基于反饋線性化的MSCMG轉(zhuǎn)子穩(wěn)定控制

湯繼強(qiáng)，隗同坤，寧夢月，崔旭

（北京航空航天大學(xué) 儀器科學(xué)與光電工程學(xué)院，北京100083）

磁懸浮控制力矩陀螺（Magnetically Suspended Control Moment Gyro，MSCMG）是一種用于衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動的關(guān)鍵執(zhí)行機(jī)構(gòu)，其高速轉(zhuǎn)子采用磁軸承支承，無接觸、無摩擦，避免了黏滯力矩、靜摩擦等問題，具有長壽命、高精度的優(yōu)點，可以用于航天器的姿態(tài)控制［1-5］。單框架磁懸浮控制力矩陀螺（Single Gimbal Magnetically Suspended Control Moment Gyro，SGMSCMG）由單個框架系統(tǒng)和轉(zhuǎn)子系統(tǒng)組成，框架帶動高速旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)，從而輸出大力矩，矯正航天器的姿態(tài)［6］。高速旋轉(zhuǎn)的磁懸浮轉(zhuǎn)子具有強(qiáng)陀螺效應(yīng)，因此在轉(zhuǎn)子徑向兩方向偏轉(zhuǎn)控制上存在動力學(xué)耦合。此外轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與框架系統(tǒng)之間也存在耦合關(guān)系，框架運動導(dǎo)致轉(zhuǎn)子出現(xiàn)附加的相對運動，跳動量加大，高速時可能碰撞保護(hù)軸承，影響磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，被稱作“動框架效應(yīng)”，這使得磁懸浮高速轉(zhuǎn)子的動力學(xué)行為更加復(fù)雜，控制難度增大［7-10］。

消除轉(zhuǎn)子系統(tǒng)徑向耦合的算法主要包括比例-積 分-微 分（Proportional-Integral-Differential，PID）交叉控制方法、最小二乘向量積解耦方法、逆系統(tǒng)方法、微分幾何方法等［11-14］。其中，PID交叉控制方法將偏轉(zhuǎn)通道耦合部分以交叉項方式引入PID控制中，結(jié)構(gòu)簡單，但缺乏有效的參數(shù)設(shè)計方法，誤差不可避免；最小二乘向量積解耦方法、逆系統(tǒng)方法等運算復(fù)雜，需要大量的計算資源，限制了其在航天器姿態(tài)控制中的廣泛應(yīng)用；微分幾何方法設(shè)計簡單、實時性好，能夠有效抑制高速轉(zhuǎn)子徑向偏轉(zhuǎn)通道間的耦合，成為研究的熱點。基于微分幾何原理的反饋線性化控制方法，采用坐標(biāo)變換完成了磁軸承非線性系統(tǒng)的徑向磁軸承通道的解耦和線性化［15］，利用反饋線性化對雙框架MSCMG的耦合力矩進(jìn)行解耦［16］，將微分幾何方法與擴(kuò)張狀態(tài)觀測器相結(jié)合來抑制轉(zhuǎn)子擾動［17］。

為了實現(xiàn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的高精度穩(wěn)定控制，現(xiàn)有控制算法包括PID算法、自適應(yīng)控制、H∞控制、μ控制、滑模控制、內(nèi)模控制等［18-22］。PID算法易于實現(xiàn)，但是魯棒性稍差，尤其對于復(fù)雜干擾的機(jī)動性較差。自適應(yīng)控制、H∞控制和μ控制具有較強(qiáng)的魯棒性，但算法復(fù)雜，因計算量大不適合于磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)控制。滑模控制響應(yīng)迅速，可以有效抑制干擾，但在變結(jié)構(gòu)切換中容易引起系統(tǒng)抖振。內(nèi)模控制結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性強(qiáng)、參數(shù)在線調(diào)整方便，文獻(xiàn)［23］將內(nèi)模控制與逆系統(tǒng)解耦控制相結(jié)合，實現(xiàn)了轉(zhuǎn)子的高精度控制，文獻(xiàn)［24］將前饋解耦控制與內(nèi)模控制結(jié)合，增強(qiáng)了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的抗擾性。相比于傳統(tǒng)內(nèi)模控制，增強(qiáng)型內(nèi)模控制改進(jìn)了控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，提高了對參數(shù)攝動的魯棒性，可以良好地抑制外部干擾影響，并減少調(diào)節(jié)參數(shù)，更適合應(yīng)用于磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)［25］。

實際系統(tǒng)中，磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在非線性參數(shù)攝動，其降低了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的控制精度，進(jìn)而影響陀螺輸出力矩精度。因此實現(xiàn)轉(zhuǎn)子徑向偏轉(zhuǎn)通道的高精度解耦，抑制非線性參數(shù)攝動以及框架擾動，增強(qiáng)轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性，提高控制精度是轉(zhuǎn)子控制的重要目的。本文針對磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)提出反饋線性化增強(qiáng)型內(nèi)模控制方法，通過反饋線性化消除轉(zhuǎn)子徑向偏轉(zhuǎn)耦合，采用增強(qiáng)型內(nèi)模控制實現(xiàn)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)高精度穩(wěn)定控制。

1 SGM SCMG轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型

如圖1所示，SGMSCMG主要由2個兩自由度的徑向磁軸承、2個單自由度的軸向磁軸承、轉(zhuǎn)子、轉(zhuǎn)子高速電機(jī)、徑向位移傳感器、軸向位移傳感器、框架、框架電機(jī)、角位置傳感器、陀螺房及基座組成［26］。

圖1 SGMSCMG結(jié)構(gòu)示意圖［26］Fig.1 Structure diagram of SGMSCMG［26］

徑向磁軸承和軸向磁軸承實現(xiàn)轉(zhuǎn)子五自由度全主動控制，即沿X、Y、Z軸的三自由度平動和繞X、Y軸的兩自由度轉(zhuǎn)動；轉(zhuǎn)子高速電機(jī)控制轉(zhuǎn)子系統(tǒng)繞軸向的轉(zhuǎn)動；徑向位移傳感器和軸向位移傳感器分別用于監(jiān)測轉(zhuǎn)子在徑向和軸向的位移；框架電機(jī)驅(qū)動框架轉(zhuǎn)動，帶動高速旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)，從而輸出大力矩；角位置傳感器用于監(jiān)測框架轉(zhuǎn)動角度［6］。

為了建立磁懸浮轉(zhuǎn)子的動力學(xué)模型，以轉(zhuǎn)子的幾何中心為坐標(biāo)系的原點O，建立坐標(biāo)系如圖2所示［23］。令轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，轉(zhuǎn)子以Ω速度旋轉(zhuǎn)，X軸的方向由X-指向X+，Y軸的方向由Y-指向Y+，X軸與Y軸構(gòu)成垂直于Z軸的徑向平面。G指向轉(zhuǎn)子重力方向，X軸和Y軸關(guān)于Z軸與G方向形成的平面對稱，且X軸和Y軸與該平面的夾角都為45°。除磁懸浮轉(zhuǎn)子繞Z軸的轉(zhuǎn)動由電機(jī)控制外，其余的5個自由度均由磁軸承控制。磁懸浮力分為徑向磁懸浮力和軸向磁懸浮力，如圖2所示，其中，fax和fay為徑向磁軸承A所產(chǎn)生的磁力，fbx和fby為徑向磁軸承B所產(chǎn)生的磁力，可以合成X軸和Y軸方向的磁力fx和fy，以及X軸和Y軸方向的轉(zhuǎn)動力矩px和py。fz為沿Z軸方向的磁力，x和y分別為轉(zhuǎn)子沿X軸和Y軸方向的平動位移，α和β分別為轉(zhuǎn)子繞X軸和Y軸的轉(zhuǎn)動角度，θg為框架旋轉(zhuǎn)角度，ωg為角速度。電磁力可以用電流剛度和位移剛度表示，以徑向AX通道為例，表達(dá)式為：fax＝?khx+?kii，?kh為位移剛度，?ki為電流剛度，x和i分別為該通道的位移與控制電流。

理想狀態(tài)下，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)平動與轉(zhuǎn)動之間不存在耦合，當(dāng)轉(zhuǎn)子繞中心作定點轉(zhuǎn)動時，可以把轉(zhuǎn)子平動和繞中心的轉(zhuǎn)動分開考慮，且轉(zhuǎn)子沿Z軸的平動與其他自由度解耦，控制較為簡單，故Z軸的平動不再考慮。根據(jù)牛頓第二定律、歐拉動力學(xué)方程和轉(zhuǎn)子動力學(xué)方程，建立磁懸浮轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型為

圖2 SGMSCMG坐標(biāo)系［23］Fig.2 Coordinate system of SGMSCMG［23］

式中：m為轉(zhuǎn)子的質(zhì)量；Jrx、Jry和Jrz分別為轉(zhuǎn)子繞X、Y、Z軸的轉(zhuǎn)動慣量，由于磁懸浮轉(zhuǎn)子為對稱結(jié)構(gòu)，故Jrx＝Jry＝Jrr；lm為從磁懸浮轉(zhuǎn)子中心到徑向磁軸承中心的距離；ix和iy分別為轉(zhuǎn)子沿X軸和Y軸平動通道的控制電流；iα和iβ分別為轉(zhuǎn)子繞X軸和Y軸偏轉(zhuǎn)通道的控制電流。

圖3 電流剛度與位移剛度變化曲線Fig.3 Curves of current stiffness and displacement stiffness variations

圖3（a）、（b）分別給出了徑向各通道（徑向AX、AY、BX、BY通道）磁中心處電流剛度與電流的關(guān)系和零電流時位移剛度與位移關(guān)系曲線，4條曲線分別由徑向四通道的測試點擬合而成。由圖可見，電流剛度和位移剛度均為非線性參數(shù)。實際系統(tǒng)中，由于加工、裝配及材料等因素的影響，磁懸浮轉(zhuǎn)子的懸浮位置也不完全處于幾何中心，當(dāng)轉(zhuǎn)子偏移，磁力的非線性則明顯增加。考慮到電流剛度和位移剛度的非線性，將電流剛度與位移剛度分為兩部分，kh和ki分別為零電流時平衡位置處的位移剛度和磁中心處零電流時的電流剛度，Δkh和Δki分別為位移剛度和電流剛度的非線性變化量。

由式（2）可得轉(zhuǎn)子動力學(xué)模型中的電磁力非線性擾動為

式中：dx和dy分別為X軸和Y軸平動通道干擾；dα和dβ分別為X軸和Y軸偏轉(zhuǎn)通道干擾。

由式（2）可知，框架角速度和角加速度只存在于轉(zhuǎn)子的徑向偏轉(zhuǎn)運動方程中，因此框架偏轉(zhuǎn)主要影響轉(zhuǎn)子徑向偏轉(zhuǎn)。當(dāng)框架轉(zhuǎn)動后，框架對轉(zhuǎn)子存在牽連運動θg，牽連運動是突然加入的強(qiáng)運動，由于框架與轉(zhuǎn)子的動力學(xué)耦合，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子出現(xiàn)附加的相對運動。

框架轉(zhuǎn)動對轉(zhuǎn)子徑向偏轉(zhuǎn)運動的影響，等效于框架靜止時轉(zhuǎn)子受到外部擾動力矩prx和pry，力矩的大小取決于框架角速度和角加速度，即

表1 SGMSCMG設(shè)計參數(shù)Table 1 Design parameters ofＳＧMＳCMＧ

2 轉(zhuǎn)子徑向系統(tǒng)反饋線性化

2.1 轉(zhuǎn)子徑向平動反饋線性化

由于轉(zhuǎn)子沿X軸、Y軸的平動表示形式相同，故以X軸的平動為例進(jìn)行反饋線性化，為方便控制器的設(shè)計，采用電流型功放做功率驅(qū)動器，根據(jù)式（2），定義X軸狀態(tài)變量xx、輸入變量ux和輸出變量yx分別為：xx＝［x，˙x］T＝［xx1，xx2］T，ux＝ix，yx＝xx1。

于是，非線性系統(tǒng)（2）的X軸平動狀態(tài)方程為

基于微分幾何原理的反饋線性化方法，通過狀態(tài)反饋和坐標(biāo)變換，在滿足全狀態(tài)反饋線性化的條件下，可將轉(zhuǎn)子徑向平動系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為完全能控的積分鏈?zhǔn)絺尉€性系統(tǒng)［27］。

若定義

定義標(biāo)量函數(shù)h（xx）對于向量場f（xx）的李導(dǎo)數(shù)為

原系統(tǒng)等效轉(zhuǎn)化為如圖4所示的積分鏈?zhǔn)絺尉€性系統(tǒng)。

圖4 徑向平動坐標(biāo)變換Fig.4 Coordinate transformation of radial translation motion

2.2 轉(zhuǎn)子徑向偏轉(zhuǎn)反饋線性化

與經(jīng)典的泰勒級數(shù)展開近似線性化方法相比，基于微分幾何原理的線性化方法能夠解耦多變量耦合系統(tǒng)［27］。由式（2）可知，轉(zhuǎn)子的徑向偏轉(zhuǎn)是相互耦合的，將耦合的系統(tǒng)利用微分幾何原理進(jìn)行坐標(biāo)變換，可以對耦合的系統(tǒng)進(jìn)行反饋補(bǔ)償，最終將系統(tǒng)解耦并轉(zhuǎn)化為積分鏈形式。這里采用電流型功放做功率驅(qū)動器，根據(jù)式（2），定義偏轉(zhuǎn)狀態(tài)變量xαβ、uαβ和yαβ分別為

轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)動力學(xué)方程可以表示為

若定義

與徑向平動處理類似，根據(jù)式（7）對式（12）進(jìn)行如下運算：

系統(tǒng)的相對階為（2，2），而2+2＝4與系統(tǒng)狀態(tài)變量的維數(shù)相等，因此滿足狀態(tài)反饋線性化的條件，根據(jù)微分幾何原理，取如下坐標(biāo)變換：

系統(tǒng)解耦并變換為單輸入單輸出的積分鏈形式，如圖5所示。

通過反饋線性化，可以得到4個獨立的徑向運動系統(tǒng)，由于轉(zhuǎn)子平動和偏轉(zhuǎn)運動的模型相同，這里以轉(zhuǎn)子繞X軸偏轉(zhuǎn)通道為例設(shè)計控制器。

圖5 徑向偏轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換Fig.5 Coordinate transformation of radial tilt motion

3 增強(qiáng)型內(nèi)模控制器設(shè)計

由于系統(tǒng)存在非線性參數(shù)攝動，導(dǎo)致建模誤差增大，采用傳統(tǒng)控制方法（PID交叉控制）、滑模控制等難以保證系統(tǒng)的魯棒性。增強(qiáng)型內(nèi)模控制方法改進(jìn)了內(nèi)模控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，能夠彌補(bǔ)系統(tǒng)模型的建模誤差，提高對參數(shù)攝動的魯棒性，具有較強(qiáng)的抗干擾性能。因此設(shè)計了基于反饋線性化的增強(qiáng)型內(nèi)模控制方法，控制結(jié)構(gòu)如圖6所示。

教師提出核心問題：“細(xì)胞核在細(xì)胞的生命活動中有什么作用呢？”以此問題激發(fā)學(xué)生求知欲望。接著教師提供資料，并提出系列問題引導(dǎo)學(xué)生思考（表1）。

圖6中，R（s）為系統(tǒng)輸入，Y（s）為系統(tǒng)輸出，Gp（s）為實際被控對象，Gm（s）為被控對象內(nèi)部模型，Em（s）為被控對象內(nèi)部模型與實際模型之差，GI1（s）和GI2（s）為內(nèi)模控制器，K為補(bǔ)償系數(shù)，D（s）為擾動。根據(jù)圖6，可以得到輸出Y（s）的表達(dá)式為

圖6 增強(qiáng)型內(nèi)模控制器結(jié)構(gòu)Fig.6 Structure of enhanced internal model control

增強(qiáng)型內(nèi)模控制將建模誤差補(bǔ)償?shù)奖豢貙ο蟮妮斎攵耍ㄟ^控制器GI2（s）的反饋調(diào)節(jié)，以及調(diào)節(jié)補(bǔ)償系數(shù)K，可以提高控制系統(tǒng)對參數(shù)攝動的魯棒性。經(jīng)過反饋線性化解耦及坐標(biāo)變換，該通道的被控對象的傳遞函數(shù)為

為提高控制器抗擾性能，引入低通濾波器F（s）＝1／（λs+1）2，λ＞0，λ為濾波器調(diào)節(jié)參數(shù)，為了方便參數(shù)的調(diào)節(jié)，設(shè)計控制器為

以正弦信號擾動和階躍信號擾動為例，驗證所設(shè)計控制器的抗干擾性，定義輸出誤差函數(shù)為

分析系統(tǒng)的抗干擾性能，令R（s）＝0，可得

假定模型精確，即Gm（s）＝Gp（s），將式（17）、式（18）代入式（20）可得

4 仿真分析

為驗證本文方法的有效性和優(yōu)越性，針對平動控制，將本文方法與傳統(tǒng)PID交叉控制方法在MATLAB環(huán)境下進(jìn)行對比仿真。針對偏轉(zhuǎn)控制，與PID交叉控制方法進(jìn)行對比，仿真參數(shù)如表2所示。

表2 控制系統(tǒng)仿真參數(shù)Table 2 Simulation parameters of control system

4.1 徑向平動控制性能仿真

經(jīng)過陀螺實際設(shè)計參數(shù)估算，采用如圖7（a）所示幅值為1×10-4m的不規(guī)則干擾來模擬平動通道非線性參數(shù)干擾，控制系統(tǒng)仿真參數(shù)列于表2。控制效果如圖7（b）所示，可見采用傳統(tǒng)PID交叉控制方法，最大誤差為6×10-7m，而采用本文方法，誤差約為1.3×10-7m，較PID控制減少了近78%。因此，本文方法可以有效抑制非線性參數(shù)干擾，提高轉(zhuǎn)子的控制精度。

圖7 徑向平動抗擾性能對比Fig.7 Disturbance suppression performance comparison of radial translation motion

4.2 徑向偏轉(zhuǎn)控制性能仿真

4.2.1 解耦性能

圖8 解耦性能分析Fig.8 Decoupling performance analysis

在仿真系統(tǒng)中，僅輸入轉(zhuǎn)子繞X軸偏轉(zhuǎn)的偏轉(zhuǎn)信號，Y軸方向上輸入平衡位置信號，得到結(jié)果如圖8所示。圖8（a）是輸入偏轉(zhuǎn)信號為正弦函數(shù)時，X軸和Y軸的偏轉(zhuǎn)情況，可見轉(zhuǎn)子在X軸偏轉(zhuǎn)角度可以良好跟蹤輸入信號，且跟蹤誤差小于0.002°，此時Y軸在平衡位置基本不受X軸偏轉(zhuǎn)的影響。圖8（b）是當(dāng)X軸輸入偏轉(zhuǎn)信號為階躍信號時兩軸的偏轉(zhuǎn)情況，X軸可以良好跟蹤階躍信號，跟蹤誤差小于0.005°，Y軸基本無偏轉(zhuǎn)。因此，本文方法可以實現(xiàn)徑向耦合系統(tǒng)的完全解耦，同時具有良好跟蹤效果。

4.2.2 抗擾性能

為了驗證徑向偏轉(zhuǎn)控制的抗擾性能，選取了正弦擾動和階躍擾動2種干擾形式。轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)所受干擾包含非線性參數(shù)攝動干擾以及框架擾動，相比于框架擾動，非線性參數(shù)攝動影響較小，故可以忽略不計。為了模擬陀螺框架的角速度或角加速度在連續(xù)周期變化下對轉(zhuǎn)子的影響，選取了2種不同頻率的正弦干擾信號0.1sin（4πt）°和0.1sin（20πt）°，仿真效果如圖9所示。

當(dāng)在0.1sin（4πt）°的干擾信號下，采用PID交叉控制方法約產(chǎn)生1.3×10-6（°）的往復(fù)偏轉(zhuǎn)，而采用本文方法，約產(chǎn)生為0.8×10-6（°）的往復(fù)偏轉(zhuǎn)，精度提高近38%。當(dāng)干擾信號的頻率提高至10 Hz時，采用PID 交叉控制方法產(chǎn)生約6.5×10-6（°）的往復(fù)偏轉(zhuǎn)，對比本文方法產(chǎn)生約2.3×10-6（°）的往復(fù)偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)幅度減少了近65%。

圖9 正弦擾動抗擾性能對比Fig.9 Disturbance suppression performance comparison of sinusoidal disturbance

對比圖9（a）和（b）可知，當(dāng)干擾頻率提高時，采用PID交叉控制方法，轉(zhuǎn)子的偏轉(zhuǎn)幅度增加，控制精度降低。由于PID交叉控制的微分環(huán)節(jié)會隨著頻率的增加，增益變大，因此微分項對噪聲非常敏感，在處理頻率較高的正弦干擾時，會引入較大噪聲。但微分環(huán)節(jié)可以提高控制的響應(yīng)速度，減少調(diào)節(jié)時間，如果去除或弱化微分項，系統(tǒng)的響應(yīng)速度將會受到影響。而本文方法不包含微分項，并且可以彌補(bǔ)系統(tǒng)建模誤差，提高系統(tǒng)控制精度，增強(qiáng)抗擾性能。

為了模擬陀螺框架的角加速度突變或角速度變化過快時對轉(zhuǎn)子的影響，干擾采用階躍形式，取幅值為0.1°的方波信號作為干擾信號，控制效果如圖10所示。對比圖10（a）和（b）可知，當(dāng)采用PID交叉控制方法時，系統(tǒng)可以達(dá)到穩(wěn)定，但在階躍信號到來時，由于存在微分環(huán)節(jié)，會導(dǎo)致轉(zhuǎn)子瞬時振動，振動幅度與階躍干擾信號的幅值有關(guān)。而采用本文方法，控制誤差穩(wěn)定在2×10-6（°）以內(nèi)。因此，綜合仿真效果，PID交叉控制方法在高頻干擾和階躍干擾下，微分項的缺點被放大，其機(jī)動性較差，而本文方法能夠有效抑制干擾，提高系統(tǒng)精度。

圖10 階躍擾動抗擾性能對比Fig.10 Disturbance suppression performance comparison of step disturbance

5 結(jié) 論

1）對于轉(zhuǎn)子徑向平動控制，在模擬參數(shù)攝動影響干擾下，相比傳統(tǒng)PID交叉控制方法，基于反饋線性化的增強(qiáng)型內(nèi)模控制將輸出誤差減少近78%。

2）對于轉(zhuǎn)子徑向偏轉(zhuǎn)控制，本文方法可以實現(xiàn)徑向偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)的完全解耦。在0.1sin（4πt）°正弦干擾下，轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的往復(fù)偏轉(zhuǎn)幅值較PID交叉控制方法減少近38%；在0.1sin（20πt）°正弦干擾下，轉(zhuǎn)子產(chǎn)生的往復(fù)偏轉(zhuǎn)較PID交叉控制方法減少近65%。在階躍干擾下，采用基于反饋線性化的增強(qiáng)型內(nèi)模控制方法避免了PID在干擾到來時產(chǎn)生的瞬時振動問題。