演繹典型例題 提高解題技能

薛鶯

二元一次方程組是數學的重要知識點，更是中考乃至奧數的重要考點.下面我們一起通過研究幾道奧數題目來了解二元一次方程組的應用.

例1如圖1，13個邊長為正整數的正方形恰好拼成一個大矩形（其中3個較小正方形的邊長分別為x，y，z）.試求滿足上述條件的大矩形的面積的最小值.

解析：已知3個較小正方形的邊長分別為x，y，z，則其余正方形的邊長依次可表示為x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x +y，2x +y+z，4x+4y-z，4x+4y-2z及5x-2y+z.

因為大矩形對邊相等，所以1 lx+3y=7x+16y-z，8x+8y-3z=6x+5y+z.化簡得z=13y-4x，4z=2x+3y.所以18x=49y.

因為18與49互質，所以x，y的最小自然數解是x=49，y=18，此時z=38.所以大矩形的長、寬分別為593和422.

此時得大矩形的最小面積是250 246.

點評：此題要根據圖形特點結合矩形和正方形的性質解題.

例2進入汛期，七（1）班的同學們到水庫去調查了解汛情.水庫一共有10個泄洪閘，現在水庫水位超過安全線，上游的河水仍以不變的速度流入水庫.同學們經過一天的觀察和測量，做了如下的記錄：上午打開1個泄洪閘后.2小時水位上漲了0.52米.下午再打開2個泄洪閘后.4小時水位下降了0.08米，水位仍超過安全線1.8米，

如果一共打開5個泄洪閘，還需幾小時水位下降到安全線？

設如果一共打開5個泄洪閘，還需t小時水位下降到安全線，由題意得0.4t-5×0. 14t=-1.8.解得t=6.

所以還需6小時水位下降到安全線.

點評：本題考查了二元一次方程組的應用，一定要記住水位下降用負數表示，水位上升用正數表示.

練一練

1.當m取-5，-4，-3，-l，O，3，23，124，1 000時，由等式（2m+1）x+（2-3m）y+1-5m=O可以得到9個關于x與y的二元一次方程.這9個方程有沒有公共解？如果有，求出公共解.

2.如圖2.在3x3的正方形網格中，填寫了一些數和代數式（其中每個代數式都表示一個數），使得每行的3個數、每列的3個數、斜對角線上的3個數之和均相等.求x，y的值，并把此圖補充完整，

參考答案：

1.有公共解x=1，y=-1.

2.略，