可變負載的準零剛度隔振器特性*

康冰冰， 李海軍， 林學森， 王景霖， 鄧 力

(1. 海軍航空大學航空基礎學院 煙臺，264001)(2. 海軍航空大學岸防兵學院 煙臺，264001)(3. 故障診斷與健康管理技術航空科技重點實驗室 上海，201601)

引 言

為了提高被動隔振器的低頻隔振能力，降低起始隔振頻率，需要降低隔振器的剛度，但這與隔振器的承載能力相矛盾。為此，準零剛度隔振器應運而生。準零剛度隔振器的基本原理是通過引入負剛度機構，抵消隔振器的正剛度，既保證隔振器的承載能力，又能使隔振器在靜平衡位置的剛度接近0。準零剛度隔振器實現形式很多，Carrella等[1]分析了由線性斜置彈簧提供負剛度的準零剛度系統，研究了該系統的基本特征。Liu等[2]利用預壓的歐拉梁產生負剛度，抵消線性彈簧的正剛度，達到準零剛度的特性。Zhou等[3]設計了帶有凸輪滾子彈簧機構的準零剛度系統，該隔振器是一種分段非線性隔振系統。Robertson等[4]利用磁性彈簧實現準零剛度，該隔振器具有弱非線性、低固有阻尼的特點。Xu等[5]也提出了一種高靜低動磁性隔振器。Zhou等[6]將3個緊湊的準零剛度彈簧組成1個金字塔式支柱，由4個支柱構成六自由度準零剛度隔振系統。Zhu等[7]采用磁懸浮技術實現了準零剛度。徐道臨等[8-9]還設計了一種屈曲板型準零剛度隔振器和橡膠彈簧構成的準零剛度隔振器。

以上隔振器的參數一旦確定，不能改變，在過載或欠載情況下，高靜低動的力學特性將發生改變。程春等[10]研究了超載、欠載情況下的準零剛度特性，結果表明，載荷變化會導致隔振效果變差，但是依舊優于線性系統。考慮到負載變化帶來的問題，Lan等[11]研究了不同負載對準零剛度特性的影響和不同負載下隔振器的調整機制。徐道臨等[12]提出一種氣動可調式的隔振器，通過改變氣缸內氣體壓力來適應載荷變化。考慮到隔振器的負載變化問題，筆者提出了一種機械式的可調隔振器，只需要改變準零剛度彈簧傾斜角度，便可適應負載的變化，調節簡單，所需能量少。

1 準零剛度彈簧模型

準零剛度彈簧如圖1所示，該彈簧的特點是結構緊湊，由套筒、活塞、桿、線性彈簧和負剛度機構等組成。線性彈簧的剛度為k，支撐負載載荷。負剛度機構如圖2所示，由凸輪、歐拉梁和滾輪等組成。凸輪固定在活塞桿上，半徑為r1；歐拉梁固定在套筒上，長度為S；滾輪固定在歐拉梁上，半徑為r2。當負剛度機構處于平衡位置時，如圖2(a)所示，歐拉梁彎曲變形，其形變作用力不產生豎直方向的分量；當受到擾動偏離平衡位置時，如圖2(b)所示，歐拉梁的形變力提供豎直方向的負力，同時歐拉梁的形變減小；當偏離平衡位置的量繼續增加，歐拉梁的形變力減到0時，如圖2(c)所示，負剛度機構將不提供任何力。

圖1 準零剛度彈簧Fig.1 Quasi-zero-stiffness spring

圖2 負剛度機構Fig.2 Negative stiffness mechanism

設歐拉梁無形變時，歐拉梁與活塞桿的距離為δ，若在活塞桿上施加力f，使活塞桿產生位移Δl，歐拉梁的形變力通過凸輪施加給活塞桿。此時

f=kΔx-2f1cosα

(1)

其中：f1為凸輪與滾輪的相互作用力；α為力f1與豎直方向的夾角。

由文獻[6]可以得到力f1的計算公式為

(2)

將式(2)帶入式(1)得

(3)

將式(3)無量綱化為

(4)

(5)

對上式求導，得到無量綱剛度

(6)

(7)

(8)

圖3 無量綱力與位移曲線Fig.3 Dimensionless force and displacement curve

圖4 無量剛度與位移曲線Fig.4 Dimensionless stiffness and displacement curve

2 可變負載的準零剛度隔振器模型

對于圖1所示的準零剛度彈簧，負載的變化必然使隔振器的靜平衡位置發生變化，使隔振器的隔振性能變差。為了使隔振器適應負載的變化，設計了如圖5所示的隔振器。

圖5 可變負載的準零剛度隔振器Fig.5 Quasi-zero-stiff vibration isolator with variable load

該隔振器由準零剛度彈簧、半徑為R的滑軌、豎直方向的固定桿和套筒組成。準零剛度彈簧一端固定在套筒上，另一端固定在滑軌上，其與豎直方向的夾角為θ。處于平衡位置時，彈簧長度為R，上下2根彈簧處于旋轉對稱的位置。負載變化時，可通過改變θ的大小，改變準零剛度彈簧提供的負載力，當θ=0時承載能力最大。若隔振器的最大載重為M，則隔振器理論上可以在0～M之間保持準零剛度的特性，但是隨著θ的增加，隔振器的相對位移幅度將減小。

θ=0時，隔振器的最大負載力為

FM=Mg

(9)

若隔振器的負載減小為m時，隔振器提供的負載力為

Fm=FMcosθ=mg

(10)

此時，若隔振器在力FQ下產生位移x，則有

(11)

將式(11)無量綱化得

(12)

圖6 隔振器的無量綱力與位移關系圖Fig.6 The dimensionless force and displacement diagram of vibration isolator

(13)

精確式與簡化式的對比如圖7所示，實線代表原式(12)，虛線代表化簡式(13)。從圖中可以看出，三階泰勒式(13)可較好地表示原式(12)。

圖7 精確式與簡化式的對比圖Fig.7 The precise and simplified type contrast diagram

3 幅頻特性分析

本節采用平均法推算了隔振器的主共振響應，并分析參數對振動響應的影響。當隔振器受到基礎激勵時，振動方程為

(14)

其中：z為被隔振物的位移；y為基礎激勵位移；m為被隔振物的質量；c為隔振器阻尼；FQ(z-y)為彈性恢復力。

令z-y=x，無量綱化后得

(15)

(16)

整理得

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

解得

(22)

(23)

其中

λ=arccos(c1/A1)。

(24)

為研究隔振參數對相對位移x的影響，令A2=0.1，ξ=0.01，θ分別為0，π/6和π/4，幅頻特性如圖8所示。從圖中可以看出，當θ不為0時，幅頻特性具有漸硬-漸軟性質，共振段先向右偏，然后向左偏，與普通準零剛度隔振器相比，壓縮了共振段的頻率范圍，減小了最大共振頻率。隨著θ的增加，共振的峰值減小，共振頻率范圍向低頻方向移動。令ξ=0.01，θ=π/6，A2分別為0.1，0.2和0.3，激勵幅值對幅頻特性的影響如圖9所示，激勵幅值越大，向下跳躍頻率和向上跳躍頻率越大。令A2=0.1，θ=π/6，ξ分別為0.01，0.02和0.03，阻尼對幅頻特性的影響如圖10所示，與線性系統類似，阻尼比增大可以減小共振峰值。

圖8 θ對幅頻特性的影響Fig.8 The effect of θ on amplitude-frequency characteristics

圖9 激勵幅值對幅頻特性的影響Fig.9 The effect of excitation amplitude on amplitude-frequency characteristics

圖10 阻尼對幅頻特性的影響Fig.10 The effect of damping on amplitude-frequency characteristics

4 位移傳遞率分析

對于基礎激勵隔振，位移傳遞率是隔振性能的重要衡量指標。由于z=x+y，設被隔振物的振動幅值為A3，則有

(25)

位移傳遞率為

(26)

分析參數變化對位移傳遞率的影響，作式(26)的對數幅頻圖。令A2=0.1，ξ=0.01，θ分別為0，π/6和π/4，θ對位移傳遞率的影響如圖11所示。從圖中可以看出：隨著θ的增加，向下跳躍頻率和向上跳躍頻率均減小，振動峰值也降低；而且θ的增加使振動峰值處具有漸軟特性，θ越大，這種特性越明顯。在下支的低頻段，θ越大，傳遞率越小，但是隨著頻率的增加，傳遞率趨于一致。由此可看出θ的增加對共振有一定的抑制作用，并且可以降低起始隔振頻率。

圖11 θ對位移傳遞率的影響Fig.11 The effect of θ on displacement transfer rate

令ξ=0.01，θ=π/6，A2分別為0.1，0.2和0.3，激勵幅值對位移傳遞率的影響如圖12所示。隨著激勵幅值的增加，向下跳躍頻率和向上跳躍頻率均增加，而且振動峰值處具有漸軟特性越加明顯。在下支的低頻段，激勵幅值增大會增大位移傳遞率，但是隨著頻率的增加，傳遞率趨于一致。令A2=0.1，θ=π/6，ξ分別為0.01，0.02和0.03，阻尼對位移傳遞率的影響如圖13所示，阻尼比增大可以抑制共振，但是削弱了非共振段的隔振能力。

圖12 激勵幅值對位移傳遞率的影響Fig.12 The effect of excitation amplitude on displacement transfer rate

圖13 阻尼對位移傳遞率的影響圖Fig.13 The effect of damping on displacement transfer rate

5 結 論

1) 筆者提出的隔振器可以通過改變準零剛度彈簧的夾角來適應負載變化，使隔振器在靜平衡位置保持準零剛度的特性，解決了負載變化導致隔振性能降低的問題，而且隔振器剛度隨著夾角的增加而降低，可以進一步提高隔振器的低頻隔振性能。

2) 對于位移傳遞率，隨著準零剛度彈簧夾角的增加，可以降低起始隔振頻率，對共振有一定的抑制作用。阻尼比的變化對隔振系統位移傳遞率的影響與線性系統類似。激勵幅值的增加能降低同頻率的共振傳遞率，使傳遞率峰值向低頻方向移動，但同時也增加了低頻段的非共振移傳遞率。

3) 對于相對位移的幅頻特性，激勵幅值越大，相對位移越大；阻尼增加，共振峰值減小；隨著準零剛度彈簧夾角的增加，可以改善共振特性，減小振動峰值，降低起始隔振頻率。