“不等式與不等式組”學習指導

王宗信

現實世界和日常生活中存在大量涉及不等關系的問題.對于這些問題，我們常常要把比較的對象數量化，分析其中的不等關系，列出相應的數學式子——不等式（組），并通過解不等式（組）而得出結論.這樣的思路與利用方程（組）研究相等關系是類似的.

一、認識不等式

用符號“<”或“>”或“≥”或“≤”等表示不等關系的式子，叫作不等式.

不等式有兩類：

一類是不等式中不含有字母，比如3>2.一3<一1.另一類是不等式中含有字母，比如x+2>3，1/2x<5.

含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫作一元一次不等式.

我們看一元一次不等式x+2>3，當x取2，3，4，…（只要這些值大于1都可以）時，不等式x+2>3都成立，與方程的解類似，我們把使不等式成立的未知數的值叫作不等式的解.我們還可以發現，一元一次不等式的解有無數個，一般地，一個含有未知數的不等式的所有的解，組成這個不等式的解集.

二、解一元一次不等式

求不等式的解集的過程叫作解不等式.

解方程的依據是等式的性質：（1）等式兩邊都加上（或減去）同一個數（或同一個整式），所得的結果仍是等式;（2）等式兩邊都乘（或除以）同一個不等于0的數，所得的結果仍是等式.求方程的解就是要把方程變形為x=a的形式.

類似地，解一元一次不等式也要依據不等式的性質：

（1）不等式兩邊加（或減）同一式子），不等號的方向不變;

（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變;

（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.比如3>2，兩邊同乘以-1.左邊的數變為-3，右邊的數變為-2，它們的大小關系與原來左右兩邊數的大小關系反過來了，不等號必須改變方向，

解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程的步驟幾乎相同：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1.不同的地方是：當不等式系數化為1時，如果不等式的兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號要改變方向！另外同學們要養成用數軸來表示不等式的解集的習慣，這會為后續學習不等式組打下堅實的基礎.

例1解不等式x+1/6≥x-2/4 +1，并在數軸上表示解集.

解析：去分母（不等式兩邊同乘以12），得2（x+l）≥3（x-2）+12.去括號，得2x+2≥3x-6+12.移項，得2x-3x≥-6+12 -2.合并同類項，得-x≥4.系數化為1，得x≤-4.（根據不等式的性質3，不等式兩邊同乘-1，不等號要改變方向）

這個不等式的解集在數軸上的表示如圖1所示.

提醒：解此不等式與解一元一次方程x+1/6=x-2/4 +1的步驟大致相同：去分母、去

括號、移項、合并同類項、系數化為1.前四步與解方程的注意事項一樣：①去分母時，不等式兩邊都乘最小公分母12，不要漏乘.②去括號時，利用分配律展開，既不要漏乘，還要注意符號是否需要變號.③移項要注意變號.④合并同類項同樣要細心.特別地，系數化為1時，不等式兩邊同乘一1，不等號要改變方向.在數軸上表示不等式的解集時，因為本題中-4是不等式的解，所以在表示-4的點上畫實心圓點，解不等式每一步都需要小心謹慎！

三、解一元一次不等式

例2已知一個鈍角的大小是（2x-70）o，求x的取值范圍.

解析：根據題意，得2x-70>90，2x-70<180°，把它們合起來，即2x-70>90，解第一

2x-70<180個不等式，得x>80，解第二個不等式得x<125.因為x既是第一個不等式的解集，同時又是第二個不等式的解集，所以x只能是兩個不等式解集的公共部分.兩個不等式的解集在數軸上的表示如圖2所示.

這兩個不等式解集的公共部分是80

提醒：一般地，每一個一元一次不等式的解集有兩種可能，以含有兩個一元一次不等式的不等式組為例，第一個不等式的解集可能是x>a或者xc或者x

可以看出，當不等式組的解集為x>a的公共部分時，x>c其解集為較大者.可簡記為：同大取大.

對于（2）x

xd，b=d，b

通過上述的探究，我們得到的體會是：在解不等式組時，先分別求出其中各個不等式的解集，再在數軸上分別表示各個不等式的解集，利用數軸可以很直觀地看出這些不等式解集的公共部分，進而得到不等式組的解集.