一道定積分計(jì)算題的拓展應(yīng)用

覃桂茳 覃學(xué)文 石向東

0 引言

《高等數(shù)學(xué)》是大學(xué)生為將來學(xué)習(xí)與工作的基礎(chǔ)學(xué)科，是專業(yè)知識(shí)課程的橋梁，體現(xiàn)專業(yè)學(xué)生的職業(yè)素養(yǎng)。開展《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)活動(dòng)的目的是通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解和掌握微積分的基本概念、理論和方法，培養(yǎng)學(xué)生具有熟練的基本運(yùn)算能力，為后續(xù)課程奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

本文結(jié)合自身的教育工作經(jīng)驗(yàn)，以一道定積分的計(jì)算題作為案例分析，通過案例的拓展和延伸，提高學(xué)者們的計(jì)算能力。

1 案例分析

本文以文獻(xiàn)[1]中（教材第175 頁）的例1 作為案例進(jìn)行分析。

解：設(shè) x=asint，則 dx=acostdt，且當(dāng) x=0 時(shí)，t=0；當(dāng) x=a 時(shí)于是，

2 拓展與應(yīng)用

為了提高學(xué)者對(duì)定積分計(jì)算知識(shí)的掌握，利用定積分的運(yùn)算法則和性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的四個(gè)性質(zhì)（奇偶性、周期性、單調(diào)性、有界性）以及換元法，對(duì)例1 進(jìn)行拓展與應(yīng)用。

2.1 利用定積分的幾何意義求定積分

2.2 在對(duì)稱區(qū)間下利用函數(shù)的奇偶性求定積分

2.3 利用函數(shù)的周期性求定積分

引理[2]：

2.4 利用函數(shù)的單調(diào)性求定積分

若f（x）在[a，b]上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)時(shí)，則：

注：滿足以下兩個(gè)條件，可由對(duì)x 軸積分轉(zhuǎn)化為對(duì)y 軸積分：f（x）的反函數(shù)容易找出；相對(duì)更容易計(jì)算。

2.5 利用函數(shù)的有界性求定積分

利用定積分的中值定理，有：

利用由極限的夾逼定理，可得：

2.6 利用換元法求定積分

計(jì)算定積分時(shí)，首先觀察被積分函數(shù)，然后觀察上限和下限。不能立即得到被積分函數(shù)的原函數(shù)，則不能直接使用牛頓—萊布尼茨公式，就應(yīng)該考慮被積分函數(shù)是否具有上述的四種性質(zhì)，然后按照相應(yīng)的解法計(jì)算定積分。比如，像這道證明題無法從定積分的被積分函數(shù)找出解題思路，則需要考慮換元法求解問題。

代入原式，并利用定積分的可加性，得：

3 小結(jié)

通過上面的例子可以看到，使用單一的方法是不能計(jì)算較復(fù)雜定積分，需要多種方法和技巧的結(jié)合方可解決問題。培養(yǎng)學(xué)生分析問題能力，提高學(xué)生的計(jì)算能力等綜合能力，一直是教育工作者追求的目標(biāo)。