關于地鐵牽引供電系統數學模型的建立與求解

方海華

（上海軌道交通設備發展有限公司，上海 200245）

0 引言

當前地鐵已經正式進入我國的各大城市，對人們的出行有著重要幫助。為了保證地鐵的暢通，工作人員應當明確地鐵供電系統的問題并進行改正。工作人員應當根據實際情況來構建計算模型，同時將計算模型的結果計算出來，以設計出更加先進且科學的現代化地鐵，為人們提供更全面的服務。

1 地鐵牽引供電系統的實際問題

如果地鐵的用電負荷不會隨著運行時間的變化而變化，那么就可以根據運行時間與地鐵位置的變化而確定用電負荷，并根據自身具備的相關知識來創立等效電路圖，對供電電流、電壓、用電功率以及電阻等參數進行分析，并得出最終的結果。而當地鐵開始發生變化時，其用電負荷會時時會處于變化狀態，無法按照固定的電路圖去計算出動態的牽引供電網絡。以往，工作人員可以運用“平均運轉量的方法”來進行電氣參數運算，但是這種方法無法計算出地鐵供電的瞬時值。同時，在實際工程當中，工作人員需要實時得知地鐵線路每一環節的電氣參數，如牽引網的電壓、變電所的額定功率、對地電位以及饋線與母線電流等。在現有的情況下，工作人員應當對牽引的供電系統進行仿真計算，并且根據工程的實際需求來建立正確的數學模型，從而保證數學模型的實用性與可行性。

2 地鐵牽引供電系統數學模型

2.1 假設條件

根據現有的實際情況，地鐵運動的能量主要來自于“牽引供電系統”，在這個過程中供電系統為地鐵的行進提供能源。地鐵的牽引能源主要來自于直流電，地鐵的接觸網為正極，其走行軌為負極，而一般的電氣化鐵路供電則是交流電。此外，正處于運動狀態的地鐵用電與固定在地鐵中的電燈、通風等設備的用電性質也有所不同，地鐵的用電會隨著時間、位置的變化而發生變化，其是一個常變負荷，而通風設備及照明設備的用電為固定負荷。在這樣的條件下，可以假設現有的地鐵供電網絡情況為：B 輛地鐵、N 個供電變電所（N 為整數并且大于2），從地鐵啟動開始會有數個地鐵進行取流。

2.2 數學模型的建立

在滿足假設條件的情況下，需要根據地鐵的運行圖以及地鐵牽引的相關資料來確定起始狀態下上行方向的地鐵數量B、地鐵具體位置以及地鐵的電流向量［Is1，Is2，Is3，…，Isb］，工作人員要以此作為模型建立的基礎，建立起始時刻的上行牽引供電數學模型。具體方法如下：

工作人員應當根據牽引變電所的具體位置點以及地鐵的位置點，將牽引電力網絡分割成C 個支路，支路的確定公式為C=N+b-1。其中，b 為地鐵的數量，N 為供電變電所數量。

在數學模型當中，R1、R2、R3一直到RN+b-1分別設定為地鐵供電中的第1、第2、第3，…，第N+b-1 個支路，其為牽引電路中的電阻。因為獲取信息的地鐵位置是已經給定的，同時各各牽引變電所的位置也已經確定，所以牽引網的電阻為均勻對稱，因而可以使用公式計算出模型的電阻Ri=Li×r。

其中，Li是各點之間的距離，r 為牽引網絡中的單位長度電阻，i=1，2，…，N+b-1。在每個用于牽引的變電所中，工作人員可以用一個電壓源與等效電阻相結合，其可以用Rs來進行表示。這個電阻不能簡單的運用變電所與系統之間的阻抗來折算，而是要參考牽引電網的外特性來進行運算[1]。

如果工作人員從牽引網中的地鐵作為一個電流源來處理，其電流主要為I。可以設各個支路的電流為［I1，I2，I3，…，IN+b-1］，因此，各個變電所的支路電流則為［IX+b，IX+b+1，…，I2X+b-1］。將I 設置為T=I2N+b-1，然后將B 設置為［Is1，Is2，Is3，…］，所以可以得到矩陣A=（b+2N-1）×（b+2N-1）。

在這個公式中可以看到，前b 行可以根據各個地鐵的位置應用KCL 定律來進行建立，而b+1 行到b+N 則可以根據變電所的位置來應用KCL 定律來進行建立，而在相鄰的兩個變電所中，b+N+1 行與b+2N-1 行則需要運用KVL 定律進行建立。

所謂的KVL 定律學名為基爾霍夫電流定律，其主要內容為“在集總電路中，每時每刻，每一個節點，其所有的支路電流代數和始終等于零”。如，在計算節點1 時，is1+i2+i3=0。而所謂的KVL 定律學名為基爾霍夫電壓定律，其主要內容為“在集總電路中，每時每刻，每一個節點，其所有的支路電壓的代數和始終等于零”。如：在計算節點1 時，-R1i1+R3i3=U，而在計算節點2 時則為R2i2-R3i3=0。

可以將這3 個方程進行組合，從而組成的一個方程組，通過計算可以得到最終的矩陣方程：I=A-1B。

2.3 數學模型的求解過程

通過對上述的矩陣方程進行求解，能夠最終求得電流的矩陣I。當得到電流矩陣I 之后，可以運用歐姆定律進行計算來算出牽引網每一點的額定電壓，其計算方法如下：

因為所謂的牽引供電其實是一個有著實時動態的電力網絡，因此這些計算只有在t 時刻的狀態下才可以進行掃描，等到了（t+Δt）的時刻再進行掃描時，工作人員就要先根據地鐵的運行圖以及地鐵資料來進行計算，從而確定在特定時刻下的地鐵數量、地鐵位置以及負荷大小，工作人員應當根據實際的牽引情況建立全新的牽引網絡圖，然后按照上述計算方法繼續建立新的方程公式，求出最終參數。在這樣不斷的循環中算出最終的計算結果[2]。

3 地鐵牽引供電系統數學模型的求解

3.1 不同多地鐵運行計算模型影響分析

在多地鐵的運行數學模型中，地鐵的牽引力以及制動力會被地鐵電壓所影響，其總能耗的計算應當采用牽引供電數據模型進行運算，得出出口節點的電壓以及電流乘積的具體形式。在現有的多地鐵研究中，總能耗計算的方法一般都是假定地鐵的電壓維持不變，然后再進行計算[3]。而根據實際情況可以得知，不同多地鐵的運行數據模型對總能耗計算會造成較大的影響，牽引供電數據模型得到結果對比機械能的計算模型要偏小。其中，最大的差距可達到-14.69%，最小的差異也達到-10.12%。所以，在有效利用電力的利用率指標方面，運用牽引供電數學模型的最終結果與傳統的估算方法有43%的實際差距，而且從總能耗數據來看，運用牽引供電數學模型要優于傳統的估算方法。

3.2 不同附加阻力計算方法影響分析

為了探討在不同附加阻力進行計算下結果的差異性，進行了多次試驗。根據結果可知，不同方案所對應的變電所能耗也存在著差異性，部分計算模型產生的計算結果差異較大，其中最大的結果差異達到-3.27%，并且有38%的方案其能耗的計算差異百分比都高于1%。

3.3 多地鐵綜合優化模型結果分析

根據地鐵的電壓變化情況可以看出，地鐵在運作過程中產生的最小電壓為1400 V，而最大的電壓達到了1886 V，已經接近系統所設定的最大限制電壓。而當地鐵的電壓達到最高程度時，地鐵的運行位置可以達到49 km，其位置正好位于地鐵從高架向地下過渡的區間，其主要線路為下坡，因此，地鐵應當使用制動措施來降低車速，使地鐵產生再生制動的能量，促使地鐵附近的接觸網出現電壓升高情況[4]。通過優化方案的實行，牽引變電所的總能耗降低了1794.23 A，降幅程度達到5.47%，地鐵的運行能耗下降幅度更高，達到9.57%。可以看出，本方案的反饋能量對比原有反饋有所降低，在反饋能量的利用率方面，已經優化過的數學模型超過原有模型4.1%，其優化比例也高達4.56%。

3.4 最終計算結果

根據已經計算出的上行支路電流，可以求出變電所之中的饋線瞬時間電流。而根據已經計算出的上行牽引網絡各節點電壓，可以運用插值法來求出變電所中非節點的電壓。同樣，工作人員通過建立正確的牽引等效網絡圖，一樣可以計算出各個支路的電流以及各個節點的電壓，以此計算出下行的饋線瞬時間電流與下行牽引網絡的瞬時電壓。根據網絡中的饋線電流與母線電壓，可以計算出變電所的瞬時功率。

首先，工作人員應當對饋線瞬時間電流曲線f（t）=Ii（t）積分，以此得出變電所的饋線電流。然后再對變電所的饋線瞬時間電流曲線f（t）=Ii（t）的平方積分，以此得出變電所的有效電流，最后運用方差定律進行變電所母線的有效電流計算，求出變電所的功率、時段牽引網的功率損失、平均功率的損失、電網能耗以及回流網的對地電位等。

4 研究分析說明

根據某個變電所在退出運行時所建立數學模型的對比分析可知，上述模型為正常雙邊供電模式下的數學模型，因此，還要分析當牽引變電所發生退出運行情況時應當如何建立數學模型。

（1）當變電所的起點端頭或者終點端頭開始解列時，端頭變電所到次端頭變電所的區間中，原本的雙邊供電開始發生轉變，由次級端頭的變電所進行牽引供電，等效網絡需要去掉故障的端頭才可以重新進行端頭牽引供電。

（2）當中間階段的變電所發生解列時，工作人員應當從兩個方面進行思考：一是工作人員可以在供電區間內使用“大雙邊”的供電方式，等效網絡只要去除中間的故障變電所便可重新建立；二是如果供電區間內的地鐵采用的是單邊供電的方式，工作人員應當將原本一體的等效網絡分割成左右兩端獨立的等效網絡便可以順利進行。

（3）當牽引變電所的某一套機組解列時，工作人員應當在條件允許的情況下建立數學模型，由另一套機組進行替代，保證變電所的繼續運行，而同時，變電所應當提升1 倍的內阻計算。

（4）為了進一步提升數學模型的精確程度，工作人員應當對現有數學模型進行適當的改善。如：可以將牽引網絡的電阻進行拆解，分成接觸電阻與回流電阻兩部分，上行地鐵與下行地鐵均用于回流網中，以此形成回流電壓，而各個變電所則要將上行接觸網與下行接觸網并列起來，提升精度。

5 結論

正確的計算模型得出的結果用于實際情況，可以保證地鐵牽引供電系統更加的安全可靠。經過上述內容可知，通過細致的計算與分析，我國的地鐵供電系統建設還有很大的上升空間，相關工作人員應當通過正確的優化手段來提升供電系統的輸電能力，推動城市交通建設不斷發展。