化繁為簡 消元歸一

摘?要：文章以“三元最值問題”的解題方法為例，從思想方法，解題策略，細節把控等方面來解剖這類題型的解法，從而給學生形成更加細致且有效的解題方法。

關鍵詞：整體;放縮;消元

函數是高中數學的重要內容，它不但是高考重點考查的熱點之一，而且其思想方法貫穿于高中數學的始末。而三元函數的取值范圍問題是其中非常重要的題型，在各種考試甚至高考中經常涉及。在解題過程中，若能掌握解決的方法和技巧，恰當合理地進行消元，將會起到舉足輕重的作用，從而達到快速解決問題的目的。下面舉例說明消元在三個變量的取值范圍問題中的應用，目的在于使學生對三個變量的取值范圍問題有更加清醒的認識和深刻的理解，并能靈活地利用消元解決一些實際問題，以提高大家利用函數思想解決問題的能力。

分析：本題本質上就是已知三個變量的兩個等量關系式，求這三個變量的乘積的取值范圍問題。從方程的角度看，對于三個變量兩個方程，其中兩個變量均可由第三個變量來表示，從而最終代入所要求的取值范圍的表達式中就可轉化為一個變量的函數問題進行求解，但要注意變量的范圍。

二、 整體法消元

問題就歸結為將zx視為整體的一個變量的取值范圍問題，利用基本不等式也可以使用耐克函數進行處理。

分析：已知三個變量的一個等量關系式，所以無法選用一個變量表示其他兩個變量達到消元，只可以將所求的代數式轉成兩個變量的取值范圍問題，那消去哪個變量呢？我們可以發現所求關系式是一個分式結構，而且這個分式的分子只含一個變量，分母含有兩個變量，所以嘗試用分母的兩個變量表示分子中的變量。從而將三個變量的問題轉化為兩個變量的問題，同時轉化的兩個變量的分式是一個齊次式，可通過將一個兩個變量的式子視為一個整體，這樣就可轉化為一個變量的函數問題進行求解。

三、 放縮法消元

分析：已知三個變量的一個等量關系式，可以先把所要求的取值范圍的表達式用兩個變量表示，但要繼續轉化為一個變量就不那么容易了。從已知條件可以發現，本題涉及三個變量都是正數，這是利用基本不等式的標志，所以嘗試利用基本不等式進行放縮達到減元的效果。

分析：本題巧用基本不等式及其整體法將所求表達式進行放縮成一個變量的函數問題，再用基本不等式求最值。

四、 數形結合法

當我們所要求的三個變量的函數的結構形式與我們學過的一些公式（如兩點之間的距離公式、斜率公式、點到直線的距離公式等等）結構類似時可考慮使用數形結合的思想方法。

分析：本題是已知三個變量的不等關系求一個代數式的取值范圍問題。解決這類問題通常有兩種方法，一是轉化為線性規劃問題，二是利用基本不等式進行放縮成一個變量的函數求解。一般地，如果已知的不等式次數較低或是齊次式或者所求代數式具有線性規劃中我們研究的目標函數的明顯特征，先嘗試能否轉化成線性規劃;如若不能，則使用基本不等式進行放縮，但要注意等號能否取到。

面對目前紛至沓來的各地數學模考卷，筆者認為數學的學習不在于頻繁的刷題，而是應該針對學生難以下手的問題進行系統方法的歸類，讓學生充分理解從而靈活運用。三個變量問題常常作為一張試卷的壓軸題，難度可想而知，但只要我們充分梳理變量之間的相互關系，隨題而變，多角度，多途徑獲得方法去嘗試求解。讓我們一起在總結歸納上多下功夫，引導學生走出難題的泥潭。

參考文獻：

[1]楊珍輝.多個變量求取值范圍問題的解法和探究[J].理科考試研究，2014（6）.

[2]張小臣.多元函數最值問題求解策略[J].中學數學雜志，2008（5）：41-44.

[3]王盛裕.多元函數最值問題求解的常用策略[J].中等數學，2002（4）.

作者簡介：

張云，江蘇省常州市，江蘇省華羅庚中學。