命題視角下的分段函數

夏奕雯

(浙江省寧波中學 315000)

分段函數是整個函數體系中的一個重要的概念,它既有代數的結構,又有隱含的幾何特征.此類問題設計形式新穎,邏輯推理能力要求高,思維難度大,對于高中生來說是一大難點.解決的方法主要是通過分段函數的幾何背景分析引導解題.學生需要有足夠的體驗,才能形成良好的思維方式.

從近幾年浙江高考和學考試題分析來看,命題主要從分段函數解析式入手進行變化,以求值、解不等式、求參數范圍等函數性質作為考察點,是一個基礎考點,且在難度上有逐年加大的趨勢.

分段函數在新課授課中只是通過一個例題給出,作為一個解析式相對復雜的函數.但在高考或模擬題中,是學生常有的失誤點.在知識和方法要求上需要多方知識基礎和基本初等函數模型思想,往往通過數形結合的思維方法得以順利解決.波利亞曾經指出:”良好的組織使得所提供的知識容易用上,這甚至可能比知識的廣泛更為重要.”微專題教學內容專一,設計精妙,它注重對知識的分析和拓展,對問題的處理透徹,學生接受起來更加高效.因此，在高三階段設計此微專題并進行深入剖析是十分必要的.

本文以近幾年浙江高考題引出問題,通過回顧分析近幾年的命題題型和漸變趨勢,幫助學生合理建立認知結構,形成解決問題的基本方法和技能.通過問題的設計進行逐層拓展,從而提升學生的問題分析和解決能力,以及邏輯推理能力.從命題的視角來看命題的立意或命題的變化,從方法上鞏固提高.

一、經典呈現

(1)求F(x)的最小值m(a);

(2)求F(x)在區間[0,6]上的最大值M(a).

A.a<-1,b<0 B.a<01,b>0

C.a>-1,b<0 D.a>-1,b>0

以上都是浙江省高考題中的分段函數問題,在形式上均由兩個不同特質的初等函數拼接而成,變化莫測.所考查的主要是求值、解方程、解不等式、求參數范圍等函數性質問題,且在難度上有逐年加大的趨勢.如此高頻地出現提醒我們分段函數已經成為高考的一大熱點問題.

二、問題拓展

它們大多能通過讀圖直接求出結果, 但還有很多問題需要通過圖象轉化才能得出.

1.含遞推關系的分段函數問題

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

解由f(x)是分段函數,且解析式中含遞推關系,可知函數y=f(x)-x的解析式難求,因此將方程y=f(x)-x=0轉化為f(x)=x,即將函數的零點問題等價轉化為兩個函數圖象求交點問題.

當x<0時,函數f(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1是以x=-1為對稱軸,以(-1,1)為頂點,開口向下的拋物線.

當x≥0時,f(x)=f(x-1),故函數f(x)在x≥0時的圖象相當于[-1,0)上的圖象重復出現.

先畫出x<0時函數f(x)的圖象,再將[-1,0)上的圖象以1為單位向右不斷平移,得到函數f(x)在R上的圖象.

將兩個函數圖象畫在同一直角坐標系中,如圖,即可得到函數y=f(x)-x有3個零點.

方法點睛若分段函數中含遞推關系,則解析式難寫出,需要從圖象入手.其中含遞推關系的部分與周期性有關,圖象會呈現重復出現的情況.若能弄清楚相應的遞推關系以及取值區間,就能通過圖象平移變換順利完成作圖,自然就能結合圖象得出相應的結果.因此利用遞推關系作出圖象成了此類問題解決的關鍵.而這一關系的分析與應用恰是難點所在.

2.含復合關系的分段函數問題

解f(x)是分段函數,g(x)是絕對值函數,若直接復合,解析式相對復雜,不易得出函數的圖象和性質.可先將函數的零點問題轉化為方程根的問題進行探究,即h(x)=f(g(x))-k=0?f(g(x))=k.

對于含復合關系的方程根的問題,通常可從外往內逐層分析.

令g(x)=t,方程f(t)=k根的情況可結合圖形得出:當k∈(0,1)時,方程f(t)=k有2個解;當k∈(-1,0]∪{1}時,方程f(t)=k有1個解.

要使方程f(t)=k有根,需進一步探究方程g(x)=t的根的情況.由圖可知當t∈(-1,+)時,有2個解;當t=-1時,有1個解.

要使函數h(x)=f(g(x))-k有4個零點,方程g(x)=t和f(t)=k需同時取到兩解.從而有t∈(-1,+)且k∈(0,1).

方法點睛本題所求函數是含復合關系的分段函數,若直接求復合以后的解析式,相對復雜,因此可先分別作出兩個函數的圖象,結合圖象研究性質,再根據復合函數的特點,求出其中滿足復合條件的相應的函數性質.在這類問題的求解中,學生往往混淆外層函數本身的定義域與復合以后需要將內層函數的值域作為外層函數定義域這一關鍵點.因此,在含復合關系的分段函數問題上,除了要弄清楚兩個函數各自的圖象與性質外,還需結合復合的條件進行轉化,從而得到正確的結論.這就需要學生有較高的分析能力和邏輯推理能力,較強的數形結合、分類討論、函數與方程以及轉化化歸的思維意識.

3.條件結構需要轉化的分段函數問題

解不妨設a

由f(a)=f(b)得1-log3a=log3b-1,即log3a+log3b=2,

從而有ab=32=9.于是abc=9c.

故abc=9c∈(81，144).

思路探求不妨設a

作出函數圖象,可得a、b、c各自的范圍.代入相應的解析式中可得三個變量之間的等量關系,

即f(a)=f(b)=f(c)?ab=e2,c=3e2-e2lnb.

通過求導可得該函數的單調性,從而得其值域為(1+2e2,2e+2e2).

方法點睛本例需要結合圖象將表達式進行轉化后求解.因此要分清各變量所在的取值區間,準確地代入相應的解析式中尋求等量關系及取值范圍,再通過等量代換轉化求解.在本題的求解中,轉化關系十分重要,對數形結合的要求更高,學生通過探究體驗利用分段函數圖象轉化為表達關系求解的全過程,能深刻認識到數形結合與轉化劃歸的數學思想在代數問題求解中的重要性.本例對應的變式則是在此基礎上將積變成和的形式,難度上有很大的提升,需要將三個變量統一,轉化為單變量的函數關系式,再利用求導得出函數的單調性進而得出結果,是本例的鞏固和提升.

三、教學啟示

從高考命題的視角下看分段函數的有關問題我們不難發現,分段函數問題在難度上呈現出逐年遞增的趨勢,說明它已經成了一大熱點問題.對于這塊內容,我們應該加以重視.不僅要掌握簡單的與函數基本性質有關的問題的求解,還要對其進行深入地研究,從簡入繁,通過層層遞進幫助學生深化認知、逐步掌握分段函數有關問題的求解方法,形成完整的數學知識體系、系統的問題處理方法,提升數學素養,以達到舉一反三的能力.