基于響應面法的超壓艇結構優化設計

侯守武，王平安，成 琴

(1.中國電子科技集團公司第三十八研究所，安徽 合肥 230088;2.國家級工業設計中心(中電38所)，安徽 合肥 230088)

0 引言

平流層氣球駐空飛行在20 km以上的高空，晝夜溫差較大，使高空氣球氣壓變化超過1 000 Pa[1]，傳統的零壓球通過排氣和釋放壓艙物保持氣球升空高度，縮短了飛行時間，超壓氣球采用高強度的薄膜材料和封閉式的結構，可以承受溫度升高引起的超壓，適用于高空長航時環境。

國內外學者對高空氣球的材料和結構設計開展了相關研究。Cutts等[2]使用特殊材料膜材料制作了正球形超壓氣球，正球形結構的承壓能力取決于材料的強度性能；Barg等[3]建立了南瓜形超壓球結構的數學模型，分析了加強筋結構對球體強度的影響；韋利軍等[4]利用Isight軟件對南瓜型高壓球的加筋結構布局和尺寸進行了優化，并利用試驗進行了驗證；程士軍等[5]分析了超壓氣球結構的加強筋數量對結構受力和變形的影響，加強筋數量增大后，蒙皮經、緯向應力值下降幅度達到64.4%；Saito等[6-7]提出了一種網狀加強形超壓氣球結構，具有良好的承壓能力，但囊體外表面需鋪設較多繩索，可靠性較低；楊其等[8]采用等強度設計準則設計索網蒙皮結構超壓氣球，提高了材料的利用效率。目前，學者主要集中在南瓜型和索網型超壓球結構研究，橢圓形超壓艇結構的加強筋間距、筋直徑、筋間瓣幅曲率半徑等設計參數對強度的影響，目前尚未見到相關研究。

本文以超壓飛艇為研究對象，以加強筋間距、加強筋直徑、加強筋間瓣幅曲率半徑3個參數為設計變量，利用Box-Behnken試驗設計(BBD)，基于響應面法建立囊體結構應力及加強筋質量與3個參數的二次多項式函數，以囊體結構應力為優化目標，加強筋質量為約束條件，構建優化確定合理的加強筋設計參數，為超壓艇的結構設計提供支撐。

1 超壓艇結構的應力分布特性

本文以壓差1 500 Pa狀態的 10萬 m3超壓艇為分析對象，基于有限元法分析超壓艇體結構的應力分布。有限元模型中，囊體和筋分別采用膜單元和truss單元建模。圖1給出了未加筋和加筋2種結構的應力分布。

圖1 超壓艇結構應力分布

由圖1可知，未加筋結構最大應力為143.2 MPa，位于艇體中間區域，布置加強筋后，加筋區間內的應力得到了顯著降低，加強筋外側靠近艇體兩端的區域應力無變化。因此，艇體應力較大的區域可以通過布置加強筋來降低。加強筋間艇體應力分布主要表現為瓣幅中間區域和加強筋附近區域應力較大，應力大小與筋間距、筋直徑、瓣幅曲率密切相關。

2 超壓艇結構優化函數的建立

2.1 試驗設計與數據提取

超壓艇結構優化設計參數包括加強筋間距、筋直徑、筋間瓣幅曲率半徑，共3個設計參數，分別記為x1、x2、x3。基于Box-Behnken試驗設計方法，根據3因子3水平試驗設計要求，共有13組試驗點，試驗點如圖2所示。

圖2 3因子3水平的BBD試驗設計

考慮材料和工藝實施的可行性，本文選取的加強筋間距設計范圍為3～13 m，筋直徑設計范圍為16～32 mm，筋間瓣幅曲率半徑設計范圍為10～30 m，即設計參數x1∈[3,13]，x2∈[16,32]，x3∈[10,30]。表1給出了13組試驗結構的計算結果。

表1 不同結構的應力計算結果

2.2 響應面模型建立與誤差分析

基于BBD試驗設計結構的計算結果，采用二次回歸方程擬合得到設計變量與目標函數響應值之間的函數關系，建立響應面模型。

利用響應面法建立的數學模型為

(1)

則響應面數學模型為

(2)

在第i個試驗點x(i)處，響應面模型y(x(i))與yi的絕對誤差為

(3)

則M個試驗點處的絕對誤差平方和為

(4)

利用最小二乘法，使響應面模型y(x(i))與yi的絕對誤差平方和最小，可得基函數系數

a=(ΦTΦ)(-1)(ΦTy)

(5)

y=[y1,y2,…,yN]T，Φ由M個試驗點的基函數構成

(6)

基函數系數代入響應面模型，可確定響應面模型數學表達式。

響應面模型的優劣決定了優化結果的好壞，需要對響應面模型的質量進行評價，分析回歸方程的精度和誤差。工程中常用復相關系數R2評價擬合程度，復相關系數表達式為

(7)

根據BBD試驗設計結構的計算結果，綜合考慮中間艇瓣幅弧面和筋根部囊體結構的應力，取應力平均值作為研究對象，基函數系數為a=[103.202,5.531,-0.460,-2.952,-0.060,-0.101,0.003,0.036,0.020,0.054]T，復相關系數為0.96，可以滿足工程分析。不同的結構設計參數對超壓艇體應力影響的曲面如圖3所示。

圖3 不同參數對應力影響的曲面

2.3 優化數學模型的建立

超壓艇加筋結構降低了艇體的應力，但也增加了飛艇的重量，在優化設計時將加強筋質量作為約束條件來限制。

筋的質量與筋的個數和直徑有關，而筋的個數與筋間距相關，因此筋的質量的設計參數為筋間距和直徑。表2給出了加強筋間距L和筋直徑d變化時，超壓艇加強筋質量與未加筋結構質量的比值。

表2 不同設計參數下加強筋質量與未加筋結構質量比值

利用二元二次多項式擬合筋質量與設計參數的響應面模型，其表達式為

m(x)=-146.972-109.353x1+67.181x2-

(8)

筋間距和直徑與質量比例的關系如圖4所示。隨著筋間距的減小和筋直徑的增加，附加質量顯著增加，筋間距為3 m、筋直徑32 mm時，附加質量已接近于未加筋結構的質量。

圖4 筋間距和直徑與附加質量比例的曲面

以囊體結構加強筋間囊體結構的強度為優化目標，考慮結構重量限制，構建超壓艇結構優化響應面數學模型為

(9)

y(x)為目標函數;xjl和xju分別是第j個設計變量的下限值和上限值;m(x)為加強筋質量;m0為未加筋飛艇質量;α為附加質量比例系數的允許值。

3 超壓艇結構參數優化

根據之前得到的優化設計數學模型，利用MATLAB軟件中的優化函數對超壓艇結構設計參數進行優化。為考察加強筋質量對提高強度的影響，表3給出了不同加強筋質量下的最優參數。

表3 不同允許附加質量下的優化設計結果

由表3可知，加強筋間距、加強筋直徑、瓣幅曲率半徑3個設計參數表現為強相關性：隨著允許加筋質量的增大，加強筋間距逐漸變小而收斂于設計變量下限，而加強筋直徑逐漸增大，瓣幅曲率半徑逐漸減小；隨著允許質量的增加，筋間艇體結構應力逐漸減小，應力降幅逐漸收斂到50%，允許的附加質量比例系數為30%時，即可得到較好的應力控制。

為驗證優化設計方法和優化設計參數的有效性，根據優化的加強筋間距、筋直徑和瓣幅曲率半徑，選取允許的附加質量比例系數30%和50%分別進行有限元驗證分析，相應的結構設計參數分別為(3.0 m，17.1 mm，14.7 m)和(3.0 m，22.3 mm，14.3 m)，加強筋間囊體結構應力分布如圖5所示。

由圖5可知，當允許增加的加強筋質量比例系數為30%時，筋間囊體結構的最大應力為76.10 MPa，響應面模型計算的應力均值為75.02 MPa；質量比例系數為50%時，筋間囊體結構最大應力為71.60 MPa，響應面模型計算的應力均值為71.22 MPa。可見，本文提出的超壓艇結構響應面優化模型具有較高的精度，適用于超壓艇結構優化設計。

圖5 優化的超壓艇結構加強筋間囊體結構應力分布

4 結束語

結合BBD法，建立加強超壓艇結構的應力響應面模型，研究了加強筋間距L、筋直徑d和瓣幅曲率半徑R對超壓艇筋間囊體最大應力區均值的影響，得到了預測度較好的二階模型；根據結構加強筋質量與加強筋間距L和筋直徑d的關系，建立加強筋質量比例系數α與L和d的二階模型，并建立了超壓艇結構優化數學模型；針對不同加強筋質量比例系數，利用優化模型對結構設計參數進行優化，當加筋質量比例系數為30%時，可以獲得較優的結果。