淺談高等數學的發展史

【摘要】本文對高等數學發展史做了簡單介紹，指出經過兩千多年的發展，直到十七世紀牛頓和萊布尼茲創立了微積分，高等數學才得以不斷地發展和完善。

【關鍵詞】高等數學;極限思想;科學家

很多大學一年級學生一開學，馬上就要面對著高等數學這門課程，有很多高校使用的高等數學教材，都是同濟大學出版社出版的上下兩冊，這厚厚的兩冊書，學生們拿到手里沉甸甸的。同濟大學的高等數學教材理論嚴謹，邏輯性強，是一本好教材。但對于剛上大學的新生來說，一開學馬上就要學習高等數學，還是有一定壓力的。因此新生要想學好高等數學，一定要充分認識到學習高等數學的重要性，不僅要有良好的學習態度，掌握好的學習方法，還要有良好的學習方法。當然，教師為了能讓學生學好高等數學，教師不僅要使用先進的教學方法，還要努力提高學生的學習興趣，那么在高等數學的教學和輔導時，要有意識的讓學生了解高等數學的發展史，這將對學生學習這門課程會有更多的幫助。

一、極限思想和導數思想的建立

眾所周知，高等數學的特征就是它是研究變量的一門科學。而研究變量的理論基礎是極限思想，但是人們研究極限理論花了很長很長的時間，從開始的極限思想到理論成熟大約花了2000多年的時間，直到到了十七世紀，牛頓萊布尼茲創建了微積分，極限思想才得以充分應用和發展。牛頓-萊布尼茲共同（分別）創建的微積分被后人譽為‘人類精神的最大勝利。事實上，牛頓-萊布尼茲的微積分理論盡管建立在極限理論的基礎之上，但那時的極限理論還非常不成熟，直到幾百年以后維爾斯特拉斯才給出了確切的極限定義。隨著極限思想的建立，就可以規劃函數圖形特征了，那么規劃函數特征就需要另外一個特殊的極限—導數這一重要的工具。導數工具的使用，函數圖形的單調性，凹凸性以及函數極值最值理論得以更好的研究和規劃。緊接著高等數學教材又用了很大篇幅介紹了作為溝通函數和導數關系的中值定理。三大中值定理中，拉格朗日中值定理又稱為微分中值定理，從這個名字中可以看出拉格朗日中值定理的價值及重要性，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況，而柯西中值定理又是拉格朗日定理的推廣。在高等數學教材中，對于三大中值定理都給出了非常完美的理論推導和證明。雖然三大中值定理的證明理論嚴謹，邏輯嚴密，體系宏大，但事實上，這三大定理的定義和證明是一點一點的發展建立起來的。從羅爾定理到拉格朗日定理用了大約五十多年的時間，從拉格朗日中值定理到柯西中值定理也走過了五十多年的時間歷程。由此可見高等數學理論的建立是一個漫長的過程，在這個漫長的過程中，無數的數學先驅者不斷的探討研究，向微積分的大門邁進。這些先驅者們不僅探討極限等問題，同時也對各類求解微積分問題做出了寶貴貢獻，這些無數的先驅者中牛頓-萊布尼茲是最典型的代表，他們完成了微積分創立中最后也是最關鍵的一步。同時微積分的建立和發展，也為函數分析提供了有力的工具。

二，積分思想的建立

隨著導數微分理論的建立。人們又著手考慮其逆運算，也就是不定積分，不定積分概念的學習，對于學生來講是一個較難的思維過程，這種逆向思維的數學思考，對學生的思維能力的培養是非常有幫助的。在學生學習積分的過程中，有一些學生把不定積分和定積分混為一談，認為定積分不過是不定積分的取值計算，這完全是概念混淆，我們知道，不定積分是微分的逆算子，而我們從定積分的定義知道，定積分是部分和的極限。萊布尼茲在引進積分符號時也是選用了sum中首個字母s的拉長。在理解定積分的定義時，一定要注意部分和取極限時，我們不是讓分點數n趨于無窮，而是讓小區間長度的最大值λ趨于零，這樣不僅保證了分點數n趨于無窮，而且還能讓區間分割時，不會是部分區間分割的非常細，而另有部分區間區間長度很大的現象出現。定積分的建立，為高等數學下冊書的二重積分、三重積分、線積分、面積分理論打下了堅實的基礎。因為二重積分、三重積分、曲線積分、曲面積分完全是定積分的推廣和發展。談起高等數學的發展史，我們還要談一談無窮理論，我們知道，高等數學的又一特征是無窮進入數學。無窮進入數學是數學史非常重要的階段。20世紀美國普林斯頓高級研究所著名教授魏爾教授曾經說過“數學是講述無限的科學。”美國數學史學家貝爾也指出“沒有一個一致的數學無限理論，就沒有無理數理論，就沒有與我們現在所有的即便稍許相似的、任何形式的數學分析，最后，沒有分析，像現在存有的大部分數學—包括幾何和大部分的應用數學—就不存在了”這些至理名言充分體現了無限在數學科學領域占據著相當重要的地位。甚至可以說，沒有無限的延申，就沒有現代數學。正是因為如此，所以在高等數學課本中無限思想時時滲透。三，無窮級數的發展史

無窮級數作為高等數學課本中重要的一個章節，我們也談談它的發展史。盡管無窮級數在數學科學中很早就出現了，比如說我國戰國時期莊子的無限理論，“一尺之錘，日取之半，則萬世不可竭也”。但這些無窮思想還沒有形成完整的數學理論。直到十四世紀歐洲最偉大的數學和神學家奧雷姆在無窮級數理論中做出了重要貢獻。他明確指出了等比級數當它的公比小于1時收斂，而公比大于1時發散。他還確切證明了調和級數是發散的，其和是無限的這一結論。并且他還求出了很多級數的和。盡管這一時期奧雷姆和當時的數學家已經開始識別收斂與發散級數，但數學界真正打破對無窮的禁忌是在十七到十八世紀，其中法國著名數學家韋達給出了等比無窮級數的求和公式，萊布尼茲也解決了很多級數求和問題。達朗貝爾、阿貝爾、泰勒、麥克勞林等科學家也先后給出了很多級數理論。為數學發展做出了很大的貢獻。

高等數學發展史是一個漫長的歷史，讓學生了解數學發展史，對他們學習數學會起到積極的促進作用。

作者簡介：

安潤秋（1964-），漢族，河北唐山人，工作于河北省唐山學院基礎教學部數學教研室，副教授，研究方向：數學。