用替換法證明數列不等式

陳康 劉曉靜

[摘要]近年來的高考數學壓軸題多數與不等式有關.其中的數列不等式的證明是一個難點，考試得分率低，多數考生望而生畏，突破這個難點的有效辦法是通過構造數列的求和，用替換方法證明數列不等式，此證明方法可操作性強，學生易掌握.

[關鍵詞]替換法;不等式;壓軸題;數列

[中圖分類號]

G633.6

[文獻標識碼] A

[文章編號] 1674-6058（ 2020）23-0001-02

近五年來的高考數學壓軸題中，就有18道題目考查了不等式或不等式的證明，因此，研究不等式的證明就成了高三數學教師及高考試題研究者必須研究的問題，

這些不等式證明題，可分為三種類型：

第一種類型是證明與x有關的不等式，如2018年全國卷Ⅲ（文科）的第21題，2018年全國卷Ⅱ（理科）的第21題，2016年全國卷Ⅲ（文科）的第21題，2016年全國卷Ⅱ（理科）的第21題，

第二種類型是證明關于x1和x2的不等式，其中x1和x2是已知函數的極值點或零點，如2018年全國卷I（理科）的第21題，2017年全國卷Ⅱ（理科）的第2l題.2016年全國I（理科）的第21題，2015年全國卷Ⅱ（理科）的第21題，

第三種類型是證明關于n的不等式，其中n是正整數，如2017年全國卷Ⅲ（理科）的第21題，2014年高考陜西卷（理科）的第2l題，2013年全國大綱卷的第21題，

這些數列不等式不但綜合了數列和不等式的相關知識，而且與函數的性質、導數等內容相結合，題目綜合性強且難度大，

對于第一、第二種類型問題，比較常見，并且基本上都是用構造函數方法來證明，我們主要來分析第三種類型題目的解題方法.

[例1]（2017年高考全國卷Ⅲ理數21題變式）

點評：本題不同于例1，要從第（2）問得到的基本不等式中，猜測用n的代數式替換x是很難辦到的，需要用分析法，且要擬合為數列求和，再比較其通項，結合由（2）所得的基本不等式，用n的代數式1/n替換不等式中的x即可，

點評：本例的分析過程比較順暢，學生易理解，但若用第（2）小題的結論或用第（3）小題中第①問的結論，通過猜測用n的代數式替換x的辦法是比較困難的，而用替換不等式、通過構建兩數列的求和式子的方法，則難點就很容易突破，

如何用n的代數式替換不等式中的x？若不通過擬合為數列求和問題，則問題很難解決，而利用替換方法，結合數列求和方法來處理，那解出來只是時間問題而已了，筆者研究了近十年來全國卷中的有關數列不等式問題，大多數的題目用上述方法都能解決.

（責任編輯 黃桂堅）