關于數理邏輯發展史及公式理解的教學實踐

徐國愚

摘 ? 要：數理邏輯是離散數學的一個重要組成部分，學習數理邏輯對于學生學習計算機相關理論，掌握數學證明方法以及邏輯思維能力具有重要的意義。本文針對數理邏輯內容抽象以及公式難于記憶等問題，結合自身教學實踐，對數理邏輯的發展歷史及應用進行了梳理，對基本等值式及推理定律的記憶方法進行了介紹，能夠幫助學生更好的學習與理解相關知識。

關鍵詞：數理邏輯 ?離散數學 ?基本等值式 ?推理定律

中圖分類號：G642 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2020）06（a）-0226-02

Abstract：Mathematical logic is an important part of discrete mathematics. Learning mathematical logic is of great significance for students to learn computer related theories， mathematical proof methods and logical thinking ability. Towards the problems of abstraction of mathematical logic and the equation hardly to remember， this paper analyzes the history and application of mathematical logic. It also introduces the memory method of the basic equivalent and the inference law， which can help students better Learning and understanding related knowledge.

Key Words：Mathematical logic; Discrete mathematics， basic equivalence; Law of reasoning

數理邏輯是許多《離散數學》課程的第一部分內容[1-2]，而《離散數學》又是計算機科學的一門基礎必修課，因此教師講好數理邏輯內容對于激發學生學習課程的興趣、掌握數學證明方法以及邏輯思維能力具有重要的意義。

但是，筆者在數理邏輯的教學過程中發現以下兩個問題：（1）數理邏輯內容偏抽象，與具體應用聯系不夠緊密，導致部分學生的學習興趣不高;（2）在推理過程中需要記憶并應用大量等值式及推理定律，但是有些學生對于公式的記憶較吃力。

針對上述問題，本文試圖通過以下兩個方面解決：（1）講述數理邏輯的發展歷史及其應用，提高學生的學習興趣以及理解深度;（2）通過類比法、舉例法、故事法等手段幫助學生理解并記憶相關公式。下文將對這兩方面內容分別進行闡述。

1 ?數理邏輯的發展歷史及其應用

為了讓學生更好地理解數理邏輯的作用，教師可以向學生講解它的來龍去脈以及典型的應用，具體可以從以下三個角度進行講述。

（1）講述邏輯推理對很多科學領域發展的重要作用。人類獲取知識的方法主要包括：經驗積累、類比推理、歸納推理、邏輯推理等[3]，但是利用前三種方法得出的結論，并非一定是正確無誤的。而邏輯推理則能夠保證只要前提正確，其結論一定是正確的。很多科學領域通過應用邏輯推理方法獲取了長足發展，例如：在數學中，歐式幾何通過僅有的幾條公理推理出整個幾何學系統結構，并且邏輯推理也是數學證明的基本工具;在天文學中，利用邏輯推理獲得天體間的距離;在物理學中，牛頓的經典力學、愛因斯坦的相對論的大部分內容以及近代很多重大理論突破都是通過邏輯推理獲得的[4]。

（2）介紹一些對數理邏輯做出重要貢獻的人物。古希臘哲學家亞里士多德認為邏輯是跟真理有關的東西，因為真理必須是絕對正確的，他的邏輯學基礎是三段論，例如“所有的人都會死，蘇格拉底是人，所以，蘇格拉底會死”。17世紀，數學家萊布尼茨對邏輯學進行了短暫的研究，他的一個設想是：“當遇到一個難題時，人們無需辯論，說聲‘讓我們算一下，拿出筆來通過推理即可得出結論，其對錯被所有人接受”[5]。19世紀，喬治·布爾發明了布爾代數，布爾代數是數理邏輯的雛形，在布爾代數中算子只有0（假）和1（真），基本運算是“與”、“或”、“非”，能夠利用數學運算來描述邏輯推理。但是布爾代數在隨后的100多年里一直沒有得到太大的實際應用，直到20世紀30年代，計算機科學家香農在他的碩士論文里指出可以用布爾代數來設計開關電路，才使得布爾代數稱為數字電路的基礎[6]。簡單的開關電路通過布爾運算可以實現加、減、乘、除運算，進而可以實現所有復雜的數學運算，就這樣人們通過使用數量眾多的簡單開關電路最終造出了復雜的通用電子計算機[4]。

（3）介紹數理邏輯在計算機科學中的典型應用。教師可以講述數理邏輯在數字電路設計、信息查詢以及人工智能等方面的典型應用。

2 ?基本等值式及推理定律的記憶方法

在數理邏輯中要求學生記憶眾多基本等值式以及推理定律，如果學生只是死記硬背將很容易遺忘。教師可以通過類比法、舉例法、故事法等手段幫助學生理解并記憶相關公式。下面對一些常用公式進行舉例說明，其中符號p、q、r、s均表示命題。