關(guān)于用導(dǎo)數(shù)研究零點問題的一點思考

摘?要：簡單函數(shù)的零點問題通常可以通過函數(shù)零點的定義或二分法，也可以用數(shù)形結(jié)合的方法借助函數(shù)的圖像，結(jié)合零點存在性定理判斷零點的存在情況。用導(dǎo)數(shù)來研究零點問題，就是把函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題，再轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的曲線在該區(qū)間的交點問題，再用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，繪制出大致圖像，運用數(shù)形結(jié)合的思想找出函數(shù)圖像的交點個數(shù)，從而求解函數(shù)的零點問題。

關(guān)鍵詞：函數(shù);零點;求導(dǎo);數(shù)形結(jié)合;交點

函數(shù)的零點問題就是研究函數(shù)與方程之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)用函數(shù)的眼光看待問題的意識。簡單函數(shù)的零點問題通常可以通過函數(shù)零點的定義或二分法，也可以用數(shù)形結(jié)合的方法借助函數(shù)的圖像，結(jié)合零點存在性定理判斷零點的存在情況。然而事實上，我們常遇到一些較復(fù)雜的函數(shù)，它們的零點無法求出，圖像也無法輕易畫出，這時就需要用導(dǎo)數(shù)來幫忙，否則就會很難解決所遇問題。

函數(shù)的零點問題由于其綜合性強，難度大，對能力要求高，體現(xiàn)高考的選拔性，受到近幾年來高考出題者的青睞，也是各高校選拔人才的關(guān)鍵壓軸題，因此是非常值得關(guān)注和研究的重要問題。其綜合性體現(xiàn)在與函數(shù)有關(guān)的許多問題如單調(diào)性問題，極值、最值問題、恒成立問題等相結(jié)合。用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)零點問題的優(yōu)勢在于幾乎可以訓(xùn)練到所有高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要思想方法，如分類討論，函數(shù)與方程，劃歸與轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合以及分離參數(shù)等數(shù)學(xué)方法技巧，同時對學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)等也有所提升，符合了新高考的指導(dǎo)方向。

復(fù)雜函數(shù)的零點問題形式雖多但主要有以下兩種情況。

一、 利用導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)零點的個數(shù)

研究的函數(shù)在定義域上單調(diào)，此類函數(shù)的零點通常只有兩種情況，要么為零個，要么為一個。

反思方法：研究在整個定義域上單調(diào)的函數(shù)時，有以下兩步：第一步：對函數(shù)求導(dǎo)，驗證該函數(shù)在定義域上的增減情況;第二步，結(jié)合零點存在性定理判斷零點的存在情況。通常難點在于，在定義域中找到特殊的端點值，使之滿足端點值異號。在找值時有一定技巧，要注意總結(jié)經(jīng)驗，如常找一些特殊值如0，-1或+1等，或由已知式子來構(gòu)造。

二、 已知函數(shù)零點存在情況求解參數(shù)的值或取值范圍

（一）已知函數(shù)零點存在情況求解參數(shù)的值

點評：方法1，在求導(dǎo)后，通過對導(dǎo)數(shù)的零點（極值點）的個數(shù)的分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性并結(jié)合零點存在性定理，來確定零點的情況。特別在分類討論時一定要不重不漏，邏輯連貫，并適時檢查范圍是否完整。方法2，分離變量，避免了分類討論，并構(gòu)造新函數(shù)，把函數(shù)的零點問題等價轉(zhuǎn)化為曲線交點是否存在的問題，因此需借求導(dǎo)研究新函數(shù)的圖像性質(zhì)，體現(xiàn)直觀想象的核心素養(yǎng)。特別，在解決圖像問題時還用到了極限思想，使問題簡潔了不少。此問題的解決看似就是一個函數(shù)零點含參問題，其實是由函數(shù)極值點，函數(shù)單調(diào)性，以及恒成立等問題等知識做為理論支撐的一個綜合性問題。

函數(shù)的零點問題經(jīng)常在第二問的解決時常需要用到第一問的結(jié)論，所以在解決此類問題時一定要結(jié)合第一問結(jié)論來解決。同時高考中用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點問題通常都要涉及一些參數(shù)的分類討論，在討論的過程也是得分點，所以一定要重視分類討論。該零點問題的解題步驟有以下三步：第一步，把函數(shù)零點存在問題轉(zhuǎn)化為求方程根再把方程根的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)曲線交點的問題;第二步，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)如：單調(diào)性、極值等，畫出大致圖像;第三步，結(jié)合圖像求解參數(shù)范圍。在用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題中，常還會遇到一些困難如極值點無法求出等，這時還需要用到一些技巧如多次求導(dǎo)，特值找零點，設(shè)抽象根，等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)等。在上述的例題中有些技巧也有所涉及，有了這些技巧就更加能夠把這一類問題把握得更好。

綜上所述，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題，其實是函數(shù)與方程，數(shù)形結(jié)合以及用函數(shù)的視角研究問題等思想的呈現(xiàn)。認(rèn)真花時間來研究這個問題，不僅能幫助突破這一難點，有利于高考中取得佳績，起到“山重水復(fù)疑無路，柳暗花明又一村”的效果，從而提升對函數(shù)這一高中重要知識體系的認(rèn)知水平，同時也有助于提升數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)，對解決和研究其他相關(guān)問題也非常有幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]張汝波.利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題探秘[J].新高考：高二數(shù)學(xué)，2014（12）：36-38.

[2]陳小雙.一類零點問題的多角度嘗試與探究[J].讀寫算，2018（6）：168.

作者簡介：張柳，福建省三明市，泰寧縣第一中學(xué)。