù)a=－0.04643，灰色作用量b=30.5665，所得到的原始數(shù)據(jù)估計值表達式為：

由改進背景值的灰色預(yù)測模型，求解得其發(fā)展指數(shù)a=－0.04612，灰色作用量b=30.6560，所得到的原始數(shù)據(jù)估計值表達式為：

兩個模型的計算結(jié)果見表3。

表3 兩種模型用水量預(yù)測對比

參照表1后驗方差檢驗標準判斷兩個模型的準確性，結(jié)果表明，傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型和背景值改進后灰色預(yù)測模型的模型預(yù)測精度等級均為優(yōu)。但改進后的灰色預(yù)測模型所得到的模擬數(shù)據(jù)均方差比值C比傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型所得到的模擬數(shù)據(jù)均方差比值C更小，平均相對誤差也小于傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型所得值。這說明，改進后的模型具有更高的擬合精度，擬合效果更好，可以更好的用來預(yù)測城市居民生活用水量。

由此，利用改進背景值的灰色預(yù)測模型對河南省2019年～2021年居民生活用水進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果見表4。

表4 2019年～2021年河南省居民生活用水量預(yù)測

從表4中可以看出，河南省2018年～2021年生活用水將繼續(xù)保持增長。因此，政府應(yīng)繼續(xù)加強節(jié)水型社會的建設(shè)。本文就生活用水提出如下建議：完善生活用水監(jiān)督機制，建立符合河南省實際情況的水資源管理體系；建立完備、統(tǒng)一的水價制度，充分利用水價的杠桿作用，制約隨意取水及浪費水資源的行為；加強科技創(chuàng)新，改進全省水資源循環(huán)處理技術(shù)，提高城市生活用水回收率；加強節(jié)水教育和宣傳，提高全民節(jié)水意識。

5 結(jié)論

基于改進背景值的灰色預(yù)測模型運用于生活用水需求量的預(yù)測。通過實例分析，該模型精度高于傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型。理論上，傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型背景值賦值不合理的缺陷在高增長序列中會表現(xiàn)得更為突出，改進背景值后的灰色模型能夠更好地擬合原始數(shù)據(jù)序列。本文研究的河南省居民生活用水數(shù)據(jù)時間序列盡管不是高增長數(shù)據(jù)序列，但仍然驗證了背景值改進后的模型能夠取得更好的擬合效果，因而，將改進背景值的灰色預(yù)測模型運用到生活用水需求量是合適的。