Scratch繪制美妙函數(shù)曲線

白二娃

不知你還記得百歲山有個(gè)美少女給路邊老頭送水的廣告嗎？是不是不明所以？其實(shí)這個(gè)廣告講述的是一個(gè)“笛卡爾曲線”的愛(ài)情故事。

1649年18歲的瑞典公主克里斯汀在斯德哥爾摩的街頭邂逅了52歲窮困潦倒的數(shù)學(xué)家笛卡爾。閑談后，公主聘請(qǐng)笛卡爾成為自己的數(shù)學(xué)老師，教授她研究數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域——直角坐標(biāo)系。兩人在教學(xué)中彼此產(chǎn)生愛(ài)慕之心，這事被國(guó)王知道后下令流放笛卡爾，軟禁克里斯汀。笛卡爾直到去世依然堅(jiān)持寫(xiě)信給公主，可惜這些信都被國(guó)王攔截了。笛卡爾去世前的最后一封信中寫(xiě)了一個(gè)特殊的方程式r=a（1-sinθ），因?yàn)闆](méi)人能看懂國(guó)王就把這封信給了公主。公主解開(kāi)這個(gè)方程式得到了一個(gè)心形曲線，也知道了笛卡爾的心意，這就是著名的“笛卡爾曲線”（圖1）。

我們根據(jù)一些簡(jiǎn)單的函數(shù)方程式就可以繪制出美妙的曲線，但是在計(jì)算機(jī)沒(méi)有普及的時(shí)候，繪制函數(shù)曲線是很復(fù)雜的工作（圖2）。

1. 函數(shù)的概念

數(shù)學(xué)中“函數(shù)”的定義：給定一個(gè)數(shù)集A，假設(shè)其中的元素為x。現(xiàn)對(duì)A中的元素x施加對(duì)應(yīng)法則f，記作f（x），得到另一數(shù)集B。假設(shè)B中的元素為y，則y與x之間的等量關(guān)系可以用y=f（x）表示。我們把這個(gè)關(guān)系式就叫函數(shù)關(guān)系式，簡(jiǎn)稱(chēng)函數(shù)。函數(shù)概念含有三個(gè)要素：定義域A、值域B和對(duì)應(yīng)法則f。其中核心是對(duì)應(yīng)法則f，它是函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)特征。

編程中的函數(shù)也有類(lèi)似但不完全相同的概念，其中函數(shù)的輸入?yún)?shù)可以看作是定義域A，函數(shù)的運(yùn)行所改變的結(jié)果可以看作值域B，而函數(shù)的算法（過(guò)程）就是對(duì)應(yīng)法則f。

Scratch里我們可以在“自制積木→制作新的積木”里建立新函數(shù)。

2. 函數(shù)曲線

在二維平面，如果有函數(shù) f（x） = y，其中任意一組（x，y）值是該曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)值，描繪出符合函數(shù)的全部點(diǎn)時(shí)可以在平面直角坐標(biāo)系上呈現(xiàn)為一條曲線。

要想掌握使用Scratch根據(jù)各種不同的函數(shù)方程式繪制曲線的通用方法，我們要從最基礎(chǔ)的一次函數(shù)開(kāi)始，逐步掌握更加復(fù)雜的曲線繪制方法，畫(huà)出各種優(yōu)美的函數(shù)曲線圖形感受數(shù)學(xué)之美。

3. 一次函數(shù)

若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系式可以表示為y=kx+b（k，b為常數(shù)，k≠0）的形式，則稱(chēng)y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因變量）。

我們先從最簡(jiǎn)單的一次函數(shù)y=x開(kāi)始。x是橫坐標(biāo)，y是縱坐標(biāo)。y=x函數(shù)的意思就是橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的值永遠(yuǎn)一樣，即：

x=1 時(shí) y=1 …… x=100 時(shí) y=100

在Scratch里，我們就可以畫(huà)100個(gè)縱橫坐標(biāo)相等的點(diǎn)，把它們連起來(lái)就是y=x的函數(shù)曲線，一根從（0，0）開(kāi)始的向（1，1）的直線（圖3）。

我們之后再增加兩個(gè)變量k、b，并改變函數(shù)，就可以畫(huà)出任意一次函數(shù)y=kx+b的曲線。為了更好地 規(guī)范和簡(jiǎn)化代碼，我們將畫(huà)圖和函數(shù)部分分開(kāi)了，為函數(shù)新建了積木“一次函數(shù)‘k‘b‘x”，這個(gè)積木有3個(gè)數(shù)字參數(shù)。這樣每次計(jì)算y=kx+b時(shí)，只需要拖動(dòng)這個(gè)積木到需要的地方就可以了。

而要改變函數(shù)內(nèi)部結(jié)構(gòu)時(shí)，也只需要修改一次函數(shù)的定義部分就可以了，函數(shù)越復(fù)雜就越能節(jié)省開(kāi)發(fā)時(shí)間并避免出錯(cuò)。

4. 二次函數(shù)

二次函數(shù)基本表示形式為y=ax2+bx+c（abc為常量，a≠0）。 二次函數(shù)的圖像是一條對(duì)稱(chēng)軸與y軸平行或重合于y軸的拋物線。x2用x*x表示。a、b、c可以自己設(shè)置，x從-50增加到50（圖4、圖5）。

5. 正弦曲線

接下來(lái)我們畫(huà)一些和三角函數(shù)相關(guān)的曲線。Scratch里有三角函數(shù)積木，運(yùn)算→“絕對(duì)值”積木下拉菜單中可以選擇使用。

正弦曲線函數(shù)可表示為y=Asin（ωx+φ）+k，其中sin為正弦符號(hào)，A、k、ω和φ是常數(shù)（A、k、ω、φ∈R，R是實(shí)數(shù)域即A、k、ω、φ均為實(shí)數(shù)，且ω≠0），正弦曲線是一條波浪線。只需要根據(jù)函數(shù)設(shè)定和修改相應(yīng)積木即可。具體常數(shù)設(shè)置如圖7。

6. 橢圓形和圓形

橢圓的+=1，其中a>0，b>0，當(dāng)a=b時(shí)就是正圓形。將這個(gè)公式轉(zhuǎn)為參數(shù)方程方便計(jì)算xy的值：x=acosθy=bcosθ，θ為角度，畫(huà)圖時(shí)用循環(huán)代碼重復(fù)360次，將θ從0度增加到360度，a、b為常量控制橢圓的外形，代碼如圖8，圖9，效果如圖10。

7. 笛卡爾曲線

最后我們來(lái)畫(huà)笛卡爾曲線。我們已知的r=a（1-sinθ）是笛卡爾曲線的極坐標(biāo)公式，沒(méi)有x和y坐標(biāo)，需要轉(zhuǎn)為直角坐標(biāo)，變成下面的函數(shù)：

x=cos t*a（1-sint）

y=sin t*a（1-sint）

其中a是控制心形大小的常量。t為角度參數(shù)，通過(guò)Scratch編程讓畫(huà)筆跟隨t轉(zhuǎn)一圈即從0度-360度就可完成作畫(huà)，代碼如圖11，圖12，效果如圖2。

8. 其他曲線效果

只要知道曲線函數(shù)的表達(dá)公式你可以用此種方法畫(huà)出各種美麗的圖形，搜索“proe曲線方程”可以找到幾十種漂亮的曲線方程。當(dāng)你有更多的數(shù)學(xué)知識(shí)就可以把這些公式轉(zhuǎn)化為程序畫(huà)出來(lái)了，因?yàn)槠渲杏胁簧偾€需要縱坐標(biāo)z，這要用公式將（x，y，z）坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為當(dāng)前視角（xz，yz）的坐標(biāo)才能畫(huà)出來(lái)。再添加上變換顏色的代碼，整個(gè)圖形就非常漂亮了。

在本版掃碼下載中有一個(gè)莫比烏斯環(huán)3D源程序（@科技傳播坊），你可以下載后自行學(xué)習(xí)如何換算z坐標(biāo)（如圖13）。

9. 總結(jié)

根據(jù)函數(shù)公式畫(huà)曲線，首先需要找到曲線的直角坐標(biāo)系公式，如果是極坐標(biāo)公式需要提前轉(zhuǎn)換，這樣才可確定曲線上點(diǎn)的x和y坐標(biāo)。接著根據(jù)公式設(shè)定相應(yīng)變量，并在新建積木中組合好x和y的表達(dá)方程式。循環(huán)給自變量x賦值，根據(jù)方程式算出因變量y的值，讓畫(huà)筆循環(huán)在（x，y）畫(huà)點(diǎn)就可以畫(huà)出相應(yīng)的曲線了。

如果是有sin、cos等三角函數(shù)相關(guān)曲線，一般需要將角度變量變化360次（一個(gè)圓周）。