思維模型化，提升數學教學效益

任璐

摘 要：思維模型化是指通過抽象、概括的數學邏輯方法，將研究對象轉變為特定的關系式和機構，來達到解決問題目的的一種思維方法。初中時期是進行數學思維塑造的黃金時期。教師應當摒棄填鴨式教學，教授學生數學問題的思考方法和思維結構，提升數學課堂的教學效益。下面，本文將從思維模型化的幾點途徑入手，談一談如何利用思維模型話的教學方法提升數學課堂的教學效率。

關鍵詞：思維模型化;分類討論;數形結合;實際

模型化思維是對數學規律的一種采樣分析。學生對于數學理論的認知是通過一些典型案例和數學規律的描述來建立的。但是由于這些認知的感性來源，學生無法進行更為深入的數學推理。數學思維模型化的教學方法可以幫助學生進行數學現象的歸納和總結，使學生學會通過抽象、概括的方法，總結事物的本質特征，掌握解決問題的基本思路。

一、分類討論，逐一求解

分類討論在數學問題解決過程中的作用是可以使學生更為全面地思考數學問題，不出現遺漏關鍵線索的問題。學生可以通過分類討論的方式，將數學問題的解決思路分成幾個版塊，在對板塊進行逐一求解的過程中，掌握數學問題的動態變化，利用數學邏輯思路來逐步掌握數學思維模型化的技巧。

例如在學習“一元一次不等式組”這節課時，由于函數模型是初中模型中比較重要、比較典型的一類模型，教師可以充分利用函數模型的優勢，讓同學們進行數學模型的構建。以題目“一元一次不等式組的整數解為{1，2，3}，問適合這個不等式組的a、b的{a，b}的數對的數量，并列舉出來”為例，同學們在解決這個不等式組的時候，首先應當明確題目中的未知數x的取值范圍。同學們在考慮這個問題的時候，應當分情況考慮。同學們通過化簡題目可以得到x的取值范圍為：，也就是說同學們需要將x的解集代入這個關系式，分別對a、b的情況進行討論，逐步得出a、b的取值區間，進一步得出符合條件的a、b的值，從而計算出有序數對的數目。

學生在通過分類討論的方法解決數學問題的時候，可以對數學解集進行更為深入的思考。在解決函數模型的問題時，教師應當引導學生嘗試發現題目中的數量關系，在破解層層關系的同時，進行分類討論，從不同角度考慮數學解集的各種可能性，達到促進學生思維全面發展的目的。

二、數形結合，轉化問題

數形結合可以作為思維模型化教學過程中的典型案例。數形結合的問題一般涉及到幾何圖形的轉化問題。教師可以從幾何圖形的數量關系的角度出發，讓學生在思索、尋找數量關系的同時考慮圖形的變化，從而幫助學生將數量關系轉化為圖形問題，學會從數、形兩方面尋找問題的解決方法。

例如在學習“銳角三角函數”這節課時，同學們需要掌握將銳角的三角函數和相關圖形結合的方法，并利用銳角三角函數來解決一些數學問題。同學們會發現三角函數雖然是表示角與邊的關系，卻含有一定的規律，可以用一定的函數曲線表示出來。教師在教學這節課時，可以充分利用三角函數數形結合的特點，培養同學們轉化問題的能力。以題目“如何判斷梯子的角度”為例，教師可以讓同學們自主思考判斷梯子更陡。在不采取三角函數討論的情況下，讓同學們發表自己的看法和觀點，尋找問題的解決方案。此外，教師可以引導同學們在已知墻面高度和梯子長度的情況下，通過三角函數值來進行實際問題的判斷。教師可以幫助同學們將實際問題轉化為比較直角邊為5m、2.5m的和直角邊為5m、2m的的三角函數值，讓后再讓同學們進行計算和比較。

數與形兩方面的思維通路需要得到一定的啟發。教師在利用數形結合的案例進行教學時，可以設置一些階段性問題來啟發學生的思路。反過來，學生在逐層思考數學問題的時候，也可以逐步對抽象的數形結合的本質進行了解，使學生學會將抽象的數學實際問題進行轉化，這有利于學生模型化思維的建立。

三、聯系生活，理性化歸

生活案例中的數學原理也可以啟發學生模型化思維的建立。教師可以將學生認知較少的知識點與相似的知識點進行類比，將復雜的數學問題等價轉化為簡單的邏輯問題，讓學生在化歸的過程中，建立由繁入簡的理性思維通路，逐步思考數學問題的解決途徑。

例如在“弧長及扇形面積”這節課的教學過程中，同學們可以通過公示的推導過程，進行數學語言的歸納，體驗數學與實際生活的聯系。由于同學們已經掌握了圓形面積的計算公式，因此教師可以將弧長和扇形作為圓的一部分來進行教學，讓同學們自主探索計算過程。以題目“如果一頭牛被圈養在夾角為75°的兩扇籬笆之間活動，牛的繩索被拴在籬笆的接口處，繩索的長度為20m，問牛的活動范圍有多少？”通過閱讀題目，同學們在紙上畫出草圖顯示，牛的活動范圍應當等于夾角為75°的扇形的面積。在計算這個題目時，同學們想到了角度的問題：因此同學們可以得出扇形面積為，從而求得活動范圍的表達式為83.3πm2。

生活中數學問題的提出，不僅可以提升學生的主觀能動性，還可以加強學生對于數學原理的應用和拓展。并且，學生還可以在將復雜的數學問題經過邏輯推理，轉變成簡單的數量關系的過程中，獲得一定的成就感。

綜上所述，教師可以通過分類討論、數形結合的教學方法進行思維模型化的教學實踐。學生可以在思維模型化的過程中獲得問題解決途徑的啟發，使學生學會將復雜的數學問題進行化歸，形成完整的思維網絡。

（作者單位：江蘇省如東縣曹埠鎮初級中學）