淺析導(dǎo)數(shù)的概念及其應(yīng)用

摘 要：本節(jié)探討一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念，引導(dǎo)學(xué)生思考如何用數(shù)學(xué)的語言精確地研究函數(shù)的相對變化率問題，進(jìn)一步地分析導(dǎo)數(shù)在不同專業(yè)和背景問題下的實際應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：變化率; 瞬時速度; 切線斜率

中圖分類號：0172 ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1006-3315（2020）8-125-001

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)新生普遍會開設(shè)的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，其對學(xué)生其他數(shù)學(xué)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)起著重要的基礎(chǔ)作用。然而，較強(qiáng)的邏輯推導(dǎo)和繁雜的公式讓許多學(xué)生望而生畏。如何在數(shù)學(xué)課程的教學(xué)中將理論知識與實際應(yīng)用緊密結(jié)合起來[1]，這在高等數(shù)學(xué)課程的教與學(xué)中是一個值得探討的問題。

在高等數(shù)學(xué)第一章中，我們介紹了函數(shù)連續(xù)的概念以及性質(zhì)[2]。函數(shù)的連續(xù)性體現(xiàn)在某一點處對函數(shù)絕對改變量的分析。但是在很多理論和實際問題中，例如如何求解變速運(yùn)動的瞬時速度等問題中僅僅知道絕對改變量的分析是不夠的，如何研究相對改變量呢？這就是本節(jié)探討的問題。

一、變速直線運(yùn)動中的瞬時速度

講解著名物理學(xué)家牛頓的故事。結(jié)合引例的分析引導(dǎo)學(xué)生思考如何從求平均速度到求質(zhì)點在某一點的瞬時速度。思考如何利用極限的思想，從計算平均速度的公式出發(fā)，通過求極限來推導(dǎo)出瞬時速度。

引例1：設(shè)某質(zhì)點沿直線作變速運(yùn)動，在時刻t的位置s=f（t）。如何描述質(zhì)點在變速直線運(yùn)動中的瞬時速度？

分析：引導(dǎo)學(xué)生思考在已知（t0，t0+△t）內(nèi)的平均速度后，如何求在t0的瞬時速度。即瞬時速度是平均速度的極限形式：

v=[lim△t→0][f（t+△t）-f（t）△t]=[limt→t0][f（t）-f（t0）t-t0]

二、切線的斜率

講解著名數(shù)學(xué)家萊布尼茲的故事，了解牛頓與萊布尼茲如何殊途同歸，分別從物理和幾何兩個方面給出了導(dǎo)數(shù)的基本定義。讓學(xué)生體會“以直代曲”這種將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成我們已知的簡單問題的一種基本方法。

引例2：設(shè)光滑曲線C：y=f（x），M（x0，y0）是曲線C上的一點，如何定義C在M的切線？

分析：

*割線MN的斜率

*切線MT的斜率

k=tai

三、導(dǎo)數(shù)的定義

在前面分別從物理中的瞬時速度和幾何中切線斜率兩個方面計算導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上，給出導(dǎo)數(shù)的基本定義。

定義1：設(shè)函數(shù)y=f（x）在U（x0）內(nèi)有定義，若[lim△x→0][△y△x]=[limx→x0][f（x）-f（x0）x-x0]存在，則稱函數(shù)f（x）在點x0處可導(dǎo)，此極限為y=f（x）在點x0的導(dǎo)數(shù)，記[dydx]x=x0或f（x0）。

在這一過程中要求引導(dǎo)同學(xué)們理解變速直線運(yùn)動的瞬時速度以及切線的斜率這兩個導(dǎo)數(shù)的具體例子，將極限、“以直代曲”等基本思想貫穿始終[3]。

四、導(dǎo)數(shù)的計算

引入了導(dǎo)數(shù)的概念后，如何計算導(dǎo)數(shù)就成一個教學(xué)的難點問題。主要分為三個步驟：第一步是計算函數(shù)的增量，注意增量可正可負(fù)。函數(shù)值的增量為：△y=f（x+△x）-f（x）;接下來求解函數(shù)的增量比：[△y△x][=f（x+△x）-f（x）△x];最后通過極限的計算求解函數(shù)的瞬時變化率：f'（x）=[lim△x→0][△y△x]=[lim△x→0][f（x+△x）-f（x）△x]。

通過具體例子讓學(xué)生熟練掌握用導(dǎo)數(shù)的定義來計算導(dǎo)數(shù)的基本方法。

例1 求函數(shù)y=ex在x=0處的導(dǎo)數(shù)。

解：首先求解函數(shù)的增量△y=f（0+△x）-f（0）=e0+△x-e0，然后計算函數(shù)的增量比值：[△y△x]=[e△x-1△x]，最后求解增量比值的極限：

[y']x=0=[lim△x→0][△y△x]=[lim△x→0][e△x-1△x]=1。

本節(jié)段采用特殊到一般的方式展開對難點的分析，學(xué)會判斷函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)是否存在，接下來才能使用求導(dǎo)的一些公式來進(jìn)行求解。特別強(qiáng)調(diào)如果直接用求導(dǎo)公式，實際上是已經(jīng)假定了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是存在的，這就會犯本末倒置的錯誤。

五、總結(jié)與拓展

本節(jié)探討了一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。引導(dǎo)學(xué)生理解在理論和實際中有著廣泛應(yīng)用的導(dǎo)數(shù)的概念。結(jié)合實例啟發(fā)學(xué)生深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念：從變速直線運(yùn)動的速度以及切線的斜率兩個方面歸納出導(dǎo)數(shù)的定義，結(jié)合幾何知識讓學(xué)生體會微積分中經(jīng)常用到的“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想。通過科學(xué)家的人物介紹培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，在數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)習(xí)中注入人文思想[4]。

參考文獻(xiàn)：

[1]左玲.淺談人工智能時代的工科數(shù)學(xué)教育，考試周刊，1673-8918，2018

[2]高等數(shù)學(xué)，第七版上冊，同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等教育出版社，2018

[3]Joel Hass，Christopher Heil，Calculus，Pearson，2003

[4]Richard Courant，F(xiàn)ritz Jo，Introduction to Calculus and Analysis，Springer，2008