曳引驅動電梯懸掛系統垂直方向動力學模型研究

王軍泉，湯國強

（深圳市特種設備安全檢驗研究院，廣東深圳 518000）

0 引言

隨著社會的發展，生活中電梯的使用越來越廣泛。除了乘用電梯安全，人們對電梯乘運質量的關注度也越來越高，而運行振動是乘運質量最重要的指標之一。當前只能通過調整安裝工藝等后期措施來改善乘運質量，且效果并不明顯。因此，建立合理的動力學模型是研究和解決曳引驅動電梯振動問題的關鍵。

1 拉格朗日方程推導

定義3個基本參數[1]：廣義坐標為qj；自由度數為N=3n-s，n個質點，s個約束；確定系統位置所需的任何一組獨立變量。

根據虛功原理，具有理想約束的系統處于靜平衡的必要與充分條件為—作用于系統的所有主動力Fi在該靜平衡位置發出的任何虛位移上所作元功之和恒等于0，得出廣義力Qj的定義為：

再根據達朗伯原理：非自由質點mi所受的主動力Fi與質點所獲得的動量變化率mir¨i之差( )Fi-mir¨i稱為損失力，即損失力與約束反力相平衡。-mir¨i為慣性力，則：

兩邊乘以虛位移δri，推算出動力學普遍方程為：

代入式（1）得出：

式中：Q′j為廣義慣性力。

對系統動能對q˙j和qj求偏導，可得：

可帶入普遍運動方程，即：

當廣義力Qj與速度無關時，則：Qj=Qj(qj，t) ；設存在一個函數U(q，t)，代入方程式，則：

式中：Qj為有勢力；U為勢能。當U不明顯依賴t時，Qj也為保守力。對于主動力僅為有勢力的系統，拉格朗日方程可為：

再引入拉格朗日函數，L=T-U（代表系統的動能與勢能之差），代入拉格朗日方程。則：

當廣義力有一部分是有勢力時，拉格朗日方程可為：

2 曳引比（1∶1）電梯懸掛系統垂直方向動力學模型

2.1 曳引比1∶1受力模型分析

圖1 曳引驅動電梯1∶1結構傳動圖

曳引驅動電梯1∶1電梯結構[2]傳動如圖1所示，可簡化曳引輪的運動為剛體定軸轉動，則選取選定廣義坐標有3個：x1為轎廂側鋼絲繩位移；x2為對重側鋼絲繩位移；x3為曳引輪轉動角度。

2.2 曳引比1∶1動力學微分方程

系統的動能分為5個部分[3-4]：T1為轎廂質量運行導致的動能；T2為對重質量運行導致的動能；T3為曳引輪轉動運行導致的動能；T4為轎廂側鋼絲繩導致的動能；T5為對重側鋼絲繩導致的動能。則系統的動能為：

系統的勢能分為6個部分：U1為轎廂重力引起的勢能；U2為對重重力引起的勢能；U3為轎廂側鋼絲繩重力引起的勢能；U4為對重側鋼絲繩引起的勢能；U5為轎廂側鋼絲繩彈力引起的勢能；U6為對重側鋼絲繩彈力引起的勢能。則系統的勢能為：

式中：Md為電動機的等效驅動力矩；Mj為作用在曳引輪上的阻力距；Rg為曳引輪的半徑。

3 曳引比（2∶1）電梯懸掛系統垂直方向動力學模型

3.1 曳引比2∶1受力模型分析

曳引驅動電梯2∶1電梯結構傳動如圖2所示。分析電梯運行的過程，建立整個電梯系統的垂直振動動力學方程，忽略曳引鋼絲繩和補償系統的質量，先分析幾個基本機構的簡化模型。

（1）承重梁與底座膠墊模型

把承重梁與曳引機底座膠墊簡化為一個線性彈簧，取值彈性系數k1和阻尼系數C1。主機受自由振動的影響，曳引輪簡化為一個剛體的平面運動，可設定兩個自由度，水平位移x3和轉動位移 x5。

（2）固定反繩端模型

把反繩端的固定彈簧組合件簡化為一個線性彈簧，對重側鋼絲繩反繩端取值彈性系數k3和阻尼系數C3，轎廂側鋼絲繩反繩端取值彈性系數k2和阻尼系數C2。

圖2 曳引驅動電梯2∶1電梯結構傳動圖

（3）鋼絲繩模型

把曳引鋼絲繩簡化為一個線性彈簧，對重反繩輪左側鋼絲繩取值彈性系數k5和阻尼系數C5；對重反繩輪右側鋼絲繩取值彈性系數k4和阻尼系數C4；轎廂反繩輪左側鋼絲繩取值彈性系數k7和阻尼系數C7；轎廂反繩輪右側鋼絲繩取值彈性系數k6和阻尼系數C6。

（4）轎頂輪及轎頂輪彈簧

彈簧取值彈性系數k8和阻尼系數C8。轎頂反繩輪受自由振動的影響，簡化為一個剛體的平面運動，可設定兩個自由度，水平位移x4和轉動位移x7。

（5）曳引輪

曳引輪可作為一個剛性體，定義轉動剛度k9和阻尼系數C9，確定廣義坐標，轎廂移動位移為x1；對重移動位移為x2；曳引輪位移為x3；轎頂反繩輪位移為x4；曳引輪轉動角度為x5；轎頂反繩輪轉動角度為x6；對重反繩輪轉動角度為x7，則其曳引驅動電梯2∶1垂直方向的動力學模型如圖3所示。

圖3 曳引驅動電梯2∶1垂直方向的動力學模型

3.2 曳引比1∶1動力學微分方程

系統的動能分為7個部分：T1為轎廂質量運行導致的動能；T2為對重質量運行導致的動能；T3為曳引輪運行的動能；T4為轎頂反繩輪運行的動能；T5為曳引輪轉動導致的動能；T6為轎頂反繩輪轉動的動能；T7為對重反繩輪轉動的動能，則系統的總動能為：

系統的勢能如下：U1為曳引輪轉動引起的勢能；U2為對重反繩輪左側鋼絲繩彈力引起的勢能；U3為轎廂反繩輪右側鋼絲繩彈力引起的勢能；U4為轎頂彈簧彈力引起的勢能；U5為主機底座膠墊彈力引起的勢能；U6為對重反繩輪右側鋼絲繩彈力引起的勢能；U7為轎廂反繩輪左側鋼絲繩彈力引起的勢能，則系統的勢能為：

由于質點除受有勢力和非有勢力作用外，還受粘滯阻尼的作用，粘滯阻尼是作用在質點上的線性阻力。由于這種阻力使機械能耗散，所以又稱為耗散力。定義耗散函數[5]為：是一種非有勢力，代入拉格朗日方程式（17），得出含散逸能的拉格朗日方程為：

代入拉格朗日方程式得出系統的微分方程為：

根據以上動力學模型建立曳引系統的振動方程[6-8]為：

式中：M為質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣。

4 結束語

本文在拉格朗日方程推導基礎上，對曳引驅動電梯常見的兩種曳引比情形分別進行分析，最后建立了曳引電梯懸掛系統合理的數學動力模型。分析力學的拉格朗日方程是振動理論的基礎，通過建立系統的動力學微分方程，并在此方程的基礎上，后續將利用Matlab編程仿真進行振動的模態分析。結合大量現場，利用EVA-625進行數據測試，分析出關鍵設計結構參數對電梯乘運質量的影響，為電梯的設計、制造、安裝過程中如何保證和提高電梯乘運質量提供技術參考。