得到魔杖的概率

劉金龍

塔塔鎮來了一位奇怪的魔法師，他在鎮子東頭的老槐樹下放了兩個箱子，引來了鎮上人的圍觀。

魔法師擺放的兩個箱子中，甲箱子是透明的，里面有1枚黃燦燦的金幣，乙箱子卻是不透明的，里面可能有1根魔杖。據說魔杖很厲害，可以讓人擁有人人羨慕的魔法，不過這些魔法需要有一顆善良的心才能使用。

可是，乙箱子里可能有魔杖，也可能沒有，每個人的選擇機會只有一次：要么選擇單獨拿走乙箱子，要么將兩個箱子同時拿走。

你肯定會說，當然是兩個箱子都拿走啦，不拿白不拿！別著急，既然是魔法師擺放的箱子，哪會那么容易讓你都拿走呢！

魔法師擁有可以預測未知的魔力，據說他的魔力預測未知的準確率高達90%，在他預測到你會將兩個箱子都拿走時，他就會讓乙箱子空著，你雖然拿到了兩個箱子，卻只能拿到1枚金幣;若魔法師預測到你會單獨拿走乙箱子，他就會預先把1根魔杖放進乙箱子中，這樣，雖然你只拿走了乙箱子，放棄了甲箱子里的金幣，卻可以得到1根很厲害的魔杖。那么，你會做出何種選擇呢？

古嚕嚕：這有什么問題嗎？如果讓我選擇的話，我當然將兩個箱子都拿走嘍！萬一魔法師預測不準，我至少還能拿到1枚金幣啊。

阿木老叔：別著急做決定，魔法師的預測準確率可是高達90%的，讓我們先測算一下吧。

第一種思維如果魔法師預測到來拿箱子的人會將兩個箱子都拿走，他就會讓乙箱子空著，這個時候拿箱子的人實際就要選擇將兩個箱子都拿走，這樣至少能拿到1枚金幣;如果魔法師預測到來拿箱子的人只拿乙箱子，他就會將1根魔杖放入乙箱子里面，這個時候，拿箱子的人實際更應該將兩個箱子都拿走，因為甲箱子里可是有著1枚金幣呢，無論何時都存在，沒理由放棄啊。

第二種思維

古嚕嚕：他們兩撥人的分析都很有道理啊，到底該拿兩個箱子還是單獨拿走乙箱子呢？

阿木老叔：又迷糊了吧？這就是這道題的精妙之處，也是數學的有趣之處，繼續認真往下看吧。

塔塔鎮的居民中，無論是哪一種思維的人，他們想的都是最大可能拿到魔杖，出現一個最佳的結果。既然知道了魔法師預測的準確率，我們不妨幫他們做一個概率的分析。

當魔法師的預測正確時，最佳結果是拿箱子的人可以拿到1根魔杖;而當魔法師的預測出現錯誤時，那最佳結果便是拿箱子的人可以拿到1根魔杖加1枚金幣。

當拿箱子的人選擇拿走兩個箱子的時候，會出現兩種結果：拿到1枚金幣或者拿到1根魔杖加1枚金幣;當拿箱子的人單獨選擇乙箱子的時候，也會出現兩種情況：拿到1根魔杖或者什么也得不到。因為選擇拿走兩個箱子和單獨拿走乙箱子是兩個相互獨立的事件，因此，這兩種選擇各自有50%的可能。

在選擇拿走兩個箱子的時候，能拿到1枚金幣的概率是100%，而能拿到1根魔杖的概率卻只有10%。因為從整體上分析，選擇拿走兩個箱子的概率是50%，所以，能拿到1根魔杖的概率實際是5%（拿到1根魔杖+1枚金幣），而能拿到1枚金幣的概率也就是50%（拿到0根魔杖+1枚金幣）。

在選擇單獨拿走乙箱子的時候，能拿到1根魔杖的概率是90%，什么都得不到的概率是10%。因為從整體上分析，選擇單獨拿走乙箱子的概率是50%，所以，拿到1根魔杖的概率是45%（拿到1根魔杖+0枚金幣），而什么都得不到的概率則是5%（拿到0根魔杖+0枚金幣）。

古嚕嚕：看完這個博弈的過程，我覺得其實也沒什么最佳結果了，因為條件限制，只能出現這樣的情況。

阿木老叔：明白了吧？這里面其實包含了一個著名的悖論，叫作紐科姆悖論。也有人說這個悖論是自由意志信徒和決定論信徒的“石蕊試紙”。感興趣的小伙伴們可以繼續深入研究探討哦。

編輯：可是，大家有沒有想過，若改變其中的某個或者某幾個條件，是不是就可以避免出現這個悖論呢？

古嚕嚕：對啊，我怎么沒想到呢，可是，改變哪一個條件呢？

阿木老叔：從博弈的過程來看，一切都與魔法師預測未來的準確率有關，我們不妨試一下改變這個準確率，看看結果會怎么樣。

假設將魔法師預測未來的準確率改為50%，那么在選擇拿走兩個箱子的時候，能拿到1枚金幣的概率是100%，而能拿到1根魔杖的概率卻達到了50%，因為從整體分析，兩個事件的概率還是各占50%，所以，能拿到1根魔杖的實際概率是25%（拿到1根魔杖+1枚金幣），而能拿到1枚金幣的概率還是50%（拿到0根魔杖+1枚金幣）。

而在選擇單獨拿走乙箱子的時候，能拿到1根魔杖的概率也降到了50%，什么都得不到的概率則上升到了50%。再結合整體選擇單獨拿走乙箱子的概率為50%，從而得出，拿到1根魔杖的概率實際已經降為25%（拿到1根魔杖+0枚金幣），而什么都得不到的概率實際也增加到25%（拿到0根魔杖+0枚金幣）。

這樣的話，毫無疑問，當然就是將兩個箱子都拿走了，因為無論拿不拿甲箱子，能夠單獨拿到1根魔杖的概率都是25%，而將兩個箱子都拿走還能增加50%的概率同時得到1根魔杖+1枚金幣，若不拿甲箱子的話，反而有25%的概率空手而歸。

古嚕嚕：看來，魔法師的預測準確率才是這個悖論的關鍵所在啊！

阿木老叔：明白了吧？之所以為悖論，就是因為受本身給出的一些條件的限制，若改變其中的關鍵條件，也許悖論就不存在了。好好學習吧。