素養涵育：高中數學“片段教學”的理解與實踐范式構建

黃炳鋒

（福州第三中學，福建 福州 350003）

一、問題的提出

1.研究緣起

2020 年福州市教師技能大賽高中組面試階段，評委選擇人教A 版新教材必修第二冊《7.3 復數的三角表示》為教學內容，要求選手在15 分鐘內完成片段教學.參加技能大賽的選手都是各校選拔出來的教學能手，代表了區域內的最高水平，他們在教學語言、板書設計、教學形象等方面都有出色表現，但由于本課“過于簡單”，很多選手沒能準確領會內容的本質，不知如何設定教學目標，對學生的學習困難點判斷也不準確，從教學實踐看，有些選手缺乏結構意識，把這節課上成“復數的三角形式”的概念講解課；有些選手缺乏內容意識，不知如何定位教學重點、難點，三言兩語說明了復數的三角形式的特征后，錯誤地只把重點放在例題教學上；還有些選手缺乏教學意識，不重視教學問題設計，不重視發現和提出問題、分析和解決問題的能力培養，沒有探究、啟發等教學行為，等等.歸根結底，在片段教學的理解與教學設計上存在不足，教學中沒能很好體現結構邏輯、內容邏輯與教學邏輯，導致教學應有的核心素養目標旁落.

2.理論背景

“片段教學”源于教師技能訓練的“微格教學（Microteaching）”.微格教學產生于20 世紀60 年代初，美國斯坦福大學愛倫（Dwight.W.Allen）教授將它定義為：“它是一種縮小了的可控制的教學環境，使準備成為或已經是教師的人可能集中掌握某一特定的教學技能和教學內容”［1］.隨著微格教學從崗前訓練和在崗培訓模式演化為業務考核的片段教學模式，人們關注的就不局限于執教者某一特定的教學技能，而是對片段教學過程的整體評價.

一般認為，片段教學指在虛擬的課堂教學環境中，按規定的時間完成某節課的某個局部（片段）的教學，執教者通過完成指定的教學內容，來表現自己的教學思想、教學水平和教學基本功［2］.片段教學可以比較客觀地反映執教者對數學的理解、對學生的理解、對教學的理解，體現教師的素養和教學風格，所以這種教學形式常被用于主題教研或職稱考核、技能大賽等業務評價.

片段教學與一般的課堂教學的區別在于教學時長與教學環境不同，片段教學過程中一般沒有學生直接參與，聽課者是領導、同行或專家、評委，但它與一節課的教學沒有嚴格意義的區分，基本保留了課堂教學的特點和要求.由于片段教學的時間更短，一般只有15 分鐘，所以往往被要求完成指定的局部內容的教學而不是整節課，而且教學中還需要壓縮學生自主學習、小組合作和探究發現的教學用時.因為沒有學生參與，所以教師只能用指令語言代替學生的活動環節，用言語轉述虛擬教學互動和目標達成的反饋，用虛擬情景代替實物或多媒體演示.［3］與一般的課堂教學比較，片段教學更突出教學的精華，由于沒有學生參與互動，也得不到學生的反饋信息，教師需要在虛擬的教學環境中保持片段內教學環節的完整性、教學邏輯的嚴密性和教學過程的層次性，使得片段教學比一般的課堂教學更難.

片段教學的實踐比較常見，但理論研究不多，查閱到的期刊論文多屬教學建議，缺乏明晰規范的片段教學理論框架和操作范式.片段教學是教師提高教學技能和專業發展的重要推手，如何在沒有學生互動的情境中根據指定的教學內容實施片段教學，引起廣大教育工作者的重視和討論.

3.提出問題

教學是為了提升并發展學生的數學核心素養，從根本上看是為了落實立德樹人的任務，片段教學也應以發展學生數學核心素養為導向，突出“以學生發展為本”和“培育科學精神和創新意識，提升數學核心素養”的課堂教學核心任務，素養涵育的關鍵在于教學過程的設計，沒有過程的教學就不可能有核心素養的落實，那么片段教學如何體現課堂教學應有的素養涵育呢？本文擬以2020 年福州市教師技能大賽的課題教學實施為例，淺談片段教學的實踐范式.

二、實踐的范式

1.展示課型結構，突出結構邏輯與教學關注

教學就如寫作行文，需重視結構與邏輯.課堂教學有不同課型，如概念課、規則課、例題講評課、復習課等，每個課型都有其特有的結構邏輯與教學關注，作為概念課，教學過程要注意呈現“概念引入”“概念形成”“概念的明確與表示”“概念的辨析”“概念的鞏固應用”“納入概念系統”等基本環節.［4］在片段教學中，同樣需要突出概念課的基本環節，展示概念課的教學結構，尤其要體現概念課型的“概念引入”與“概念形成”等環節的教學關注.

“概念引入”環節就是要讓學生體會并認識學習概念的必要性，教學一般從“數學概念體系的發展”或者從“解決實際問題的需要”構建適當的教學情境，自然而然地提出學習要求.復數的三角表示是在復數的概念與四則運算之后學習的另一種表示，從概念體系的發展看，是為了建立概念內部的聯系而學習概念的另一種表示方法（如圖1）.從圖中可以看出，概念教學一般通過數學抽象形成定義，再學習表示與分類，概念的多種表示往往源于不同表示的優勢，需要經歷從具象到抽象的素養提升，還要考慮不同表示法的等價性與互化，教學需以課型結構促進數學抽象素養的落實.為了體現復數概念內部的聯系，本節可以從“概念學習的需求”或“實際問題的需求”等角度引入課題.

圖1

“概念形成”環節一般經歷由具體到抽象、由特殊到一般的認知過程，通過歸納概括出概念的本質特征.由于本節已具備復數概念的認知基礎，所以可以利用概念同化的方式，借助學生認知結構中已有復數的代數形式，建立聯系形成三角表示，教學設計如下.

引入1：一個概念的不同表示建立了概念內部的聯系，有助于我們進一步認識概念，并有利于解決一些問題.前面我們研究了復數a+bi（a，b∈R）及其四則運算，本節研究復數的另一種重要表示——復數的三角表示.它可以幫助我們進一步認識復數，同時給復數運算帶來便利.

［設計意圖］這是概念引入環節第一種方式.從概念體系的發展角度提出學習的需求，引入課題.

引入2：前面我們學習了復數的概念及其四則運算，但要解決形如(等運算問題，還是有一定困難.本節我們研究復數的另一種重要表示——復數的三角表示.它可以幫助我們進一步認識復數，同時給復數運算帶來便利.

［設計意圖］這是概念引入環節第二種方式.從實際問題的求解角度提出學習的需求，引入課題.

問題1：我們知道，復數可以用a+bi（a，b∈R）的形式來表示，復數a+bi與復平面內的點Z（a，b）是一一對應的，與平面向量=(a，b)也是一一對應的.借助復數的幾何意義，復數能不能用其他形式來表示呢？

追問1：復數a+bi與Z（a，b）一一對應，與平面向量=(a，b)也是一一對應，意味著什么？

追問2：復數的幾何意義指什么？

探究：復數z=a+bi與向量一一對應，復數z由向量的坐標(a，b)唯一確定，我們知道向量也可以由它的大小和方向唯一確定，那么能否借助向量的大小和方向兩個要素來表示復數呢？如何表示？

［設計意圖］這是概念形成環節.明確教學問題，建立數（復數）與形（幾何意義，向量）的聯系，若學生對教學問題有疑問，或無法理解一一對應的含義，可以用追問的形式加以指導，再借助探究環節，引導學生提煉向量的大小與方向的數量要素，為表示復數引入三角函數做必要的方法準備，即在方法上引導學生如何提煉r和θ來表示復數z.

2.設計明暗主線，確保內容邏輯連貫與一致

教學可視作師生達成目標（任務）的系列活動，為提升與發展數學核心素養的教學活動需要重視明暗主線的設計，普通高中教科書教師教學用書指出以“事實-概念-性質（關系）-結構（聯系）-應用”為明線，是從教學內容層面提出要注重知識主線的邏輯走向，注意相互知識間的關聯，強化核心內容要求，突出知識的整體性與邏輯的連貫性；同時指出以“事實-方法-方法論-應用”為暗線，是從素養層面提出要發揮各種能力和思想方法對高中數學知識的統攝作用，保持能力訓練的邏輯連貫性和思想方法的前后一致性，要突出方法的普適性與思維的系統性，并強調突出數學本質，結合明線布暗線，交融協調明暗主線，形成基本數學思想和方法的“滲透-明確-應用”的有序進程，確保思想方法的一致性［5］.

復數的三角表示教學明線是“代數形式-幾何意義（與向量的關系）-三角形式（聯系）-應用”，從知識層面上看，復數的三角形式是數形結合的產物，由復數a+bi（a，b∈R）到點Z（a，b），再到向量，建立了三者之間相互對應關系，即通過復數的幾何意義將數與形聯系起來，再用向量概念與方法提取r 與θ，通過三角函數建立關系式a=rcosθ，b=rsinθ，進而得出任何一個復數z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式的一般結論，并給出相關概念，體現了知識的整體性和邏輯的連貫性（如圖2）.

圖2

暗線是“表示-方法-方法論-應用”，即在方法上，要回答如何把復數的代數形式表示為三角形式，表示法是否唯一，要回答θ的多樣性的特征與唯一性的處理等；在方法論上，要回答任意一個復數a+bi（a，b∈R）表示為r(cosθ+isinθ)形式的兩個問題：其一，用r和θ可以表示任意一個復數；其二，r和θ表示的是復數，突出了方法的普適性和思維的系統性，教學設計如下.

問題2：通過探究發現，向量的大小可以用模r表示，向量的方向可以借助以x 軸的非負半軸為始邊，以向量所在射線（射線OZ）為終邊的角θ來刻畫，你能用r和θ表示復數z嗎？

追問1：用r和θ表示復數z的關鍵是什么？你能用r和θ表示a，b嗎？

追問2：根據復數的幾何意義，每個復數a+bi可由點Z（a，b）唯一確定，再根據三角函數的定義，可得a=rcosθ，b=rsinθ，所以a+bi=r(cosθ+sinθ)，這說明什么？當點Z在實軸或虛軸上時，這個結論成立嗎？

［設計意圖］這是概念的明確與表示環節.基于“表示”設計明線，基于“方法”設計暗線，先提出問題，再通過追問1 明確用r和θ表示復數z的關鍵所在，通過追問2，并結合數形關系得出每個代數形式的復數都可以為三角形式的復數的一般結論.

問題3：一般地，任何一個復數的代數表示式z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式，這種形式叫做復數的三角表示式，簡稱復數的三角形式，與復數的代數形式中的a，b有特定名稱一樣，你能給出r與θ的概念和名稱嗎？

追問1：一個復數的輻角唯一確定嗎？任何一個不為零的復數的輻角有無限多個值，這些值之間有什么關系呢？

追問2：為了保證每一個不為零的復數有唯一的θ值，我們引入輻角主值的概念，你能說說輻角主值的定義嗎？

追問3：你能概括一下復數的三角形式的特征嗎？

［設計意圖］這是概念的辨析環節.基于“定義-關系-聯系”設計明線，基于“事實-方法”設計暗線，先提出問題，指導學生獲得相關概念的定義與每一個非零復數的不同輻角之間的關系，再用追問的形式得出復數的三角形式的多樣性與唯一性，指出這是概念不同表示法的一般思考方法，并引導學生概括復數的三角形式的特征.

問題4：在復數的三角形式下，你能說說兩個復數相等的充要條件嗎？

追問1：在復數的代數形式下，有什么結論？

追問2：你能談談本節學習了哪些內容，本課學習對你有什么啟發？

［設計意圖］這是課堂小結環節.通過比較兩種表示法獲得結論，并在知識回顧中，引導學生總結兩種表示法的內容邏輯與聯系.

3.融合教學理解，凸顯教學邏輯與認知規律

同課堂教學一樣，片段教學應該追求“三個理解”：理解數學、理解學生、理解教學，“三個理解”是教師專業水平、育人能力以及是否遵循教學邏輯與認知規律的集中體現.

理解數學，就是要把握數學內容的本質，主要是對數學的思想、方法及其精神的理解.教好數學的前提是理解數學，尤其是對一些具有統攝性的“一般觀念”要有深入理解并能靈活應用.例如，復數概念的教學一般從復數定義、表示與分類入手，概念的不同表示需要關注它們的等價性；又如，獲得復數的三角形式需要回答兩個問題，以及兩種表示法的互化與是否唯一，等等.

理解學生，主要是對學生數學學習規律的理解，核心是理解學生的數學思維規律，只有對學生的數學思維規律有了深入的了解，才能知道應當采取怎樣的教學措施引導學生的數學思維活動，有的放矢地進行教學.例如，從復數的代數表示到三角表示，兩種表示法的聯系是向量與三角函數，符合學生思維規律的教學措施是借助圖形直觀，因此在探究環節一定要引導學生做出相關圖形；又如，從復數z到點Z，再到向量，要指導學生認識到它們之間一一對應關系，以及一一對應的含義等.

理解教學，主要是對數學教學規律、特點的理解.數學是思維的科學，數學學科的特點決定了數學教學的特點和規律，只有遵循了這些規律、反映這些特點，數學教學的質量和效益才能真正得到保證.［6］例如，在復數概念形成的教學中先提出問題，然后通過探究的形式引導學生關注“如何用用r和θ表示復數z”，即借助“問題-活動-結果”的教學活動形式，確保教學質量與效益等.

片段教學執教者為了表現教學思想、教學能力和教學基本功，還需要在素養涵育的基礎上凸顯教學技能，這里的教學技能主要包括“語言表達”與“文字書寫”的技能.

語言表達上，要做到語速平緩、吐字清晰、抑揚頓挫，教學語言的吸引力除了表達的技巧外，還要注意表達的規范，要講“數學的語言”，要用“數學的方式”，解決“數學的問題”.此外，教師還應擅長用語言進行歸納，比如，將復數的三角形式的特點歸納為“模非負，角相同，余弦前，加號連”，不僅形象生動，朗朗上口，便于學生記憶，而且可以有效影響后續復數的乘法、除法與乘方等運算的準確性.

文字書寫上，要做到準確、工整、美觀，文字表達的吸引力除了美感，還有表達的簡潔與內涵，應追求圖文并茂、賞心悅目、重點突出.

三、總結與展望

綜上所述，為了體現教學的根本目的與育人功能，片段教學過程應模擬課堂教學的真實情境，展示課型結構、設計明暗主線、融合教學理解，這樣才能回歸數學課堂應有的素養涵育的目標.

本文僅闡述概念課的結構特征與實踐范式，盡管不同課型的教學有許多相通之處，但其他課型，如規則課、習題講評課的教學還有待進一步論述.此外，對片段教學的評價基本還處于經驗階段，缺乏理論框架支持與量化方法，也有待于進一步研究.