相由心生

周銘浩

摘 要：數(shù)學抽象之難，使得習慣特殊與具體數(shù)字的學生一時難以接受。根據(jù)學生的身心特點和教育教學規(guī)律，從圖像直觀輔助學習數(shù)學抽象的歷史性、可行性和必要性方面做了闡釋。

關(guān)鍵詞：圖像直觀;數(shù)學抽象;幾何意義;函數(shù);單調(diào)性;對應(yīng)

數(shù)學難，難在抽象，這是數(shù)學給學生的第一印象。數(shù)學抽象又是新課標下學生需具有的六個基本素養(yǎng)之一，如何使學生理解抽象的數(shù)學概念，抽象出數(shù)學問題，抽象出數(shù)學關(guān)系進而抽象出數(shù)學原理，是很多老師在思考的問題。筆者也在這方面提點拙見：以圖像直觀輔助教學學習數(shù)學抽象。

在高中數(shù)學的教學過程中，與學生回顧其小學、初中學過的兩個概念：絕對值和π，筆者深有感觸。對于π，大部分的學生停留在3.14這個具體的數(shù)據(jù)上，至于含義，很少有學生知道，更不用說設(shè)計求π的方法;對于絕對值，能想起的是把負數(shù)變成正數(shù)，但我們回顧七年級數(shù)學教材，會發(fā)現(xiàn)絕對值首先是以距離，以幾何要素呈現(xiàn)的，如果只會把負數(shù)變成正數(shù)，后續(xù)學習絕對值不等式等都會受阻。數(shù)學學習絕不是記數(shù)，把握數(shù)學概念的來龍去脈，以符合學生實際的接受方式啟發(fā)他們才能收到順暢的學習效果。由圖像具體來學習數(shù)學抽象是符合學生規(guī)律的，是教材編寫中所考慮到的，也是教學學習需要遵循的。在講圓周率的過程中，把圓周率的得出過程以圖引領(lǐng)，讓學生嘗試用不同半徑的圓展開，記錄數(shù)據(jù)，列表觀察圓周長與直徑的比例關(guān)系，來得到不變的π，對定義的理解會更加深刻。如果加入中國古代祖沖之父子割圓，以直代曲，極限逼近，來得出圓周率更加精確的數(shù)據(jù)，不僅是初等數(shù)學和高等數(shù)學很好的銜接，也是數(shù)學文化在中學生身上的傳承。

關(guān)于數(shù)形結(jié)合的發(fā)展規(guī)律，我們來看看Model-Drawing教學法中對于“？-7=5”這一題的教學處理：結(jié)合圖像■拿走了7，剩下了5，這個大長條原本有多少？學生要搞清楚這個問題，最便捷的方法是把剛剛拿走的7再放回去，全部數(shù)一遍，如此一來，題目就變成了“7+5=？”。從減法到加法的轉(zhuǎn)換，就自然地完成了。給小學生解釋7+5為什么等于12，須知欲講數(shù)的加法，必先講數(shù)的分法，以圖像來引導小學低段學生學習數(shù)的分法，是符合認知規(guī)律的很好的處理辦法。圖像的直觀性決定了學生更容易記住形，然后才是數(shù)，中學生亦是如此。

在初中階段，教實數(shù)，會教實數(shù)對應(yīng)于數(shù)軸上的點，數(shù)（代數(shù)元素）對應(yīng)點（幾何元素），這不僅是數(shù)形結(jié)合的發(fā)端，更能讓學生對數(shù)的大小有個直觀的感受。高中數(shù)學“不等式與不等關(guān)系”這一章在講解“性質(zhì)3：如果a>b，那么a+c>b+c”時，也采用“把數(shù)軸上的兩點A、B同時沿相同的方向移動相等的距離，得到另外兩個點A1、B1，A與B和A1、B1的左右位置關(guān)系不會改變”，將代數(shù)圖形化、直觀化來闡釋。

從小學、初中的具體與特殊的數(shù)字、式子進入系統(tǒng)學習數(shù)學抽象，以圖像直觀輔助理解和學習數(shù)學抽象就顯得更加必要。

對于基本初等函數(shù)，相比初中，高中更加注重對于其性質(zhì)的研究。初等函數(shù)中的對數(shù)函數(shù)，對高中生來講是全新的。對新函數(shù)的認知，腳步需要慢一些。認識新函數(shù)，第一印象很重要，這個第一印象的呈現(xiàn)不應(yīng)該是老師描述出來的，而應(yīng)該是學生自己一點一點、一筆一畫繪制出來的。對數(shù)函數(shù)的第一節(jié)課，應(yīng)該是一節(jié)畫圖課：列表→描點→連線→新函數(shù)圖象的初次見面。圖像印在腦子里了，諸如單調(diào)性等函數(shù)性質(zhì)才能更好地接受，性質(zhì)是以圖像具體作為背景的。千萬不要忽略，函數(shù)單調(diào)性看似簡單，對于升入高中不到一個月的新生而言，是很難的。他們幾乎沒有系統(tǒng)的用代數(shù)來刻畫函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)歷，要能用抽象的代數(shù)刻畫好單調(diào)性，生活中上升或下降→數(shù)學中具體函數(shù)圖象的上升或下降→代數(shù)的刻畫，要做好情景鋪墊。數(shù)學課程目標有“四基”，基本知識、基本技能、基本思想以及基本活動經(jīng)驗，基本活動經(jīng)驗是前面三個“基本”掌握的不可或缺的一環(huán)，尤其在用圖像具體來輔助代數(shù)抽象的教學過程中。

數(shù)學的學習是一個由特殊到一般，由粗放到細化的過程。小學階段，對圖像是“見山是山，見水是水”層次，但中學階段需要對圖像作細化處理：線由點構(gòu)成，或者說點動成線，線動成面，把點（幾何）與數(shù)（代數(shù)）的關(guān)系真正擴充到了二維、三維。

在解析幾何中用方程來控制圖形，方程的設(shè)立過程絕不是純代數(shù)的推導過程，應(yīng)該是一個數(shù)學建模的過程。以橢圓為例，橢圓（曲線）→橢圓上的點需要滿足的關(guān)系（細化，點由線組成）橢圓上點（坐標）橫縱坐標之間的關(guān)系橢圓方程→代數(shù)研究橢圓（幾何）。幾何入門，代數(shù)升華，從幾何來，回幾何中去。在教學的過程中不妨多讓學生“玩”會，使橢圓形成過程印象深刻，將方程的呈現(xiàn)具象化。我們已經(jīng)不止一次在試題中想以“到兩定點的距離之和等于2a”等提示語給學生送分，希望學生可以不用進行煩瑣的代數(shù)計算，直接利用概念來答題，無奈很多時候?qū)W生因為課堂上缺少圖像直觀體驗而沒法在考試時心有靈犀理解老師的意思。

若數(shù)學抽象是鹽，直接入口是難的。如何煲好課堂這碗湯，讓學生在美味的喝“湯”過程中把這“鹽”吸收了，圖像直觀為學生鋪好接受數(shù)學抽象的橋梁是可行和必要的。

參考文獻：

唐秦.高中生數(shù)學抽象能力的評價研究[D].蘇州大學，2017.

編輯 郭小琴