基于FRFT的多分量LFM 信號檢測與參數(shù)估計方法

宋耀輝，黃仰超，張衡陽，秦智康，高維廷

（空軍工程大學 信息與導航學院，西安710077）

變換域通信在電磁環(huán)境日益復雜、通信干擾樣式日益多樣化的條件下被提出，其以獨特的頻譜感知、主動規(guī)避干擾頻段的通信思想，得到了廣泛發(fā)展。目前，對多分量線性調頻（LFM）干擾信號參數(shù)進行準確估計是變換域通信的一個難題，也是影響通信質量的關鍵因素。在關于LFM 信號檢測與參數(shù)估計的典型方法中，文獻［1-2］通過W-V變換進行參數(shù)估計，但是由于該變換的非線性性質，導致運用到多分量信號參數(shù)估計時出現(xiàn)交叉項干擾，影響參數(shù)估計精度；文獻［3-5］將分數(shù)階傅里葉變換（Fractional Fourier Transform，F(xiàn)RFT）與短時傅里葉變換（Short-Time Fourier Transform，STFT）分析方法結合，消除了多分量參數(shù)估計時交叉項的干擾，但由于需要選擇合適的窗函數(shù)，增加了算法的復雜度；文獻［6］提出一種低復雜度的參數(shù)估計算法，通過不斷迭代找到信號的沖擊量，但該算法受限于采樣頻率；文獻［7-8］利用分數(shù)階自相關函數(shù)尋找峰值，文獻［9］減少信號采樣點數(shù)，文獻［10］采用稀疏傅里葉變換，分別從各自角度減小運算復雜度，但都未就具體如何尋找最優(yōu)旋轉角度進行討論；文獻［11］提出一種高效的FRFT算法，可快速準確地估計信號參數(shù)，但不適用于多分量LFM信號的情況。

本文提出一種快速準確地檢測并估計多分量LFM信號參數(shù)的方法。該方法借助FRFT與W-V變換間的旋轉等價關系，以及LFM 信號在分數(shù)域的功率譜是聚集性優(yōu)良的直線段特點，推導出不同旋轉角度下直線段長度間存在近似線性關系；利用2個初始角度下LFM 信號的時頻直線段長度，定位出最優(yōu)旋轉角度的粗略值；再根據(jù)LFM信號功率譜幅值隨旋轉角度的變化規(guī)律，以最高效方式搜尋最優(yōu)旋轉角度，并估計信號參數(shù)。利用CLEAN思想，逐個搜尋整個頻域內所有的LFM信號分量。為提高檢測方法的抗噪能力，采用移動窗濾波器，對時域信號進行功率譜平滑去噪，并在變換域求平均，從而更好地獲取時頻直線段長度。與傳統(tǒng)的多分量LFM 信號檢測方法相比，本文方法具有較高的精確度和較低的運算復雜度，且抗噪能力強。

1 LFM 信號的分數(shù)域分析原理

FRFT是傅里葉變換的擴展形式，是分析頻率時變類信號的有力工具。文獻［12］推導出FRFT與W-V分布之間的關系如下：

由此可知，F(xiàn)RFT是W-V變換在時頻域旋轉一定角度得到的，信號在兩者的映射中存在密切聯(lián)系。

在此基礎上，文獻［11］分析出單分量LFM信號在這2種時頻域中映射直線段之間的關系為

式中：Lφ為信號在W-V變換域中的時頻線長度；φ為W-V變換的時頻線角度；Lα為分數(shù)階長度；α為分數(shù)階傅里葉變換旋轉角度。

假設某單分量LFM信號為

式中：A為信號幅度；f0為初始頻率；k為調頻系數(shù)。

對該信號進行不同旋轉角度的FRFT變換，得到函數(shù)圖像如圖1所示。

分別用Lα1、Lα2表示信號在旋轉角度α1、α2的分數(shù)域直線段長度，不妨設α-φ＞0，可得

圖1 LFM信號在不同旋轉角度的分數(shù)階長度Fig.1 Fractional order length of LFM signal at different rotation angles

令x1＝α1-φ，x2＝α2-φ，將等式右側進行泰勒展開，得到

當x1，x2＜1時，

即當旋轉角度α接近最優(yōu)旋轉角度αo時，Lα和旋轉角度距最優(yōu)旋轉角度的距離α-αo近似成正比關系，如圖2所示。

圖2 旋轉角度與分數(shù)階長度關系的理想模型Fig.2 Ideal model of relationship between rotation angle and fractional order length

根據(jù)三角形相似原理，進行簡單的幾何推導，可得最優(yōu)旋轉角度的估計值為此時?αo較接近理想旋轉角度αo，為進一步提高估計精度，考慮以為搜索中心，搜尋獲取最優(yōu)旋轉角度的精確值。具體描述為：尋找LFM信號在最優(yōu)旋轉角度形成的沖激信號，根據(jù)沖激信號參數(shù)及旋轉角度，對信號時域參數(shù)進行估計，如下：

多分量LFM信號是各個單分量LFM信號的線性疊加，如下：

根據(jù)FRFT的線性特性，在分數(shù)域中多分量LFM信號頻譜圖中表現(xiàn)為出現(xiàn)平行于u軸的直線段的突變。圖3為一個二分量LFM信號在FRFT變換中的函數(shù)圖像。

圖3 兩個LFM信號相加時的FRFT功率譜Fig.3 FRFT power spectrum of two added LFM signals

本文借鑒CLEAN 思想，首先研究某分量LFM信號，利用上述方法估計該分量的精確參數(shù)，并在相應的分數(shù)域中對該分量精確剔除；然后將剔除后的信號返回FRFT的初始旋轉角度，繼續(xù)對下一目標進行搜索、參數(shù)估計和剔除；設定最低門限，直到所有信號都被檢測出來為止。

2 多分量LFM 信號檢測原理

在運用上述原理進行多分量LFM 信號檢測與參數(shù)估計時，需要先確定初始旋轉角度α1和α2。根據(jù)文獻［13］，α取值范圍為［π／4，3π／4］時，可得到信號的理想分數(shù)階直線；又因為分數(shù)階旋轉角度α和分數(shù)階次p的關系為α＝pπ／2，所以p的取值范圍為［0.5，1.5］；結合仿真經(jīng)驗，本文取p1、p2分別為0.7和0.75。同時在進行信號的分數(shù)域分析時，由于時頻域單位不統(tǒng)一，導致計算存在誤差。參考文獻［14］，對信號進行單位歸一化處理，取歸一化尺度因子S＝（t0／fs）1／2，t0為采樣時間，fs為采樣頻率。

2.1 多分量LFM 信號檢測算法

LFM信號功率譜分布存在規(guī)律，隨旋轉角度與最佳旋轉角度的差值變化。根據(jù)文獻［15］，單分量LFM信號f在旋轉角度α的分數(shù)階幅度為

當信號的調頻系數(shù)k為固定值時，其函數(shù)圖像如圖4所示。

根據(jù)功率譜函數(shù)表達式及其函數(shù)圖像可得：

1）當旋轉角度等于最優(yōu)旋轉角度時，其FRFT功率譜表現(xiàn)為沖激函數(shù)。

2）在靠近最優(yōu)旋轉角度時，分數(shù)階幅度增長速率越來越快，幾乎成指數(shù)增長；在遠離最優(yōu)旋轉角度時，分數(shù)階幅度緩慢減小，且幅值不大。

圖4 旋轉角度、分數(shù)階次與分數(shù)階幅度關系Fig.4 Relationship between rotation angle and fractional order amplitude，fractional order and fractional order amplitude

根據(jù)上述變化規(guī)律，本文采取以下搜尋算法：步驟1 根據(jù)式（7）計算最優(yōu)分數(shù)階次的初始搜索中心

圖5 chirp信號調頻系數(shù)k與最優(yōu)分數(shù)階次p關系Fig.5 Relationship between frequency modulation coefficient k of chirp signal and optimal fractional order p

步驟6 根據(jù)式（8）估計該分量信號參數(shù)，并在相應分數(shù)域將該信號精確剔除，剔除后返回到步驟1進行下一分量的估計。

步驟7 設定門限值，重復步驟1～步驟6，直到精確估計出所有LFM分量。

2.2 計算量分析

在對多分量LFM 信號的各個分量進行參數(shù)估計時，主要運算集中在不同分數(shù)階次FRFT的計算。當噪聲影響及多分量LFM 信號間干擾較小時，對各信號分量的功率譜直線段長度估計就越準確，而搜索中心就越接近最優(yōu)分數(shù)階次。

結合式（7）、式（11）可得有噪聲干擾狀態(tài)與無噪聲干擾狀態(tài)下的初始分數(shù)階次之間相差n次搜尋：

假設對信號取N點采樣，則進行一次FRFT變換需O（N lg N）次運算，那么對單分量FM 信號參數(shù)的精確估計需O（15.5N lg N）次運算。相比于傳統(tǒng)搜索算法，要達到最優(yōu)分數(shù)階次為0.000 1的估計精度，需要20 000次分數(shù)階傅里葉變換，本文算法在保證估計精度的前提下運算量顯著降低。

2.3 噪聲影響

在低信噪比條件下使用上述搜尋算法時，本文采取多項式擬合的方法進行信號處理，分別在時頻域對信號進行S-G濾波，以便確定LFM信號在初始分數(shù)階次的分數(shù)階長度。首先對時域采樣信號平滑去噪，在盡量減小失真的情況下獲取清潔信號；然后在分數(shù)域擴大移動窗長度求均值，獲取頻譜圖像的直線段長度。

對信號采用S-G FIR平滑濾波器進行平滑濾波，其濾波原理如下：確定移動窗長度，在移動窗內利用最小二乘原理，對數(shù)據(jù)進行多項式擬合。假設對時域采樣信號平滑降噪時，擬合多項式階次為n1，移動窗長度為N1；對分數(shù)域信號求均值時，多項式擬合階次為n2，移動窗長度為N2。為減少時域信號失真，在較短窗范圍內，選取高階多項式進行平滑去噪，這里取N1＝N／80，n1＝5；在分數(shù)域求平均時，應該劃定較大的窗范圍，這里取N2＝N／8，n2＝0。

圖6為單分量LFM信號在采樣點為800時，進行本文算法處理得到的變換圖像。經(jīng)過圖形對比可以看出，用本文算法濾波后的圖形更容易確定信號的分數(shù)階長度。

圖6 采樣信號在旋轉角度α1 時的分數(shù)階幅度Fig.6 Fractional order amplitude of sampled signal at rotation angle α1

3 模擬仿真

1）仿真1

驗證噪聲對多分量LFM信號檢測與參數(shù)估計產(chǎn)生的影響。根據(jù)2.2節(jié)分析，噪聲功率過大時將無法提取LFM 信號的分數(shù)階長度，而分量之間的相互干擾主要在小范圍內影響所獲取分數(shù)階長度的準確度。本仿真研究本文方法的抗噪能力，即在有噪聲情況下提取LFM信號分數(shù)階長度的性能。考慮將問題簡化，選用單分量LFM 信號替代多分量LFM信號進行測試。信號表達式如式（13），幅值為1，采樣頻率為600Hz，采樣時間為2 s，采樣點數(shù)為1201個。

先在無噪聲條件下進行多次參數(shù)估計，獲取平均誤差；再在此基礎上，進行不同信噪比條件下的信號檢測，獲取檢測概率。

仿真結果為：調頻系數(shù)平均估計值為60.0935，絕對誤差為0.093 5，相對誤差為1.56×10-3；初始頻率平均估計值為19.870 7，絕對誤差為0.129 3，相對誤差為6.47×10-3。給信號加入高斯白噪聲，當信噪比為［-10，0］dB條件下，在不同信噪條件下分別模擬仿真100次，得到成功檢測并精確估計出信號參數(shù)的概率，如圖7所示。由此可知，當信噪比大于-6 dB時，成功檢測信號的概率可達到90%以上；當信噪比降低到-7 dB時，成功檢測信號的概率降低到50%；當信噪比降低到-9 dB時，隨著噪聲增大，信噪比降低，成功檢測信號的概率穩(wěn)定在5%左右。

2）仿真2

圖7 不同信噪比條件下信號的成功檢測概率Fig.7 Probability of successful signal detection under different SNRs

為驗證本文方法對多分量LFM 信號檢測與參數(shù)估計的有效性，設置三分量LFM信號的參數(shù)估計。信號表達式見式（14），采樣頻率為600 Hz，采樣時間為2 s，采樣點數(shù)為1 201個，為使仿真更具一般性，給信號加入高斯白噪聲，使信噪比達到-3 dB，仿真結果如表1所示，表中pi表示第i分量對應的最佳分數(shù)階次估計值。

結果表明，在信噪比為-3 dB條件下，使用本文方法能快速準確地對信號各分量進行有效估計。但是在對每一分量進行參數(shù)估計時，由于在分數(shù)域未將相應的信號分量濾除干凈，存在相同分量的重復檢測現(xiàn)象。該現(xiàn)象不對方法精度造成影響，但進行多分量LFM 信號參數(shù)估計時，該現(xiàn)象增加了對每一分量的檢測次數(shù)，降低了整體方法效率。

3）仿真3

本仿真驗證本文方法的運算量。將仿真1中單分量LFM信號在不同信噪比條件下的仿真運算次數(shù)記錄于表2；將仿真2中信噪比達到-3 dB條件下，三分量LFM 信號檢測時，進行20次試驗，將各個分量平均運算次數(shù)記錄于表3。

表1 三分量LFM 信號檢測與參數(shù)估計仿真結果Table 1 Simulation results of three-component LFM signal detection and parameter estimation

表2 單分量LFM 信號FRFT調用次數(shù)與信噪比Table 2 FRFT calls and SNR of single-component LFM signals

表3 三分量LFM 信號運算次數(shù)Table 3 Operation times of three-component LFM signals

分析表2數(shù)據(jù)，對單分量LFM 信號參數(shù)估計時，進行FRFT運算次數(shù)基本上與理論分析值相符，但少于理論分析中的15.5次運算，這是由所選的信號參數(shù)決定的，當選取大量不同參數(shù)的信號進行模擬仿真時，平均運算量將接近理論值；分析表3數(shù)據(jù)，對三分量LFM 信號參數(shù)估計時，平均對每一分量的FRFT運算次數(shù)都超出理論值的2～3倍，這也反映出由于在分數(shù)域未將已估計分量濾除干凈，所導致的相同分量重復檢測現(xiàn)象。

4 結 論

本文提出了一種多分量LFM 信號檢測和參數(shù)估計的方法——利用FRFT的線性性質，對各分量單獨分析，每次尋找一個分量的分數(shù)階沖激函數(shù)，估計該分量的參數(shù)，然后在分數(shù)域將其剔除。

1）利用信號各角度FRFT之間的幾何關系，提出最優(yōu)分數(shù)階次粗略值?po的計算方法，且?p o距離最優(yōu)分數(shù)階次po誤差可達到0.1以內。

2）進一步提高估計精度，按照信號的分數(shù)階幅度分布規(guī)律，提出一種高效的搜尋算法。

3）為克服各信號分量之間的相互干擾及噪聲影響，分別在時域和頻域進行階數(shù)和窗長度不等的S-G濾波，提高精確估計出信號參數(shù)的概率。同時該方法在進行沖激函數(shù)剔除時存在不足，下一步可引入分數(shù)域濾波器，減少對同一分量的重復檢測。