論初學幾何的相異構想在初中數學教學中的成因

劉謀亮

摘?要：學生初學幾何，對學生而言，最難的是把文字語言轉化為正確的幾何語言，對教師而言，最難的是批改初學幾何時用幾何語言書寫的作業。

關鍵詞：相異構想?幾何語言?幾何書寫

在一個有形的世界，孩子一出生的直觀感受就是世界上形形色色的萬事萬物。反而對數的理解還是從父母那里或者上學后才接觸到。學校教育最初就是對數的理解，培養的是邏輯思維。而后才到基本的圖形認識，對形象思維的培養。形正因為有萬萬千千，從中抽象出來的平面圖形反而讓學生相對于對數的認識來說還要更難。難的是學生因為生活實際的直觀感受，讓學生有了前概念的形成。對幾何圖形的認識也是基于前概念去進行理解的。這樣就難免出現了偏差，也就是各種各樣的相異構想，為孩子們對幾何的認識設置了重重路障。

一、一些簡單易見的相異構想以及基本原因分析

1.生活經驗的影響

人對任何事情的評判都往往是根據自身的經驗去進行的。同樣對陌生事物或新學知識的理解都是憑已有的經驗去理解。生活中很多經驗是因人而異，而幾何圖形知識是經過了濃縮后的抽象概念。這樣去理解就難免有偏差，因此相異構想的產生就不可避免了。

（1）人教版七年級上冊中4.2 直線、射線、線段：

在學習此課時，學生對直線、射線、線段的區別和聯系的理解上就因為生活經驗的影響而忽略了幾何中的概念辨析。直線可以兩端無限延伸，射線可以一端無限延伸，而線段沒有延展性，只能朝著某端延長。而生活中出現的“線”更多是以線段的形式出現的，而這些“線”根本就沒有端點。正因為如此學生在畫線段和射線時往往忘記了標端點。

例：直線AB，CD相交于點O，P是直線CD上一點。

①過點P畫直線AB的垂線段PE;②過點P畫直線CD的垂線，與直線AB相交于點F。

在這個題目中，學生容易出現的問題有：

①垂線段PE本來是線段，被畫成了直線（在P點和E點都出頭了）;②直線CD的垂線本來是直線，被畫成了線段（在P點以及和直線AB的交點處沒出頭）;③無論是垂線段還是直線都有被畫成虛線的（本來應該是實線）。

這三個問題出現的原因，基本都是生活經驗的影響，這樣給孩子的前概念就基本定型了，學生還在利用它在進行理解，這樣就出現了各種不同的相異構想。當然第三個問題出現的主要原因還是因為受教學時所學過作輔助線的影響，老師一般都強調過輔助線要畫成虛線，有些孩子真記住了，以為所有的畫線都要畫成虛線。同理，有些學生沒有記住老師的話，或許是因為生活經驗的干擾，在要求畫輔助線時，往往畫成了實線。

（2）人教版七年級下冊第五章相交線與平行線：

這一章中有很多根據抽象出的平面圖形比較形象命名的幾何名詞：

對頂角——對項角;對頂角——對錯角;同旁內角——同旁補角;同位角——同旁角;鄰補角——鄰頂角

以上錯誤都是對幾何名詞的誤讀或誤寫，例如對頂角誤解為對項角是因為字形相似，誤解為對錯角是因為對錯是生活常用詞語，同位角誤解為同旁角，鄰補角誤解為鄰頂角都是從方位和形的角度產生的相異構想，至于同旁內角誤解為同旁補角，卻是從平行線的性質上產生的偏差。

2.原有知識建構的影響

根據認知建構主義學習理論，任何新知的學習，都是建立在原有認知建構上的。都是因循索跡，要把新知識先同化為原有認知，這樣才能被接受和吸收。在同化新知識的時候，往往會采取類比、遷移、歸納等方法，特別在形上類比和遷移時最容易產生相異構想。

（1）人教版七年級上冊中4.3角的學習中：

在這一節的學習中，最容易混淆的是角的三種表示方法：①用包含頂點的三個大寫英文字母表示;②直接用頂點大寫英文字母表示;③標出角的范圍，用阿拉伯數字或希臘字母表示。

這里容易產生三個錯誤：①用三個字母表示的時候，三個字母順序隨便寫，沒有把頂點字母放中間;②從一個頂點出發有多個角時，還是用頂點字母表示角;③從一個頂點出發有多個角時，在用弧線標角的范圍的時候，同樣掃過多個角。

（2）基于類比歸納的兩個距離的對比：

①兩點之間的距離;②點到直線的距離。

相異構想的產生有兩個方面：

①對距離的理解沒有利用生活經驗，僅僅憑借所學幾何知識，憑借紙上所畫的一條線段，這樣遷移就理解距離等同于線段。其實距離是一個數字，而線段是圖形;②點到直線的距離其實還是兩點之間的距離，是點與垂足之間的距離。

3.學科知識間的相互干擾

在信息高速爆發的今天，學科之間的間隙越來越小，很多學科都是你中有我，我中有你。就比如語文和數學，沒有良好的語文功底，很多數學應用題的題意都理解不了，如果沒有數學的邏輯思維的梳理，語文也學得不夠清楚。

學生初學幾何，對學生而言，最難的是把文字語言轉化為正確的幾何語言，對教師而言，最難的是批改初學幾何時用幾何語言書寫的作業。特別是在利用平行線的判定和性質綜合應用解題時，為了理清每一步的因果關系，往往在書寫的時候喜歡把理由直接寫在解答過程中，這樣就造成了文字語言和幾何語言的混雜，成了一碗夾生飯。

例如，一個非常簡單而易錯的書寫：“因為”用“”代替，“所以”用“”代替，有很多學生就會產生沒有全部替換，或者因為形相似而把“因為”“所以”的代替符合弄反。

當然還有對“平行線的判定”和“平行線的性質”兩者的混淆與混用。

二、簡單的相異構想轉變的策略

相異構想就是認知分叉，每一個分支都是對問題的探討，對這個世界的認識，不僅我們每一個人的知識都是在解決每一個相異構想的道路上成長起來的，還有世界所有科技的出現都是從相異構想上延伸出來的。相異構想作為一個術語永遠是對的，永遠是受歡迎的，對錯的僅是每一個分叉是不是一條死胡同。

解決學生相異構想的最佳方法，莫過于“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村。”讓學生獨自走，走到窮通處，學生自然就弄清楚了原委，該回頭的自然就會回頭。而老師唯一做的就是引導，并激發學生繼續探究的興趣。這樣，相異構想就會在班上碰撞出各種各樣的思維火花，這樣對課堂效率的提高有非常大的促進作用。當然，為了更大化地讓思維火花在每一個學生的腦海中激蕩，可以充分利用小組合作討論的形式，這樣在辯與被辯中徹底地通了。