辯證思維下高中數學例題講解分析

蘇燦強

(福建省安溪第一中學 362400)

數學學科學習過程中主要核心素養之一就是邏輯推理能力，也是數學教學的關鍵所在，夯實學生數學學習基礎.數學邏輯關系的培養，解題時明確條件與結論之間的因果關系，逐步形成數學邏輯思維能力.這就需要教師有目的地培養學生辯證思維習慣，提升數學課堂教學質量.

一、深入挖掘數學教材，找尋存在的辯證關系

數學主要研究現實世界數量關系、因果邏輯和空間形態等的一種推理性學科，它雖來自于生產生活實踐，卻又在生產生活中有著廣泛應用，同時也在科學研究領域擔任重要角色.利用數學這一特性，采用辯證唯物主義的思想和觀點對其內容進行闡述，以此解釋數學中隱藏的辯證思想，培養和引導學生辯證思維能力的發展.

如，“數”的概念的產生和發展就是辯證思維的最好案例.“負數”搞定了“不能減”的問題；“分數”搞定了“不能整除”的問題；“無理數”搞定了“開方不盡”的問題；“虛數”搞定了“負數不能開偶次方”的問題.當“數”的定義從有理數擴展到“實數”后，增加了數的連續性，完成了四則運算以及開方中存在的問題，但卻因為域的增加失去了數的可數性；當“數”從“實數”擴展到“復數”后，不僅能夠對代數進行開方，同時解決了“負數”不能開偶次方的問題，但卻不總是能對數的大小進行比較.如此引導學生不斷地發現問題，分析問題，進而解決問題，然后又發現新的問題，新的矛盾，如此反復，對學生辯證思維進行培養，如此幫助學生正視問題，面對現實，積極主動先找解決問題的方法，幫助學生形成正確的人生觀，以便學生未來更好地進入社會.

二、打破常規解題模式，培養逆向思維能力

數學題目解答的第一步就是審題，學生審題時要梳理其中包含的知識點.實際解題時遇到難度較大的題目時，大部分學生會出現畏難情緒，這時教師要啟發學生轉變思維，利用逆向思維思考問題，從相反角度思考問題，可能會收到意外效果.高中數學學習中逆向思維集中體現的就是反證法與補集方法.

解析如果按照常規解題方法解答這道問題，需要將不等式轉為兩個不等式組，接著對這個不等式組進行求解.但如果學生引入補集思想，只需要求出一個不等式組的解即可.

這道例題解決時，需要利用全集I求出解集，就是運用典型的辯證思維.分析這道例題時可以發現，數學知識點學習時不能形成思維定式，眼光也不能只關注一個點，通過現象看到題目本質，拓展學生思維，并習慣從不同教學視角思考與分析問題，也只有這樣才能提升解題效率與準確率.

三、選擇合適的切入點，提高數學解題效率

數學習題解決時需要選擇合適的切入點，也就是選擇解題角度.如果數學題目條件比較繁雜，學生審題后經常性出現思維混亂情況，無法選擇正確解題方向，也就無法提升解題效率.出現這種情況的根本原因就是學生無法從辯證角度看待數學問題，數學問題條件之間、條件與結論之間本身就是對立與統一的，造成解題時出現半途而廢的情況.

例2已知函數f(x)=2sinx-xcosx-x，f(x)的導數為f′(x).(1)求證：區間(0,π)內f′(x)存在唯一零點；(2)當x∈(0,π]時，函數f(x)≥ax，求a的取值范圍.

解這里主要講解第2個問題.通過題設：

f(x)≥ax及f(π)=0?a≤0 ①.

由第一問得出區間(0,π)內f′(x)存在唯一零點，假設為x0②.

當x∈(0,x0)時，f′(x)>0；當x∈(0,π)，f′(x)<0.

∴(0,x0)區間內f(x)單調遞增，區間(x0,π)內f(x)單調遞減.

又∵f(0)=0，f(π)=0,

∴當x∈(0,π)時，f(x)≥0,當a≤0,x∈(0,π),ax≤0,得：f(x)≥ax③.

∴a取值范圍為(-∞,0] ④

評析這道題目不同于常規題型，組合學生熟悉的三角函數與一次函數，成為考查學生三角函數與一次函數，很多學生看到題目后無從下手.第二個問題中主要考查不等式恒成立求參數取值范圍的問題，并結合常用的解題方法，利用“充分必要法”討論分界點或縮小討論范圍.

四、掌握構造函數技巧，合理利用辯證思維

在高考數學試題的解題中，我們需要通過構造條件與結論之間的“橋梁”來實現解題，其中構造橋梁的方法就是“構造法”.構造函數法就是通過對題目的透徹分析，然后構造出對應的函數，并借助函數的相關性質來完成求解.

總之，數學解題中培養學生辯證思維，也就是發展角度正確認識數學知識.辯證思維建立在客觀認知的基礎上，創新數學解題方法與角度.數學解題時運用辯證思維，要打破傳統解題思維的限制，大幅度提升數學課堂教學質量與效率，全面落實核心素養的要求.