淺析彈性力學平面問題的基本解法

楊艷 王章星

【摘要】本文簡單介紹了彈性力學平面問題的兩種基本解法以及各種解法的適用范圍和優缺點。

【關鍵詞】平面問題;應力;應變;位移;邊界

彈性力學通常也被稱為彈性理論，主要是對應力、變力以及位移這三個基本的未知函數進行研究，這幾個函數都是空間變量，在彈性力學中涉及到的平面問題是指當這三類基本未知函數與某一個坐標軸無關時對應的力學問題。平面問題是二維的問題，它可以非常直觀的對彈性力學中的基本理論進行闡述，并且當前在工程中對其計算結果的使用非常廣泛，一般被當作彈性力學學習過程中的典型問題以及入門的教學內容來使用，因此彈性力學的基本內容中就包含了對平面問題的求解。對彈性力學的平面問題進行求解，也就是對3個應力分量、3變力分量以及兩個位移分量來進行求解，要求這8個未知函數必須能夠滿足該區域中的基本方程式，同時也要滿足邊界上面的位移與應力的邊界條件。為了能夠更好的求解，一般會使用與代數方程中消元法相似的方式進行求解。并且會以選取的基本未知函數的不同為依據，將求解方法分成位移解法與應力解法兩種。在很多實際的工程問題中，體力是常量，此時則可以采用應力函數法求解平面問題。

1、位移解法

位移解法指的是按照位移來進行求解的方法，與結構力學中包含的位移法相近。不管是平面應力問題還是應變問題，對平衡微分方程與幾何方程的方法都是相同的，平面問題中涉及大的平衡微分方式如下：

平面問題的幾何方程為

在平面應力問題中，物理方程為

在平面應變問題中，物理方程為

從上面我們能夠看得出來，平面的應力問題與應變問題所涉及的物理方程是不同的，所以把平面應力問題中的E轉換為? ? ? ?，v轉換為? ? ，平面應變問題的物理方程就能夠得出來。接下來將使用平面的應力問題當作例子，應用位移解法來對平面問題求解。

首先選取基本未知函數為位移分量u和v。

因為幾何方程本身就是使用位移分量來表示應變分量的表達式，所以我們可以只將物理方程中的應變分量為依據對應力分量進行表示，然后再把幾何方程式代入其中，然后就能夠得到使用位移分量來表示的應力分量表達式：

在平面問題涉及到的平衡微分方程中把使用位移分量來表示的應力分量的表達式代入，可以得到一個使用位移分量來表示的平衡微分方程，也就是位移解法中的基本微分方程：

在應力的邊界條件中把使用位移分量來表示的應力分量表達式代入，從而求出平面問題的位移解法的應力邊界條件為：

除此之外，位移分量還需滿足位移邊界條件

總結來說，使用位移解法來對平面應力問題進行求解，其實就是使得位移的分量u和v在指定的區域內可以滿足該解法的基本微分方程，以及能夠在邊界上滿足其應力的邊界條件和位移的邊界條件。

對平面上的應變問題而言，把平面應力問題中的E轉換為? ? ? ，v轉換為? ? ? ，我們就可以得到平面應變問題的位移解法的基本微分方程以及其應力的邊界條件，并且位移的邊界條件不會改變。

2、應力解法

應力解法指的是使用應力的方式進行求解，與結構力學中的力法相似。

在應力解法中其基本未知函數是應力分量。位移分量和應變分量從基本方程和邊界條件中消除。基本微分方程和相應的邊界條件由應力分量表示。由此求出應力分量，然后計算求得應變分量和位移分量。

首先選取應力分量σx，σy及τxy為基本未知函數。

物理方程就是使用應力分量來對應變分量來進行表示。為了使得位移分量可以用應力分量表示出來，應該把物理方程代入到幾何方程中，再利用函數積分來求出位移分量。應力分量的位移表達式也會比較繁瑣，并且包含著待定的積分項。又由于應力分量表達式也很復雜，求解非常困難。因此當使用應力法對彈性力學平面問題進行求解時，一般支隊全部是應力邊界條件的問題進行求解，假設所有的邊界都是應力邊界條件，那么：

因為平衡微分方程本身是由應力分量表示的，因此可以作為求解應力分量的基本微分方程

我們可以從上面的平衡微分方程看出來，兩個方程是無法對3個應力變量進行求解的，所以應該在幾何方程與物理方程中把位移分量與應變分量消除掉，把只含有應力分量的補充方程導出來，這個方程就是應力協調方程。

因為在基本方程當中只有幾何方程是存在位移分量的，所以可以在幾何方程中先將位移分量消掉。將 對 的二階偏導數和 對 的二階偏導數相加，得到：

將上式化簡可以得出

為了進一步簡化應力協調方程，使其只包含正應力而不包含切應力，可以將平衡微分方程改寫為

將以上兩個式子分別對x和y求偏導數，相加得到

代入到應力協調方程，得到簡化后的平面應力問題的應力協調方程

針對平面應變問題，把平面應力問題中的E轉換為? ? ? ?，v轉換為? ? ? ?，便可得到平面應變問題的應力協調方程。

總結來說，在所有的邊界條件都是應力邊界條件時，能夠使用應力解法對平面問題進行求解，而且所得到的應力分量都應該滿足區域內部的平衡微分方程式以及應力協調方程式，同時還要滿足邊界上面的應力邊界條件。對單連體來說，只要能夠滿足前面所說的條件的應力解答，那么該解答就是合理的解在實際的問題中。而對應多連體來說，還應當滿足多連體位移所需的單值條件。

結語：

彈性力學的平面問題求解的基本方法主要有兩種，分別是位移解法以及應力解法，這兩種方法同時也是在學習彈性力學平面問題過程中必須要掌握的基礎方法。對于位移解法，求解位移函數往往會遇到很大的困難，因為需要從較復雜的微分方程式和邊界條件式等具體求解，因此能得到的位移函數解答較少。盡管如此，位移解法仍然是彈性力學問題的一種基本解法，它可以適應很多種邊界條件問題的求解，在對彈性力學的非常多種的近似數值求解種應用的特別多。

參考文獻：

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